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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 So 30.09.2007 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Aufgabe 3: sei [mm] \vec{a}= \vektor{2 \\ -1 \\ 1} [/mm] ; [mm] \vec{b}= \vektor{1 \\ 2 \\ -2}; \vec{c}= \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm]
Es ist [mm] \vec{r}= \vektor{2 \\ -3 \\ 9} [/mm] in Richtung von [mm] \vec{a};\vec{b};\vec{c} [/mm] zu zerlegen. Die Vektoren [mm] \vec{a};\vec{b};\vec{c} [/mm] sind unabhängig voneinander. |
Diese Aufgabe haben wir in der Vorlesung besprochen.
Es muss gelten: [mm] \alpha* \vec{a}+\beta*\vec{b}+\gamma*\vec{c}=\vec{r}
[/mm]
Daher: [mm] 2*\alpha+1*\beta+1*\gamma [/mm] =2
[mm] -1*\alpha+2*\beta+1*\gamma=-3
[/mm]
[mm] 1*\alpha-2*\beta+2*\gamma=9
[/mm]
Laut Determinantenverfahren gilt außerdem Folgendes:
[mm] \alpha= \bruch{1}{det A}*(2*A_{11}+(-3)*A_{21}+9*A_{31})
[/mm]
[mm] \beta= \bruch{1}{det A}*(2*A_{12}+(-3)*A_{22}+9*A_{32})
[/mm]
[mm] \gamma= \bruch{1}{det A}*(2*A_{13}+(-3)*A_{23}+9*A_{33})
[/mm]
Nun möchte ich wissen, ob man bei einem solchen Fall für [mm] \alpha [/mm] immer [mm] A_{11};A_{12};A_{13}, [/mm] für [mm] \beta [/mm] immer [mm] A_{21};A_{22};A_{23}, [/mm] und für [mm] \gamma [/mm] immer [mm] A_{31};A_{32};A_{33} [/mm] benutzen muss, oder gibt es auch andere Reihenfolgen, z.B [mm] A_{31};A_{11};A_{23} [/mm] ? Wenn ja, wovon hängt es ab?
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> Aufgabe 3: sei [mm]\vec{a}= \vektor{2 \\ -1 \\ 1}[/mm] ; [mm]\vec{b}= \vektor{1 \\ 2 \\ -2}; \vec{c}= \vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> Es ist [mm]\vec{r}= \vektor{2 \\ -3 \\ 9}[/mm] in Richtung von
> [mm]\vec{a};\vec{b};\vec{c}[/mm] zu zerlegen. Die Vektoren
> [mm]\vec{a};\vec{b};\vec{c}[/mm] sind unabhängig voneinander.
> Diese Aufgabe haben wir in der Vorlesung besprochen.
> Es muss gelten: [mm]\alpha* \vec{a}+\beta*\vec{b}+\gamma*\vec{c}=\vec{r}[/mm]
>
> Daher: [mm]2*\alpha+1*\beta+1*\gamma[/mm] =2
> [mm]-1*\alpha+2*\beta+1*\gamma=-3[/mm]
> [mm]1*\alpha-2*\beta+2*\gamma=9[/mm]
>
> Laut Determinantenverfahren gilt außerdem Folgendes:
> [mm]\alpha= \bruch{1}{det A}*(2*A_{11}+(-3)*A_{21}+9*A_{31})[/mm]
>
> [mm]\beta= \bruch{1}{det A}*(2*A_{12}+(-3)*A_{22}+9*A_{32})[/mm]
>
> [mm]\gamma= \bruch{1}{det A}*(2*A_{13}+(-3)*A_{23}+9*A_{33})[/mm]
>
> Nun möchte ich wissen, ob man bei einem solchen Fall für
> [mm]\alpha[/mm] immer [mm]A_{11};A_{12};A_{13},[/mm] für [mm]\beta[/mm] immer
> [mm]A_{21};A_{22};A_{23},[/mm] und für [mm]\gamma[/mm] immer
> [mm]A_{31};A_{32};A_{33}[/mm] benutzen muss, oder gibt es auch
> andere Reihenfolgen, z.B [mm]A_{31};A_{11};A_{23}[/mm] ? Wenn ja,
> wovon hängt es ab?
Hallo,
Du scheinst über die Lösung des linearen Gleichungssystems mit der Cramerschen Regel zu reden.
Mit [mm] A:=\pmat{ 2 & 1 &1\\ -1 & 2 &1\\1 & -2 &2}
[/mm]
wäre ja z.B. [mm] \beta=\bruch{|\pmat{ 2 & 2 &1\\ -1 & -3 &1\\1 & 9 &2}|}{|A|}.
[/mm]
Das ist nicht verhandelbar.
Wie Du aber die Determinante im Zähler berechnest, ist völlig Dir selbst überlassen - sofern Du es richtig tust.
Du kannst nach beliebiger Zeile oder Spalte entwickeln, hier geht auch die Sarrus'sche Regel.
Ich hoffe, daß ich Deine Frage richtig verstanden und hiermit beantwortet habe.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 30.09.2007 | | Autor: | Owen |
Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann ist es also möglich für
> $ [mm] \alpha [/mm] $ immer $ [mm] A_{11};A_{12};A_{13}, [/mm] $ für $ [mm] \beta [/mm] $ immer
> $ [mm] A_{21};A_{22};A_{23}, [/mm] $ und für $ [mm] \gamma [/mm] $ immer
> $ [mm] A_{31};A_{32};A_{33} [/mm] $ zu benutzen ?
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Hallo!
Es ist nicht nur möglich, es ist sogar Pflicht.
Allerdings werde ich aus deinen Formeln nicht ganz schlau. Angela hat ja bereits geschrieben, wie das mit Determinanen nach
Cramer geht:
$ [mm] \beta=\bruch{det \ \pmat{ 2 & 2 &1\\ -1 & -3 &1\\1 & 9 &2}}{det \ A}. [/mm] $
Wenn ich das nochmal mit den einzelnen Komponenten schreibe:
$ [mm] \beta=\bruch{det \ \pmat{ A_{11} & r_1 &A_{31}\\ A_{12} & r_2 &A_{32}\\A_{13} & r_3 &A_{33}}}{det \ A}. [/mm] $
Das [mm] \beta [/mm] ist die zweite Unbekannte, deshalb wird die zweite Spalte der Matrix gegen den Vektor [mm] \vec{r} [/mm] ausgetauscht.
Wenn man die Determinante im Zähler berechnet, kommt da ganz was anderes raus, als bei dir. Daher beschleicht mich das Gefühl, dass da ein Fehler drin ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 So 30.09.2007 | | Autor: | Owen |
Also, ich habe das geschrieben, was der Prof angeschrieben hat. Und bei meiner Rechnung komme ich auch auf das richtige Ergebnis, aber egal, die Antwort auf meine Frage habe ich ja jetzt.
Danke
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> Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann ist es also
> möglich für
> > [mm]\alpha[/mm] immer [mm]A_{11};A_{12};A_{13},[/mm] für [mm]\beta[/mm] immer
> > [mm]A_{21};A_{22};A_{23},[/mm] und für [mm]\gamma[/mm] immer
> > [mm]A_{31};A_{32};A_{33}[/mm] zu benutzen ?
Hallo,
ich glaube, Du hast mich nicht richtig verstanden.
Wenn Du Dich nicht selbst verwirren möchtest und andere noch dazu, solltest Du die Bezeichnungen, die Du verwendest, auch erklären.
Ich habe nämlich den Eindrück, daß Event_Horizon Dich nicht so verstanden hat, wie Du es (meinem Verständnis nach) gemeint hattest.
Deine [mm] A_i_j [/mm] im Eingangspost sind ja nicht die Einträge in A, sondern die Untermatrizen, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entstehen.
Ich wiederhole: Du kannst die Determinanten ausrechnen, wie Du möchtest.
In Deiner Aufgabe im Eingangspost sind sie jeweils so berechnet, daß nach der eingetauschten Spalte entwickelt wurde. (Jedenfalls sollte das so gemacht werden, es ist nicht ganz gelungen, s. (*))
Aber es könnte ja Matrizen geben, bei denen aufgrund vieler Nullen das Entwickeln nach irgendeiner Zeile viel günstiger ist.
Dann hast Du aber keine Untermatrizen von A mehr, sondern solche der Matrix, die durch "Einwechseln" des Lösungsvektors entsteht.
Weißt Du, wie man Matrizen nach irgendwelchen Zeilen oder Spalten entwickelt? Daß Du das kannst, ist ein Schritt, welcher vor dem Lösen von Gleichungen mit der Cramerschen Regel kommen muß.
(*) Dann ist mir bei der erneuten Durchsicht Deines Eingangspostes noch aufgefallen, daß die angegebenen Lösung für [mm] \beta [/mm] nicht stimmt.
Da ist bei der Entwicklung nach der eigetauschten Zeile das "Schachbrett" nicht berücksichtigt worden. Richtig müßte es dort heißen:
$ [mm] \alpha= \bruch{1}{det A}\cdot{}(2\cdot{}A_{11}-(-3)\cdot{}A_{21}+9\cdot{}A_{31}) [/mm] $
$ [mm] \beta= \bruch{1}{det A}\cdot{}(-2\cdot{}A_{12}+(-3)\cdot{}A_{22}-9\cdot{}A_{32}) [/mm] $
$ [mm] \gamma= \bruch{1}{det A}\cdot{}(2\cdot{}A_{13}-(-3)\cdot{}A_{23}+9\cdot{}A_{33}) [/mm] $
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann ist es also
> möglich für
> > [mm]\alpha[/mm] immer [mm]A_{11};A_{12};A_{13},[/mm]
Diese Untermatrizen von A ganz sicher nicht. Denn Du hast im Zähler von [mm] \alpha [/mm] nicht die Determinante der Matrix A stehen, sondern die Matrix, in der die erste Spalte ausgetauscht ist. Wenn Du nun nach der ersten Zeile entwickelst, ist die Matrix, die durch Streichen der 1.Zeile und zweiten Spalte entsteht, nicht [mm] A_1_2, [/mm] weil eben nicht A im Zähler steht.
Für die anderen analog.
Ich könnte es mir nützlich vorstellen, wenn Du hier mal zeigst, wie Du Dir die Lösung des GSs vorstellst.
Dann haben wir konkret etwas in der Hand, was die Gefahr von Mißverständnissen reduziert.
Gruß v. Angela
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