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| Aufgabe | Bestimmen Sie f¨ur die Differentialgleichung
y′′′ + 6 y′′ + 5 y′ + 3y = −x
ein gleichwertiges Differentialgleichungssystem erster Ordnung. Formulieren Sie für dieses System ein
selbst gewähltes Anfangswertproblem und geben Sie das gleichwertige Anfangswertproblem für die
ursprünglich gegebene Gleichung an. |
Hallo,
also mein Problem ist eig der Ansatz.
Ich weiß dass ich substituieren muss, so:
[mm] y_1=y'
[/mm]
[mm] y_2=y''
[/mm]
[mm] y_3=y'''
[/mm]
Und hab mich auch schon belesen, dass ich damit wohl einen Vektor aufstellen muss in der Art v=(y, y', [mm] y'')^T [/mm] und diesen dann ableiten zu [mm] v=(y',y'',y''')^T.
[/mm]
Daraus habe ich dann die Matrix erhalten:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -3 & -5 & -6 }
[/mm]
dann die Eigenwerte bestimmen damit komm ich auf:
0 = - [mm] 6\lambda^2 [/mm] - [mm] \lambda^3 [/mm] - 3
Und wenn das stimmt, hängt es bei mir da, weil ich nix vernünftiges raus bekomme...
Wäre nett wenn mir Jemand iwie weiterhelfen könnte!
Mfg Leipziger
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Hallo Leipziger,
> Bestimmen Sie f¨ur die Differentialgleichung
> y′′′ + 6 y′′ + 5 y′ + 3y = −x
[mm]y'''+6*y''+5*y'+3*y=-x[/mm]
> ein gleichwertiges Differentialgleichungssystem erster
> Ordnung. Formulieren Sie für dieses System ein
> selbst gewähltes Anfangswertproblem und geben Sie das
> gleichwertige Anfangswertproblem für die
> ursprünglich gegebene Gleichung an.
> Hallo,
> also mein Problem ist eig der Ansatz.
> Ich weiß dass ich substituieren muss, so:
>
> [mm]y_1=y'[/mm]
> [mm]y_2=y''[/mm]
> [mm]y_3=y'''[/mm]
Zur Umwandlung in eine DGL-System 1. Ordnung
muß hier gesetzt werden:
[mm]y_{1}=y[/mm]
[mm]y_{2}=y_{1}'=y'[/mm]
[mm]y_{3}=y_{2}'=y''[/mm]
Dann ist
[mm]y_{3}'=-6*y_{3}-5*y_{2}+3*y_{1}-x[/mm]
>
> Und hab mich auch schon belesen, dass ich damit wohl einen
> Vektor aufstellen muss in der Art v=(y, y', [mm]y'')^T[/mm] und
> diesen dann ableiten zu [mm]v=(y',y'',y''')^T.[/mm]
>
> Daraus habe ich dann die Matrix erhalten:
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -3 & -5 & -6 }[/mm]
>
> dann die Eigenwerte bestimmen damit komm ich auf:
>
> 0 = - [mm]6\lambda^2[/mm] - [mm]\lambda^3[/mm] - 3
Das stimmt leider nicht ganz.
Ausgehend von der DGL 3. Ordnung erhält man durch den Ansatz
[mm]y=e^{\lambda*x}[/mm] das charakteristische Polynom
[mm]\lambda^{3}+6*\lambda^{2}+5*\lambda+3=0[/mm]
>
> Und wenn das stimmt, hängt es bei mir da, weil ich nix
> vernünftiges raus bekomme...
>
> Wäre nett wenn mir Jemand iwie weiterhelfen könnte!
>
> Mfg Leipziger
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Leipziger |
Oh stimmt, da hatte ich mich wohl vertan.
Leider ist das Problem momentan immernoch dasselbe, die Lösungen sehen nicht besonders schön aus :/
Woher weiß ich eig mit welches AWP ich für die Gleichung dann nutze?
Grüße Leipziger
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Ok, ich glaub das hat sich erledigt, ich glaub das umformen reicht schon. Dachte ich müsse die Lösung auch bestimmen, aber nach mehrmaligen durchlesen der Aufgabe bin ich nun der Meinung, dass ich die bescheidenen Eigenwerte nicht brauche^^ :)
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