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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Sa 07.11.2009 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | i) Auf wieviele Nullen endet die Zahl 2009! (Dezimalsystem)
ii) Begründensie, warum n! für kein n [mm] \in \IN [/mm] den Primfaktor 3 genau 7 Mal enthält.
iii) Es gibt genau 5 natürliche Zahlen n, für welche n! den Primfaktor 5 genau 31 Mal enthält. Bestimmen sie n.
(-> Satz von Legendre) |
Hallo ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
i) Mein Ansatz:
[mm] 2*1000^{3} [/mm] + [mm] 0*100^{2} [/mm] + [mm] 0*10^{1} [/mm] + [mm] 9*10^{0} [/mm] = 3000009
Jetzt weiß ich nicht ob das meine Lösung ist , da ich ja Fakultät da stehen habe. Ich finde auch nirgends einen Hinweis zu Dezimalsystem und Fakultät.
ii) also die Legendre Formel :
[mm] \alpha_{p}(n!) [/mm] = [mm] \summe_{v=}^{n} \bruch{n}{p^{v}}
[/mm]
Ansatz: mein p ist die 3 und das Ergebnis 7 aber auf die rechnung komme ich nicht.
iii) selbe Formel wie in ii)
p= 5 und Ergebniss ist die 31.
Bei der ii) und iii) fehlt mir die komplette Rechnung . Wir haben auch kein Rechenbeispiel dazu gemacht. Ich weiß also nicht genau wie ich die Formel umstellen muss, da ich ja für v unterschiedliche Zahlen einsetzten muss.
Kann mir bitte jemand helfen? Danke schon einmal im Voraus.
Ich habe deise Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt .
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Sa 07.11.2009 | | Autor: | abakus |
> i) Auf wieviele Nullen endet die Zahl 2009!
> (Dezimalsystem)
> ii) Begründensie, warum n! für kein n [mm]\in \IN[/mm] den
> Primfaktor 3 genau 7 Mal enthält.
> iii) Es gibt genau 5 natürliche Zahlen n, für welche n!
> den Primfaktor 5 genau 31 Mal enthält. Bestimmen sie n.
>
> (-> Satz von Legendre)
> Hallo ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
>
> i) Mein Ansatz:
> [mm]2*1000^{3}[/mm] + [mm]0*100^{2}[/mm] + [mm]0*10^{1}[/mm] + [mm]9*10^{0}[/mm] = 3000009
> Jetzt weiß ich nicht ob das meine Lösung ist , da ich ja
> Fakultät da stehen habe. Ich finde auch nirgends einen
> Hinweis zu Dezimalsystem und Fakultät.
Hallo,
wenn eine Zahl auf eine / mehrere Nullen endet, muss sie einmal/mehrmals durch 10 teilbar sein. Das ist sie genau dann, wenn sie die Primfaktoren 2 und 5 einmal /jeweils mehrmals enthält.
Da in n! der Faktor 2 in jeder zweiten Zahl (und häufig mehrfach) enthalten ist, aber die 5 nur in jeder fünften Zahl steckt, ist die Anzahl der Primfaktoren 5 maßgeblich für die Anzahl der Nullen am Ende.
Die 5 steckt als Faktor mindestens einmal in 5, 10, 15, 25, 25, 30, ...2000, 2005.
Sie steckt sogar ein zweites mal in 25, 50, 75, .... 2000
Sie steckt sogar ein drittes mal in 125, 250, 375, .... 2000
Sie steckt .....
>
> ii) also die Legendre Formel :
>
> [mm]\alpha_{p}(n!)[/mm] = [mm]\summe_{v=}^{n} \bruch{n}{p^{v}}[/mm]
>
> Ansatz: mein p ist die 3 und das Ergebnis 7 aber auf die
> rechnung komme ich nicht.
>
Die 3 steckt als Faktor in 3, in 6, zweimal in 9, in 12, in 15.
15! enthalt also sechsmal den Faktor 3.
In 16 und 17 kommt kein Faktor 3 vor, also enthält auch 17! den Faktor 3 nur sechsmal.
Denn kommt 18 mit gleich zwei Primkaktoren 3.
18! ist damit auf einen Schlag durch [mm] 3^8 [/mm] teilbar (alle nachfolgenden Fakultäten erst recht).
Gruß Abakus
> iii) selbe Formel wie in ii)
125! enthalt in 25 Zahlen den Faktor 5. In 5 Faktoren ist die 5 sogar ein zweites mal enthalten, und in einer dieser 5 Zahlen sogar ein drittes Mal.
Die kleinste durch [mm] 5^{31} [/mm] teilbare Fakultät ist also 125!
Daraus folgt....
Gruß Abakus
> p= 5 und Ergebniss ist die 31.
>
> Bei der ii) und iii) fehlt mir die komplette Rechnung . Wir
> haben auch kein Rechenbeispiel dazu gemacht. Ich weiß also
> nicht genau wie ich die Formel umstellen muss, da ich ja
> für v unterschiedliche Zahlen einsetzten muss.
>
> Kann mir bitte jemand helfen? Danke schon einmal im
> Voraus.
>
> Ich habe deise Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Sa 07.11.2009 | | Autor: | ulla |
Hey danke für deine Antwort.
bei der i) weiß ich aber leider nicht wie das gehen soll , ich versteh nicht was das bedeuten soll. Könntest du mir das ein wenig anders erkären, vielleicht mit einem Beispiel?
ii) Das habe ich verstanden aber mein Problem ist jetzt kann ich das anhand der Formel eintragen und berechnen? Wenn ja wie denn??
iii) Gleiches Problem wie bei der ii) und was ist dann das n welches ich berechnen soll??
Bitte um Hilfe finde auch keinen Ansatz um das einzutragen!
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Sa 07.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Hey danke für deine Antwort.
> bei der i) weiß ich aber leider nicht wie das gehen soll
> , ich versteh nicht was das bedeuten soll. Könntest du mir
> das ein wenig anders erkären, vielleicht mit einem
> Beispiel?
Beispiel: Auf wie viele Nullen endet 26!
26!=1*2*3*4*5*...*10*11*...*15*...*20*...*24*25*26
[mm] 26!=1*2*3*4*\red{5}*...*(2*\red{*5})*11*...*(3*\red{5})*...*(4*\red{5})*...*24*(\red{5*5})*26
[/mm]
26! enthält also 5*5*5*5*(5*5) , ist also durch [mm] 5^6 [/mm] teilbar.
Der Primfaktor 2 ist sogar noch häufiger, aber eben auch mindestens 6 mal vorhanden.
26! endet also auf 6 Nullen.
Gruß Abakus
> ii) Das habe ich verstanden aber mein Problem ist jetzt
> kann ich das anhand der Formel eintragen und berechnen?
> Wenn ja wie denn??
> iii) Gleiches Problem wie bei der ii) und was ist dann
> das n welches ich berechnen soll??
>
> Bitte um Hilfe finde auch keinen Ansatz um das
> einzutragen!
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Sa 07.11.2009 | | Autor: | ulla |
OK also das versteh ich !
Jetzt zu der 2009! :
Da ich mir nicht alle Zahlen aufschreiben möchte da es sehr viele sind , habe ich mir überlegt wie ich es sonst ausrechnen kann:
wenn ich 2009 : 5 = 401,8 -> die 5 ist 401 mal in 2009 enthalten aber auch noch weitere 80 mal (401:5=80,2)
damit wär mein Ergebnis 481 Nullen. Stimmt das? Ist das auch ein legitimer Weg für das Ergebnis??
Und kannst du mir noch bei der i) und ii) helfen?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Sa 07.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum überprüfst du nicht das was du tust an der 26, die dir vorgerechnet wurde?
26:5=3,2
was hat das damit zu tun, wieviel 5 en in 1*2*....26 vorkommen?
vielleich nimmst du einfach noch mal ne andere Zahl, zBsp 52 und überlegsts es daran!(dann brauchst du ja nur noch von 26 an weitermachen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Sa 07.11.2009 | | Autor: | ulla |
oh sorry, es ist mir dann auch aufgefallen:
wenn ich es mit der 52 mache bekomme ich [mm] 5^{5} [/mm] raus und wenn ich das nun auf den Rest übertrage bekomme ich [mm] 5^{6}*5^{380}*5 [/mm] heraus also [mm] 5^{387}.
[/mm]
Stimmt das so??
Also ist der Weg aus meiner vorherigen Frage doch teilweise richti? Wenn ich das nun weiter ausführe bekäme ich 500 Nullstellen. Stimmt das ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Sa 07.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
überleg mal genauer: wie oft kommt 5 vor? wie oft 25, wie oft 125 wie oft 625 usw. bei wie oft 5 hast du die 25er und 125 schon mitgezählt.
mach das mal langsam und ruhig und zähl dann genau zusammen, was du hast.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Sa 07.11.2009 | | Autor: | abakus |
> OK also das versteh ich !
> Jetzt zu der 2009! :
> Da ich mir nicht alle Zahlen aufschreiben möchte da es
> sehr viele sind , habe ich mir überlegt wie ich es sonst
> ausrechnen kann:
> wenn ich 2009 : 5 = 401,8 -> die 5 ist 401 mal in 2009
> enthalten aber auch noch weitere 80 mal (401:5=80,2)
> damit wär mein Ergebnis 481 Nullen. Stimmt das? Ist das
> auch ein legitimer Weg für das Ergebnis??
Das stimmt nicht ganz, denn es gibt bis 2009 auch Zahlen, die den Primfaktor 5 dreimal oder sogar viermal enthalten
>
> Und kannst du mir noch bei der i) und ii) helfen?
>
> Danke
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