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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Sa 06.12.2008 | | Autor: | MaggieL |
| Aufgabe | | Herleitung einer Determinante mit 3 Variablen |
Hab jetzt ein neues Problem:
Muss eine Determinante mit 3 Variablen herleiten können.
Hab das ganze Netz durchforscht, finde nirgendwo etwas.
Könntet ihr mir bitte helfen?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke
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Hallo!
Uni oder Schule?
Schule:
Naja, nimm ein lineares LGS an mit
[mm] $a_{1}*x+b_{1}*y+c_{1}*z [/mm] = [mm] d_{1}$
[/mm]
[mm] $a_{2}*x+b_{2}*y+c_{2}*z [/mm] = [mm] d_{2}$
[/mm]
[mm] $a_{3}*x+b_{3}*y+c_{3}*z [/mm] = [mm] d_{3}$
[/mm]
Das LGS ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix [mm] \not= [/mm] 0 ist.
[mm] $\det\pmat{ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} } \not= [/mm] 0$
Mit Hilfe vom Gauß-Algorithmus musst du nun bestimmen, für welche a,b,c keine eindeutige Lösung existiert.
Fange so an:
[mm] $a_{1}*x+b_{1}*y+c_{1}*z [/mm] = [mm] d_{1}$ |*(-a_{2})
[/mm]
[mm] $a_{2}*x+b_{2}*y+c_{2}*z [/mm] = [mm] d_{2}$ |*(a_{1})
[/mm]
[mm] $a_{3}*x+b_{3}*y+c_{3}*z [/mm] = [mm] d_{3}$
[/mm]
--> Additionsverfahren Zeile1 + Zeile2
[mm] $(a_{1}*b_{2}-a_{2}*b_{1})*y+(a_{1}*c_{2}-a_{2}*c_{1})*z [/mm] = [mm] d_{1}'$ [/mm] (I)
[mm] $a_{1}*x+b_{1}*y+c_{1}*z [/mm] = [mm] d_{1}$ |*(-a_{3})
[/mm]
[mm] $a_{2}*x+b_{2}*y+c_{2}*z [/mm] = [mm] d_{2}$
[/mm]
[mm] $a_{3}*x+b_{3}*y+c_{3}*z [/mm] = [mm] d_{3}$ |*(a_{1})
[/mm]
(die rechte Seite ist für diese Berechnung irrelevant)
--> Additionsverfahren Zeile1 + Zeile3
[mm] $(a_{1}*b_{3}-a_{3}*b_{1})*y+(a_{1}*c_{3}-a_{3}*c_{1})*z [/mm] = [mm] d_{2}'$ [/mm] (II)
Und nun noch einmal so geeignet mit den Gleichungen (I) und (II) hantieren, dass auf der linken Seite y verschwindet. Dann hast du eine Gleichung der Form
D*z = d''
Und dann ist D genau die Determinante, weil wenn D hier 0 wäre, steht da entweder eine falsche Aussage (0 = d'' [mm] \not= [/mm] 0) oder eine wahre Aussage (0 = d'' = 0) unabhängig von z.
Uni: Einfach in die Leibniz-Formel einsetzen, wenn ihr die schon hattet...
Grüße,
Stefan.
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