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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:08 Di 04.03.2014 | | Autor: | Paivren |
Hallo zusammen,
habe Verständnisschwierigkeiten bei der Definition der Determinante als Abbildung.
[mm] e_{j,k} [/mm] ist hierbei der Standard-Basisvektor des Raums der quadratischen Matrizen über Körper K.
Also alle Einträge sind 0, außer an Stelle (j,k), da ist eine 1.
Eine "Determinantenabbildung" auf jenem Vektorraum ist eine Abbildung [mm] \delta [/mm] : [mm] Mat_{n}(K) [/mm] --> K mit unter anderem folgender Eigenschaft:
Für jedes i [mm] \in [/mm] {1,...,n} ist [mm] \delta [/mm] linear bezüglich der i-ten Zeile:
[mm] \delta (\summe_{j,k=1}^{n} a_{j,k}e_{j,k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}( bx_{k} [/mm] + [mm] y_{k})e_{i,k}) [/mm]
wobei j [mm] \not= [/mm] i und [mm] \summe_{j,k=1}^{n} a_{j,k}e_{j,k}:=A'.
[/mm]
= b [mm] \delta [/mm] (A' + [mm] \summe_{k=1}^{n}x_{k}e_{i,k}) [/mm] + [mm] \delta [/mm] (A' + [mm] \summe_{k=1}^{n}y_{k}e_{i,k})
[/mm]
für alle [mm] a_{j,k},b,x_{k},y_{k} \in [/mm] K.
Ich verstehe den letzten Gleichheitsschritt nicht.
Offensichtlich wird hier eine Matrix als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt, wobei die i-te Zeite ausgesondert betrachtet wird (rechter Summand).
Es gilt wohl [mm] a_{i,k}=(bx_{k}+y_{k})
[/mm]
Ich würde es verstehen, wenn es so wäre:
[mm] \delta (\summe_{j,k=1}^{n} a_{j,k}e_{j,k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}( bx_{k} [/mm] + [mm] y_{k})e_{i,k}) [/mm]
[mm] =\delta [/mm] ( A' + [mm] \summe_{k=1}^{n}( bx_{k} [/mm] + [mm] y_{k})e_{i,k}) [/mm]
[mm] =\delta [/mm] ( A') + [mm] \delta (\summe_{k=1}^{n}( bx_{k} [/mm] + [mm] y_{k})e_{i,k}) (\delta [/mm] linear)
[mm] =\delta [/mm] ( A') + [mm] \delta (\summe_{k=1}^{n}( bx_{k}e_{i,k} [/mm] + [mm] y_{k}e_{i,k}))
[/mm]
[mm] =\delta [/mm] ( A') + [mm] \delta (\summe_{k=1}^{n} bx_{k}e_{i,k}) [/mm] + [mm] \delta (\summe_{k=1}^{n} y_{k}e_{i,k})
[/mm]
[mm] =\delta [/mm] ( A' + [mm] \summe_{k=1}^{n} bx_{k}e_{i,k}) [/mm] + [mm] \delta (\summe_{k=1}^{n} y_{k}e_{i,k})
[/mm]
Aber das ist wohl nicht ganz richtig, da rechts laut Skript noch ein A' stehen muss und links das b komplett rausgezogen werden kann, warum auch immer.
Kann mir das jemand näher erklären, dieses "i-te Zeile linear" kapier ich wohl nicht wirklich.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Di 04.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo zusammen,
>
> habe Verständnisschwierigkeiten bei der Definition der
> Determinante als Abbildung.
>
> [mm]e_{j,k}[/mm] ist hierbei der Standard-Basisvektor des Raums der
> quadratischen Matrizen über Körper K.
> Also alle Einträge sind 0, außer an Stelle (j,k), da ist
> eine 1.
>
> Eine "Determinantenabbildung" auf jenem Vektorraum ist eine
> Abbildung [mm]\delta[/mm] : [mm]Mat_{n}(K)[/mm] --> K mit unter anderem
> folgender Eigenschaft:
>
> Für jedes i [mm]\in[/mm] {1,...,n} ist [mm]\delta[/mm] linear bezüglich der
> i-ten Zeile:
>
> [mm]\delta (\summe_{j,k=1}^{n} a_{j,k}e_{j,k}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=1}^{n}( bx_{k}[/mm] + [mm]y_{k})e_{i,k})[/mm]
>
> wobei j [mm]\not=[/mm] i und [mm]\summe_{j,k=1}^{n} a_{j,k}e_{j,k}:=A'.[/mm]
>
> = b [mm]\delta[/mm] (A' + [mm]\summe_{k=1}^{n}x_{k}e_{i,k})[/mm] + [mm]\delta[/mm] (A'
> + [mm]\summe_{k=1}^{n}y_{k}e_{i,k})[/mm]
>
> für alle [mm]a_{j,k},b,x_{k},y_{k} \in[/mm] K.
>
>
> Ich verstehe den letzten Gleichheitsschritt nicht.
> Offensichtlich wird hier eine Matrix als Linearkombination
> der Basisvektoren dargestellt, wobei die i-te Zeite
> ausgesondert betrachtet wird (rechter Summand).
> Es gilt wohl [mm]a_{i,k}=(bx_{k}+y_{k})[/mm]
Ja.
>
> Ich würde es verstehen, wenn es so wäre:
>
> [mm]\delta (\summe_{j,k=1}^{n} a_{j,k}e_{j,k}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=1}^{n}( bx_{k}[/mm] + [mm]y_{k})e_{i,k})[/mm]
> [mm]=\delta[/mm] ( A' + [mm]\summe_{k=1}^{n}( bx_{k}[/mm] + [mm]y_{k})e_{i,k})[/mm]
> [mm]=\delta[/mm] ( A') + [mm]\delta (\summe_{k=1}^{n}( bx_{k}[/mm] +
> [mm]y_{k})e_{i,k}) (\delta[/mm] linear)
> [mm]=\delta[/mm] ( A') + [mm]\delta (\summe_{k=1}^{n}( bx_{k}e_{i,k}[/mm] +
> [mm]y_{k}e_{i,k}))[/mm]
> [mm]=\delta[/mm] ( A') + [mm]\delta (\summe_{k=1}^{n} bx_{k}e_{i,k})[/mm] +
> [mm]\delta (\summe_{k=1}^{n} y_{k}e_{i,k})[/mm]
> [mm]=\delta[/mm] ( A' +
> [mm]\summe_{k=1}^{n} bx_{k}e_{i,k})[/mm] + [mm]\delta (\summe_{k=1}^{n} y_{k}e_{i,k})[/mm]
>
> Aber das ist wohl nicht ganz richtig, da rechts laut Skript
> noch ein A' stehen muss
Das Problem hierbei ist, dass in $A'$ die $i$-te Zeile sozusagen "fehlt"; letztendlich ist diese Linearitaet in Zeilen einfach so definiert. Vielleicht ist folgende Darstellung uebersichtlicher: Es bezeichnen [mm] $Z_{1},\ldots, Z_{n}$ [/mm] die Zeilen der quadr. Matrix $A$, d.h. $A= [mm] (Z_{1},\ldots, Z_{n})$. [/mm] Ist [mm] $Z_{i}= [/mm] X+ bY$, so ist die Linearitaet bezueglich der $i$-ten Zeile definiert als [mm] $\delta(A)= \delta(Z_{1}, \ldots, Z_{i-1}, X+bY,Z_{i+1},\ldots, Z_{n})= \delta(Z_{1}, \ldots, Z_{i-1}, X,Z_{i+1},\ldots, Z_{n})+ b\delta(Z_{1}, \ldots, Z_{i-1}, Y,Z_{i+1},\ldots, Z_{n})$.
[/mm]
Deine Variante saehe etwa so aus: [mm] $\delta(A)= \delta(Z_{1}, \ldots, Z_{i-1}, X+bY,Z_{i+1},\ldots, Z_{n})= \delta(Z_{1}, \ldots, Z_{i-1}, X,Z_{i+1},\ldots, Z_{n})+ b\delta(0, \ldots, [/mm] 0, [mm] Y,0,\ldots, [/mm] 0)$. Das ist auch schoen, aber nicht das gewuenschte.
Moechte man also [mm] $\delta$ [/mm] als ein Produkt von $n$ Vektoren auffassen, dass ist dies gerade das Distributivgesetz, das hier beschrieben wird.
> und links das b komplett
> rausgezogen werden kann, warum auch immer.
Das ist Teil der Definition der Linearitaet; sollte Dir bekannt vorkommen.
>
> Kann mir das jemand näher erklären, dieses "i-te Zeile
> linear" kapier ich wohl nicht wirklich.
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Di 11.03.2014 | | Autor: | Paivren |
Hallo,
hatte letztens ganz versäumt, mich zu bedanken.
Danke für die Antwort, habe es nachvollziehen können :)
Gruß
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