Deterministische ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Mi 15.09.2010 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich gerade mit der Itô-Isometrie.
Hierzu hab ich ich keine konkrete Frage, die man wahrcheinlich auch unabhängig von dem Themenfeld beantworten kann.
Und zwar definiere ich mir einen Vektorraum auf einem Intervall [0,t] für t>0. Dieser enthalte reellwertige, stochastische Prozesse [mm] $X_t$, [/mm] die auf ihrem W'raum, als auch in der Zeitkomponente messbar sind (progressiv-messbar). Zudem gelte:
[mm] $E[\int\limits_0^t X^2_t [/mm] dt] < [mm] \infty$. [/mm] (sie sind in dieser Norm beschränkt.)
Nun zu meiner Frage:
Wenn ich nun einen determinstische Funktion, zb. [mm] $f(t)=\frac{1}{log(2+t)}$ [/mm] für $t [mm] \in [0,\infty[$ [/mm] betrachte, ist dann dieses f(t) ein Element meines Vektorraumes und bedarf es hier einer Erweiterung?
Viele Grüße und für eine Antwort vielen Dank im Voraus,
Dester
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
geh mal Schritt für Schritt die Definition Deines Vektorraums durch und sag uns dann, bei welchen Punkten Du unsicher bist, ob Dein f reinpaßt.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mi 15.09.2010 | | Autor: | DesterX |
Danke für deine Antwort.
Die Funktion ist offenbar progressiv messbar und für jedes feste t in der Norm beschränkt, für $t [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] jedoch nicht.
Meine größte Schwierigkeit ist also der Definitionsbereich $t [mm] \in [0,\infty[$. [/mm] Es gibt also kein Intervall [0,t] so dass der Vektorraum alle f(t) enthält. Hier müsste man meiner Meinung der Vektorraum (nenne ich ihn mal VR(t) für das Intervall [0,t]) erweitern, nur wie?
Könnte man z.B. sowas wie [mm] $\bigcap_{t>0} [/mm] VR(t)$ betrachten?
Gruß, Dester
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
der Vektorraum ist doch auf einem festen Intervall [0,t], für t beliebig, aber fest.
$ [mm] f(t)=\frac{1}{log(2+t)} [/mm] $ ist in dem Vektorraum, wenn sie in diesem Intervall die Anforderungen erfüllt, weil wir, wenn es darum geht, ob f in dem Vektorraum ist, f nur auf diesem Intervall betrachten:
$f:\ [mm] [0,t]\to\IR$.
[/mm]
Wenn ich den Vektorraum der auf $[0,1]$ stetigen Funktionen betrachte, dann ist doch $f(x)=x$ drinnen, auch wenn es außerhalb auch existiert.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mi 15.09.2010 | | Autor: | DesterX |
Danke nochmals für deine Antwort.
Ich bin dennoch an einem Vektorraum (VR) interessiert, der mein [mm] $f:[0,\infty[ \rightarrow \IR$ [/mm] enthält. Ich bin nach wie vor nicht überzeugt, dass dies der Fall ist.
Du hast natürlich recht, fixiere ich ein t, so liegt f auf [0,t] drin.
Eine Aussage wie $f [mm] \in [/mm] VR$ wäre aber falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ich bin dennoch an einem Vektorraum (VR) interessiert, der
> mein [mm]f:[0,\infty[ \rightarrow \IR[/mm] enthält. Ich bin nach
> wie vor nicht überzeugt, dass dies der Fall ist.
Nein, tut es auch nicht. Und da f nicht quadratintegrierbar ist, wird das auch schwierig (Du kannst f lokalisieren mit der Stopzeit [mm] $\tau_n:=n$, [/mm] aber das ist nicht das gleiche)
> Du hast natürlich recht, fixiere ich ein t, so liegt f
> auf [0,t] drin.
> Eine Aussage wie [mm]f \in VR[/mm] wäre aber falsch?
Die Aussage ist richtig. VR ist ein Vektorraum auf $[0,t]$ und wenn Du [mm] $f\in [/mm] VR$ schreibst, dann meinst Du, daß f auf $[0,t]$ die Bedingungen des Vektorraums erfüllt. Ebenso wie [mm] $x\in \mathcal{C}([0,1])$.
[/mm]
Was Du suchst, ist ein bißchen anders. Du willst einen Vektorraum auf [mm] $[0,\infty)$, [/mm] wo f drinliegt.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mi 15.09.2010 | | Autor: | DesterX |
Danke Stefan.
Ich nehme deine Idee der Lokalisierung mal auf. Ich definiere mir also eine Folge von Stopzeiten [mm] $S_n$, [/mm] die gegen Unendlich strebt, betrachte dann: [mm] f(S_n \wedge [/mm] t).
Komme ich eventuell so zum Ziel?
Man definiert für die Integranden stochastischer Integrale ja einen ähnlichen Raum, jener enthält allerdings nur solche Prozesse die quadratintegriebar (genauer [mm] $\int\limits_0^t X_s^2 [/mm] ds < [mm] \infty$ [/mm] )sind. Andererseits finde in der Literatur die Aussage, dass f.s. stetige, adaptierte Prozesse dort enthalten seien, damit doch auch mein f, oder?
Edit:
Da du das Thema Lokalisierung ansprichst, kann ich eigentlich auch konkreter sagen, worum es mir geht. Ich möchte nämlich die Aussage treffen, dass [mm] $\int\limits_0^t [/mm] f(s) [mm] dB_s$ [/mm] existiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Edit:
> Da du das Thema Lokalisierung ansprichst, kann ich
> eigentlich auch konkreter sagen, worum es mir geht. Ich
> möchte nämlich die Aussage treffen, dass [mm]\int\limits_0^t f(s) dB_s[/mm]
> existiert.
EDIT: hier stand semi-Quatsch. Was ich meinte (und richtig so interpretiert wurde) ist, daß das Integral auf einem festen Intervall kein Problem ist. Der Prozeß [mm] $\int_0^t [/mm] f\ dB$ für [mm] $t\in [0,\infty)$, [/mm] also das unbestimmte Integral
[mm] $\int [/mm] f\ dB$
aber auch existiert, weil das Integral schon existiert (und ein lokales Martingal ist), wenn [mm] $\int [/mm] f\ d[B]$ lokal integrierbar ist. Und das ist es.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mi 15.09.2010 | | Autor: | DesterX |
Danke!
Der Satz war mir nicht bekannt.
Eine Frage bleibt allerdings noch offen und ich bin mir noch unsicher: Gehört f selber zu der Klasse der lokalen Martingale?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
sag Du's mir. Was müßte es denn alles erfüllen, um lokales Martingal zu sein? =)
Zusatzfrage: ist [mm] $\int [/mm] f\ dB$ eines?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Do 16.09.2010 | | Autor: | DesterX |
Du forderst mich immer wieder 
Na gut, also mal von vorne:
Würd mich freuen, wenn du nochmal schaust, ob meine einzelnen Argumentationen so korrekt sind
1.
Für die Funktion [mm] f:[0,\infty[ \rightarrow \IR$ [/mm] von oben gibt es nur für festes t eine Ito-Isometrie, generell jedoch zunächst nicht, da f insbesondere nicht quadratint'bar auf dem kompletten Def.-bereich ist.
2.
Also lokalisiere ich f so, dass ich mir eine Stoppzeit definiere, zb könnte diese in etwa so aussehen:
[mm] $T_k:=inf\{ t>0 | \int\limits_0^t f(s)^2 ds \ge k \}$.
[/mm]
Nun kann ich mir einen elementaren (oder auch einfachen, wie auch immer man ihn nennt) Prozess konstruieren. Somit gibt es nun die Ito-Isometrie und ich erhalte eine sinnvolle Integraldefinition, so korrekt?
3.
f ist kein lokales Martingal.
4.
Nur als Nebenfrage: Kann ich mir die Definition des Integrals [mm] $\int [/mm] f dB$ nicht viel einfacher machen? Schließlich ist f mon. fallend und somit von beschränkter Variation.
Könnte ich dann nicht [mm] $\int\limits_0^t [/mm] f dB := f(t)*B(t) - f(0)*B(0) - [mm] \int\limits_0^t [/mm] B(s) df$.
5.
Deine Zusatzfrage kann ich sicher mit "ja" beantworten.
Danke nochmals.
Gruß, Dester
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Do 16.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm]T_k:=inf\{ t>0 | \int\limits_0^t f(s)^2 ds \ge k \}[/mm].
[mm] $T_k:= [/mm] k$ sollte es auch tun. =)
> 4.
> Nur als Nebenfrage: Kann ich mir die Definition des
> Integrals [mm]\int f dB[/mm] nicht viel einfacher machen?
> Schließlich ist f mon. fallend und somit von beschränkter
> Variation.
> Könnte ich dann nicht [mm]\int\limits_0^t f dB := f(t)*B(t) - f(0)*B(0) - \int\limits_0^t B(s) df[/mm].
Hier bin ich gerade unsicher. Was ist mit dem Kovarianzterm?
Ich fürchte ich bin nicht ausreichend in der Materie, um aus dem Stegreif sagen zu können, ob die Formel ausreicht, oder man vorher schon die Erkenntnis brauchte, daß das Integral existiert.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 Fr 17.09.2010 | | Autor: | DesterX |
Danke für deine Hilfe, Stefan.
Ich verstehe dein "nicht-Einschreiten" mal so, dass du mit der Argumentation einverstanden warst...
Zur Frage 4: Ich bin mir inzwischen sicher, dass dies eine Möglichkeit der Definition darstellt, bei Interesse könnte ich dir das nochmal genauer erläutern.
Grüße, Dester
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