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Forum "Determinanten" - Determinantenberechnung
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Determinantenberechnung: tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:11 Di 20.12.2005
Autor: Mikke

hallo und zwar ist meine frage wie ich die determinante
der matrix  [mm] \in [/mm] M(n x n, [mm] \IR) [/mm] ausrechnen kann, wo alle einträge gleich eins sind bis auf die i=j - Spalte wo alle einträge gleich null sind??

weiß nicht wie ich das mache und wäre über hilfe echt dankbar..
mfg mikke
        
Bezug
Determinantenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:35 Di 20.12.2005
Autor: mathiash

Hallo,

meinst Du mit der ''i=j''-Spalte die Diagonale der Matrix, d.h. handelt es sich um die
Matrix A mit  A[i,j] = 1 falls [mm] i\neq [/mm] j und 0 falls i=j ?


Dann sollte Dir ein Induktionsbeweis nach n unter Verwendung des
Entwicklungssatzes nach Laplace helfen, da jeweils alle bis auf einen Summanden
wegfallen.

Gruss,

Mathias

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Determinantenberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:55 Do 22.12.2005
Autor: Mikke

ja genau diese matrix meine ich. Aber dieses modell von laplace kennen wir noch nicht und gibt es da nicht eine gewöhnliche methode zur berechnung einer determinante mit der man die determinante auch in diesem fall ausrechnen kann??

mfg mikke
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Bezug
Determinantenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 Do 22.12.2005
Autor: Julius

Hallo!

Dann musst du wohl geschickt Zeilen und Spalten voneinander abziehen/addieren, um auf eine obere Dreiecksmatrix oder so zu kommen (ist mir jetzt zu aufwändig).

Wenn du dich mit Eigenwerten auskennst, ist es völlig simpel:

Die Matrix ist symmetrisch, also diagonalisierbar, also ist die Determinante das Produkt der $n$ Eigenwerte (mit algebraischer/geometrischer Vielfachheit gerechnet). Die Vektoren [mm] $v_i=-e_1+e_i$ [/mm] für [mm] $i=2,\ldots,n$ [/mm] bilden eine Basis von [mm] $Eig_{-1}(A)$, [/mm] und $v = [mm] \sum\limits_{i=1}^n e_i$ [/mm] ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $n-1$ (dies ist immer ein Eigenvektor bei konstanter Zeilensumme). Probe: $Spur(A)=0$ [ok].

Es folgt also:

[mm] $\det(A) [/mm] = [mm] (-1)^{n-1} \cdot [/mm] (n-1)$.

Vielleicht macht sich ja jemand die Mühe mit den Zeilen- oder Spaltenumformungen; ich selber hasse solche uneleganten Lösungen. ;-) Für am wahrscheinlichsten hätte ich den Lösungsweg von Mathias gehalten, nur habt ihr den Laplaceschen Entwicklungssatz ja anscheinend noch nicht besprochen.

Liebe Grüße
Julius
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Determinantenberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Fr 23.12.2005
Autor: Stefan

Hallo Mikke!

Ich denke mal (angesichts dessen, dass die Fälligkeit überschritten ist), dass wir es bei diesen Hinweisen belassen können.

Viele Grüße
Stefan
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