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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier noch eine Aufgabe, aber ich weiß noch nicht so ganz, ob ich sie wirklich komplett lösen will. Würde gerne erstmal wissen, in welche Richtung ich denn da denken muss...
Sei K ein Körper mit char [mm] K\not=2 [/mm] und [mm] A\in M(n\times [/mm] n; K) alternierend. Zeigen Sie:
Ist n ungerade, so ist det A=0. (Hinweis: Benutzen Sie Satz 3.2.6, welcher lautet: Für eine Matrix [mm] A\in M(n\times [/mm] n; K) gilt det [mm] A^T=det [/mm] A.)
Ich habe überhaupt keine Idee, wie ich das beweisen könnte. Wer hat einen Tipp für mich?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Di 13.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Sei K ein Körper mit char [mm]K\not=2[/mm] und [mm]A\in M(n\times[/mm] n; K)
> alternierend.
Wann soll eine Matrix denn alternierend sein?
Edit: ah! Jetzt erinnere ich mich: falls A=-A gilt.
Zeigen Sie:
> Ist n ungerade, so ist det A=0. (Hinweis: Benutzen Sie
> Satz 3.2.6, welcher lautet: Für eine Matrix [mm]A\in M(n\times[/mm]
> n; K) gilt det [mm]A^T=det[/mm] A.)
Hier springt wohl ein, dass die Dterminante alternierend ist, man also beim Vertauschen zweier Zeilen ein Minus bekommt.
Hier wohl eher: multilinear: kannst du die -1 herausziehen?
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Di 13.09.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Christiane, einen schönen guten Morgen! Was ist an der Aufgabe komisch?
> Hallo!
>
> Hier noch eine Aufgabe, aber ich weiß noch nicht so ganz,
> ob ich sie wirklich komplett lösen will.
Doch, das willst du bestimmt.
> Würde gerne
> erstmal wissen, in welche Richtung ich denn da denken
> muss...
Das verrat ich dir sofort....
>
> Sei K ein Körper mit char [mm]K\not=2[/mm] und [mm]A\in M(n\times[/mm] n; K)
> alternierend. Zeigen Sie:
> Ist n ungerade, so ist det A=0. (Hinweis: Benutzen Sie
> Satz 3.2.6, welcher lautet: Für eine Matrix [mm]A\in M(n\times[/mm]
> n; K) gilt det [mm]A^T=det[/mm] A.)
>
Was heißt denn überhaupt bei einer Matrix alternierend? Nach allem, was ich weiß [mm]A^T[/mm] = [mm]-A[/mm]. Manchmal wird das auch schiefsymmetrisch genannt.
Jetzt weißt du noch (s. o.) det [mm]A^T[/mm] = det [mm]A[/mm]. Also ist bei alternierenden Matrizen det [mm]A[/mm] = det [mm]-A[/mm]. Wie kriegen wir jetzt das Minus-Zeichen vor die Determinante? Indem wir es aus jeder Zeile 'rausziehen'. Was steht dann vor der Determinante? Nun bist du erstmal wieder dran....
> Ich habe überhaupt keine Idee, wie ich das beweisen könnte.
> Wer hat einen Tipp für mich?
>
Daß char [mm]K\not=2[/mm] gilt, ist wesentlich, warum? Wenn du richtig weitermachst, gebe ich die vollen 15 Punkte!
Zusatzfrage: Wie sieht die Hauptdiagonale einer alternierenden Matrix aus?
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
Morgendliche Grüße aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Di 13.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Dieter!
> Hallo Christiane, einen schönen guten Morgen! Was ist an
> der Aufgabe komisch?
Nichts, ich wusste nur keinen Anfang und wollte einen anderen Betreff als bei meiner anderen Aufgabe. 
> > Sei K ein Körper mit char [mm]K\not=2[/mm] und [mm]A\in M(n\times[/mm] n; K)
> > alternierend. Zeigen Sie:
> > Ist n ungerade, so ist det A=0. (Hinweis: Benutzen Sie
> > Satz 3.2.6, welcher lautet: Für eine Matrix [mm]A\in M(n\times[/mm]
> > n; K) gilt det [mm]A^T=det[/mm] A.)
> >
> Was heißt denn überhaupt bei einer Matrix alternierend?
> Nach allem, was ich weiß [mm]A^T[/mm] = [mm]-A[/mm]. Manchmal wird das auch
> schiefsymmetrisch genannt.
>
> Jetzt weißt du noch (s. o.) det [mm]A^T[/mm] = det [mm]A[/mm]. Also ist bei
> alternierenden Matrizen det [mm]A[/mm] = det [mm]-A[/mm]. Wie kriegen wir
> jetzt das Minus-Zeichen vor die Determinante? Indem wir es
> aus jeder Zeile 'rausziehen'. Was steht dann vor der
> Determinante? Nun bist du erstmal wieder dran....
Also, zuerst habe ich ja gedacht, es gilt folgendes:
det(-A)=det((-1)*A)=det(-1)*det(A)=-det(A)
aber irgendwie glaube ich, dass das verkehrt ist. Aber warum? Wenn ich eine Matrix mit einem Element aus [mm] \IR [/mm] multipliziere, dann multipliziere ich doch jeden Eintrag der Matrix mit diesem Element, oder nicht? Und hier wäre dieses Element dann -1. Oder kann man für Elemente aus [mm] \IR [/mm] keine Determinante berechnen?
Dann habe ich folgendes:
[mm] det(-A)=det((-E_n)*A)=det(-E_n)*det(A)
[/mm]
falls n gerade ist, steht dann dort:
[mm] det(-E_n)*det(A)=1*det(A)
[/mm]
falls n ungerade ist, steht dort:
[mm] det(-E_n)*det(A)=-det(A)
[/mm]
Also det(A)=-det(A) [mm] \Rightarrow [/mm] det(A)=0. Stimmt das so?
> > Ich habe überhaupt keine Idee, wie ich das beweisen könnte.
> > Wer hat einen Tipp für mich?
> >
> Daß char [mm]K\not=2[/mm] gilt, ist wesentlich, warum? Wenn du
> richtig weitermachst, gebe ich die vollen 15 Punkte!
Mmh, da habe ich lange überlegt, weiß nicht, ob das in die richtige Richtung geht, aber vielleicht:
det(A)=-det(A) [mm] \gdw [/mm] 2det(A)=0 und wenn die Charakteristik 2 wäre, dann würde diese Gleichung auch für [mm] det(A)\not=0 [/mm] stimmen. Ich glaub', das stimmt sogar so!?
> Zusatzfrage: Wie sieht die Hauptdiagonale einer
> alternierenden Matrix aus?
Na, da müssen wohl lauter Nullen drauf stehen. Denn beim Transponieren ändert sich auf der Diagonalen ja nichts, und es muss ja für diese Elemente dann gelten: [mm] a_{ij}=-a_{ij} [/mm] und das geht ja nur für [mm] a_{ij}=0. [/mm] 
> Morgendliche Grüße aus HH-Harburg
War der Morgen in HH-Harburg auch so schön? Ich war zwar noch nicht draußen, aber hier sah es nach einem richtig schönen Herbstmorgen aus (auch wenn ja eigentlich noch Sommer ist...).
Viele Grüße von Bonn nach HH-Harburg
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Di 13.09.2005 | | Autor: | statler |
....ich bin total begeistert, Christiane!
Trotzdem noch ein paar klitzekleine Bemerkungen:
>
> Also, zuerst habe ich ja gedacht, es gilt folgendes:
>
> det(-A)=det((-1)*A)=det(-1)*det(A)=-det(A)
>
> aber irgendwie glaube ich, dass das verkehrt ist. Aber
> warum?
Weil der Determinantenmultiplikationssatz voraussetzt, daß man die zugehörigen Matrizen überhaupt miteinander multiplizieren kann, d. h. es müssen quadratische Matrizen gleicher Größe sein.
> Wenn ich eine Matrix mit einem Element aus [mm]\IR[/mm]
> multipliziere, dann multipliziere ich doch jeden Eintrag
> der Matrix mit diesem Element, oder nicht? Und hier wäre
> dieses Element dann -1. Oder kann man für Elemente aus [mm]\IR[/mm]
> keine Determinante berechnen?
Doch, das kann man, und es ist die Zahl selbst. Aber man kann eben nicht eine 1x1-Matrix mit einer größeren multiplizieren im Sinne der Matrizenmultiplikation.
Wenn ich einen Skalar in eine Matrix multipliziere, dann ist das eine Vektorraum-Multiplikation.
> Dann habe ich folgendes:
>
> [mm]det(-A)=det((-E_n)*A)=det(-E_n)*det(A)[/mm]
>
> falls n gerade ist, steht dann dort:
>
> [mm]det(-E_n)*det(A)=1*det(A)[/mm]
>
> falls n ungerade ist, steht dort:
>
> [mm]det(-E_n)*det(A)=-det(A)[/mm]
>
> Also det(A)=-det(A) [mm]\Rightarrow[/mm] det(A)=0. Stimmt das so?
Bei den reellen Zahlen schon, sonst nicht immer, siehe unten.
>
> > > Ich habe überhaupt keine Idee, wie ich das beweisen könnte.
> > > Wer hat einen Tipp für mich?
> > >
> > Daß char [mm]K\not=2[/mm] gilt, ist wesentlich, warum? Wenn du
> > richtig weitermachst, gebe ich die vollen 15 Punkte!
>
> Mmh, da habe ich lange überlegt, weiß nicht, ob das in die
> richtige Richtung geht, aber vielleicht:
>
> det(A)=-det(A) [mm]\gdw[/mm] 2det(A)=0 und wenn die Charakteristik 2
> wäre, dann würde diese Gleichung auch für [mm]det(A)\not=0[/mm]
> stimmen. Ich glaub', das stimmt sogar so!?
Perfekt!
> > Zusatzfrage: Wie sieht die Hauptdiagonale einer
> > alternierenden Matrix aus?
>
> Na, da müssen wohl lauter Nullen drauf stehen. Denn beim
> Transponieren ändert sich auf der Diagonalen ja nichts, und
> es muss ja für diese Elemente dann gelten: [mm]a_{ij}=-a_{ij}[/mm]
> und das geht ja nur für [mm]a_{ij}=0.[/mm]
>
> > Morgendliche Grüße aus HH-Harburg
> War der Morgen in HH-Harburg auch so schön? Ich war zwar
> noch nicht draußen, aber hier sah es nach einem richtig
> schönen Herbstmorgen aus (auch wenn ja eigentlich noch
> Sommer ist...).
>
> Viele Grüße von Bonn nach HH-Harburg
> Christiane
>
>
Ich gebe 15 Punkte wie versprochen! Hier ist ein schöner Herbst- oder Spätsommertag, morgens allerdings schon mit frischer Luft. Auf dem Fahrrad braucht man eine Jacke.
Mittaaaach
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Di 13.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Na dann: guten Appetit, Dieter!
> ....ich bin total begeistert, Christiane!
Ich auch! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]") ![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]") *freu*
> Trotzdem noch ein paar klitzekleine Bemerkungen:
>
> >
> > Also, zuerst habe ich ja gedacht, es gilt folgendes:
> >
> > det(-A)=det((-1)*A)=det(-1)*det(A)=-det(A)
> >
> > aber irgendwie glaube ich, dass das verkehrt ist. Aber
> > warum?
>
> Weil der Determinantenmultiplikationssatz voraussetzt, daß
> man die zugehörigen Matrizen überhaupt miteinander
> multiplizieren kann, d. h. es müssen quadratische Matrizen
> gleicher Größe sein.
>
> > Wenn ich eine Matrix mit einem Element aus [mm]\IR[/mm]
> > multipliziere, dann multipliziere ich doch jeden Eintrag
> > der Matrix mit diesem Element, oder nicht? Und hier wäre
> > dieses Element dann -1. Oder kann man für Elemente aus [mm]\IR[/mm]
> > keine Determinante berechnen?
>
> Doch, das kann man, und es ist die Zahl selbst. Aber man
> kann eben nicht eine 1x1-Matrix mit einer größeren
> multiplizieren im Sinne der Matrizenmultiplikation.
Gut, das habe ich jetzt verstanden und werde ich mir auch bestimmt merken.
> Wenn ich einen Skalar in eine Matrix multipliziere, dann
> ist das eine Vektorraum-Multiplikation.
>
> > Dann habe ich folgendes:
> >
> > [mm]det(-A)=det((-E_n)*A)=det(-E_n)*det(A)[/mm]
> >
> > falls n gerade ist, steht dann dort:
> >
> > [mm]det(-E_n)*det(A)=1*det(A)[/mm]
> >
> > falls n ungerade ist, steht dort:
> >
> > [mm]det(-E_n)*det(A)=-det(A)[/mm]
> >
> > Also det(A)=-det(A) [mm]\Rightarrow[/mm] det(A)=0. Stimmt das so?
>
> Bei den reellen Zahlen schon, sonst nicht immer, siehe
> unten.
>
> >
> > > > Ich habe überhaupt keine Idee, wie ich das beweisen könnte.
> > > > Wer hat einen Tipp für mich?
> > > >
> > > Daß char [mm]K\not=2[/mm] gilt, ist wesentlich, warum? Wenn du
> > > richtig weitermachst, gebe ich die vollen 15 Punkte!
> >
> > Mmh, da habe ich lange überlegt, weiß nicht, ob das in die
> > richtige Richtung geht, aber vielleicht:
> >
> > det(A)=-det(A) [mm]\gdw[/mm] 2det(A)=0 und wenn die Charakteristik 2
> > wäre, dann würde diese Gleichung auch für [mm]det(A)\not=0[/mm]
> > stimmen. Ich glaub', das stimmt sogar so!?
>
> Perfekt!
>
> > > Zusatzfrage: Wie sieht die Hauptdiagonale einer
> > > alternierenden Matrix aus?
> >
> > Na, da müssen wohl lauter Nullen drauf stehen. Denn beim
> > Transponieren ändert sich auf der Diagonalen ja nichts, und
> > es muss ja für diese Elemente dann gelten: [mm]a_{ij}=-a_{ij}[/mm]
> > und das geht ja nur für [mm]a_{ij}=0.[/mm]
> >
> > > Morgendliche Grüße aus HH-Harburg
> > War der Morgen in HH-Harburg auch so schön? Ich war
> zwar
> > noch nicht draußen, aber hier sah es nach einem richtig
> > schönen Herbstmorgen aus (auch wenn ja eigentlich noch
> > Sommer ist...).
> >
> > Viele Grüße von Bonn nach HH-Harburg
> > Christiane
> >
> >
> Ich gebe 15 Punkte wie versprochen! Hier ist ein schöner
> Herbst- oder Spätsommertag, morgens allerdings schon mit
> frischer Luft. Auf dem Fahrrad braucht man eine Jacke.
Wie gesagt, ich war noch nicht draußen, aber einen Pullover werde ich wohl auch mitnehmen. Obwohl mein Thermometer draußen 20°C anzeigt.
Viele Grüße
Christiane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Di 13.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Wo mir Teil a jetzt doch ganz gut gefallen hat, möchte ich vielleicht auch noch einen Tipp für b) haben (die Voraussetzungen bleiben):
Ist n gerade, so ist det A Quadrat eines Polynoms in den Einträgen von A.
Wie fange ich hiermit an?
Viele Grüße
Christiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Di 13.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ich würde es mal mit vollständiger Induktion nach $k$ probieren, wobei $n=2k$ die Größe der Matrix ist.
Für $k=1$ ist die Sache klar. Ansonsten kann ich durch Zeilen- und Spaltenvertauschungen annehmen, dass das Element an der Stelle $(1,2)$ nicht verschwindet. Dann folgt:
[mm] $\det \pmat{ \pmat{0 & a \\ -a & 0} & B^T \\ - B & C}$,
[/mm]
wobei $C$ eine schiefsymmetrische Matrix der Größe $2(k-1) [mm] \times [/mm] 2(k-1)$ ist. Es gilt nun:
[mm] $\det \pmat{ \pmat{0 & a \\ -a & 0} & B^T \\ - B & C} [/mm] = [mm] \det \pmat{ \pmat{0 & a \\ -a & 0} & B^T \\ 0 & C+ B \pmat{0 & - \frac{1}{a} \\ \frac{1}{a}& 0} B^T}$.
[/mm]
Die Matrix rechts unten ist wegen
[mm] $\left( C+ B \pmat{0 & - \frac{1}{a} \\ \frac{1}{a}& 0} B^T\right)^T [/mm] = [mm] C^T [/mm] + B [mm] \pmat{0 & - \frac{1}{a} \\ \frac{1}{a}& 0}^T B^T [/mm] = - [mm] \left( C + B \pmat{0 & - \frac{1}{a} \\ \frac{1}{a}& 0}B^T \right)$
[/mm]
schiefsymmetrisch.
Jetzt den Determinantenmultiplikationssatz für Blockmatrizen und die Induktionsvoraussetzung anwenden...
Hmmh, irgendwie hatte ich in Erinnerung, dass das einfacher ging, aber mir ist gerade nur das hier eingefallen...
Liebe Grüße
Stefan
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