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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Sa 29.10.2005 | | Autor: | BennoO. |
N'abend zusammen.
Ich hätte mal eben eien kurze Frage zur Determinantenfunktion.
Also eine Determinantenfunktion ist ja eine Funktion D: [mm] M_n(R)->R, [/mm] A->D(A),welche normiert, alternierend, und multilinear ist.
Normiert bedeutet ja nur, das die Determinante der Einheitsmatrix "eins" ist, also das gilt: D(E)=1.
Nun hab ich allerdings Probleme bei der Verständlichkeit der anderen beiden Eigenschaften.
Laut Vorlesung beduetet alternierend folgendes: falls D(A')=D(A), wenn A' aus A durch Vertaschung zweier Spalten entsteht.
Das kann doch schon irgentwie gar nicht sein, weil, wenn ich zwei Spalten vertausche, die Determinante in ihr negatives übergeht, also D(A') ja nicht gleich D(A) sein kann. Oder verwechsel ich da was. Ferner hab ich noch gelesen, das diese Eigenschaft einfach nur bedeutet, das, wenn ich zwei gleich Zeilen habe, das det=0 ist. (okay das weiß ich, aber wie komme ich darauf, noch obrigem Satz)
Bei "multilinear" heißt es (nach Vorlesung): multilinear in den Spalten, falls für jedes i=(1,...n) D(A) eine lineare Funktion der i-ten Spalte ist.
Bedeutet das, das ich das Vielfache einer Spalte zu einer anderen addieren darf, ohne das sich die Determinante ändert?
Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Viele Grüße Benno
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Hallo Benno,
> Also eine Determinantenfunktion ist ja eine Funktion D:
> [mm]M_n(R)->R,[/mm] A->D(A),welche normiert, alternierend, und
> multilinear ist.
> Laut Vorlesung beduetet alternierend folgendes: falls
> D(A')=D(A), wenn A' aus A durch Vertaschung zweier Spalten
> entsteht.
> Das kann doch schon irgentwie gar nicht sein, weil, wenn
> ich zwei Spalten vertausche, die Determinante in ihr
> negatives übergeht, also D(A') ja nicht gleich D(A) sein
> kann. Oder verwechsel ich da was.
Nein. Beim Vertauschen tritt ein Vorzeichenwechsel auf. Das muss ein Druckfehler sein.
> Ferner hab ich noch
> gelesen, das diese Eigenschaft einfach nur bedeutet, das,
> wenn ich zwei gleich Zeilen habe, das det=0 ist. (okay das
> weiß ich, aber wie komme ich darauf, noch obrigem Satz)
Ich würde das mit der Multilinearität beweisen: wenn Du die eine Zeile von der anderen (gleichen) abziehst, hast Du eine Nullzeile (bzw. Spalte, wenn Du's vorher transponierst).
> Bei "multilinear" heißt es (nach Vorlesung): multilinear
> in den Spalten, falls für jedes i=(1,...n) D(A) eine
> lineare Funktion der i-ten Spalte ist.
> Bedeutet das, das ich das Vielfache einer Spalte zu einer
> anderen addieren darf, ohne das sich die Determinante
> ändert?
Ja. Du kannst Dir die Determinante als das Volumen des von den Zeilenvektoren (oder Spalten) aufgespannten Spates vorstellen: Vertauschen der Zeilen bewirkt eine Orientierungsänderung, Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar vervielfacht das Volumen entsprechend, Addition eines Zeilenvielfaches zu einer andern Zeile ist eine Scherung (also keine Volumenänderung).
Vielleicht reicht das erstmal? Grüße, Richard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Sa 29.10.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hi.
Erstmal Danke für dein Posting. Hm ach, ich komm nicht so wirklich mit den Sätzen aus der Vorlesung klar. Deine Erklärungen sind mir zwar einleuchtend, aber ich hab jetzt einfach den Fischer als Quelle benutzt. Weiß ich wenigstens wo von ich inna Vordiplomsprüfung red. Da steht auch drinne: "alternieren", wenn det(A)=0 falls 2 Spalten gleich. und zu "multilinear": a) [mm] \vektor{. \\ a_i+b_i \\ .}= [/mm] det [mm] \vektor{. \\ a_i \\ .}+det \vektor{. \\ b_i \\ .}
[/mm]
und b) det [mm] \vektor{. \\ ba_i \\ .}=b*det \vektor{. \\ a_i \\ .} [/mm] mit "b" aus R
Teil b) versteh ich. nur Teil a) ist mir nicht so ganz klar. Weiß nicht so wirklich wie ich mir das nun vorzustellen habe. Könntest du mir den viell. erklären?
Ich hab noch ein weiteres posting zur Leibnitz'schen Determinantenformel gemacht. Ich hab gehört das sie bei unserem Prof. ganz gerne abgefragt wird. Nun, ich weiß wie sie lautet, aber wenn ichs erklären sollte....:-S. Könntest du da viell. mal reinschauen?
Viele Grüße Benno
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Hallo Benno,
> Da steht auch
> drinne: "alternieren", wenn det(A)=0 falls 2 Spalten
> gleich.
"alternieren" heißt offensichtlich nicht "vertauschen". Hab aber vergessen, was genau (mein Standardspruch: hab inzwischen fast alles vergessen, seufz)...
> zu "multilinear": a)
> [mm] det \vektor{. \\ a_i+b_i \\ .}= [/mm] det [mm]\vektor{. \\ a_i \\ .}+det \vektor{. \\ b_i \\ .}[/mm]
> und
> b) det [mm]\vektor{. \\ ba_i \\ .}=b*det \vektor{. \\ a_i \\ .}[/mm]
> mit "b" aus R
> Teil b) versteh ich. nur Teil a) ist mir nicht so ganz
> klar. Weiß nicht so wirklich wie ich mir das nun
> vorzustellen habe. Könntest du mir den viell. erklären?
Du hast drei Matritzen A, B und C, die in allen Zeilen identisch sind bis auf die i-te Zeile: da hat A die Zeile [mm] a_i [/mm] , B die Zeile [mm] b_i [/mm] und C die Zeile [mm] a_i [/mm] + [mm] b_i [/mm] stehen. Dann gilt det(C) = det(A) + det(B).
Daraus erhätst Du auch die Regel, dass die Addition eines Zeilen-Vielfaches zu einer anderen Zeile nix macht:
[mm] a_i [/mm] ist die Zeile von A, zu der addiert werden soll, [mm] a_j [/mm] ist die Zeile von A, deren x-faches addiert werden soll. Dann soll B genauso wie A sein, nur an der i-ten Zeile steht [mm] a_j [/mm] (d.h. mit [mm] b_i [/mm] = [mm] b_j [/mm] alterniert B und det(B) = 0), C sei wie A, nur in der i-ten Zeile steht [mm] a_i [/mm] + [mm] xa_j, [/mm] und die Linearität macht den Rest: det(C) = det(A) + xdet(B) = det(A).
> Ich hab noch ein weiteres posting zur Leibnitz'schen
> Determinantenformel gemacht. Ich hab gehört das sie bei
> unserem Prof. ganz gerne abgefragt wird. Nun, ich weiß wie
> sie lautet, aber wenn ichs erklären sollte....:-S. Könntest
> du da viell. mal reinschauen?
Heute abend nicht mehr, Grüße Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Mo 31.10.2005 | | Autor: | BennoO. |
hi.
danke, nochmal nachträglich für deine antwort. hab vordiploms-zwischenprüfung mit ne'r 2.0 bestanden. aber trotzdem danke für dein bemühene.
viele grüße benno
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