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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 Di 27.01.2009 | | Autor: | Torboe |
| Aufgabe | | [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1-y \\ 1 & 1 & (1+y) & 1 \\ 1 & (1-x) & 1 & 1 \\ (1+x) & 1 & 1 & 1} [/mm] |
Hallo!
Ich hab eine Frage zu einer möglichen Operation. Und zwar fand folgende Umformung statt:
2. zeile - 1., 3. zeile - 1., 4. zeile - 1.
det A =
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 & 1-y \\ 0 & 0 & y & y \\ 0 & -x & 0 & y \\ x & 0 & 0 & y}
[/mm]
=
y * [mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 & 1-y \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -x & 0 & y \\ x & 0 & 0 & y}
[/mm]
dort wird also das y vor die matrix gezogen und in der zeile die beiden y durch eine 1 ersetzt. meine frage ist, warum das erlaubt ist und in welchen situationen das noch möglich ist. schließlich wird die matrix danach ja nicht kleiner, also ich baue es nicht aus.... .
vielen dank shconmal.
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Hallo Torboe,
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1-y \\ 1 & 1 & (1+y) & 1 \\ 1 & (1-x) & 1 & 1 \\ (1+x) & 1 & 1 & 1}[/mm]
>
> Hallo!
> Ich hab eine Frage zu einer möglichen Operation. Und zwar
> fand folgende Umformung statt:
> 2. zeile - 1., 3. zeile - 1., 4. zeile - 1.
>
> det A = [mm]\vmat{ 1 & 1 & 1 & 1-y \\ 0 & 0 & y & y \\ 0 & -x & 0 & y \\ x & 0 & 0 & y}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> =
>
> y * [mm]\vmat{ 1 & 1 & 1 & 1-y \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -x & 0 & y \\ x & 0 & 0 & y}[/mm]
>
> dort wird also das y vor die matrix gezogen und in der
> zeile die beiden y durch eine 1 ersetzt. meine frage ist,
> warum das erlaubt ist und in welchen situationen das noch
> möglich ist. schließlich wird die matrix danach ja nicht
> kleiner, also ich baue es nicht aus.... .
Im ersten Schritt wird jeweils das $(-1)$-fache der 1.Zeile zu je einer der anderen Zeilen addiert.
Das ist eine "harmlose" Umformung, die die Determinante nicht ändert.
Im zweiten Schritt wird der allen Elementen in der 2.Zeile gemeinsame Faktor $y$ "aus der Matrix" gezogen. Das ist eine Umformung, die die Determinante verändert!
Die Determinante ist linear in den Zeilen, wenn du also einen gemeinsamen Faktor $k$ aus einer Zeile rausziehst, musst du ihn als [mm] $k\cdot{}$ [/mm] davor schreiben.
Wenn du den Faktor entsprechend aus $n$ Zeilen rausziehst, musst du's mit [mm] $k^n\cdot{}...$ [/mm] ausgleichen
Ebenso verhält es sich für Spaltenumformungen
Hier ein link zu einem tollen pdf, das die Rechnenregeln für Determinanten schön zusammenstellt ...
>
> vielen dank shconmal.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:05 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Torboe |
ok. vielen dank.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:43 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Torboe |
| Aufgabe | [mm] \vmat{ 1+a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+c & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+d }
[/mm]
mit beliebigen a, b, c, d [mm] \in \IR
[/mm]
Hinweis: [mm] det(\vec [/mm] (a1) + [mm] \vec [/mm] (a2), [mm] \vec [/mm] b, [mm] \vec [/mm] c, ...) = [mm] det(\vec [/mm] (a1), [mm] \vec [/mm] b, [mm] \vec [/mm] c, ...) + [mm] det(\vec [/mm] (a2), [mm] \vec [/mm] b, [mm] \vec [/mm] c, ...) |
hallo!
ich hab hier nochmal ne andere aufgabe zu det. bestimmung.
meine frage ist, ob dieser hinweis allgemein immer gültig ist oder nur in diesem speziellen fall?? weil ein paar umformungen später findet nochmal folgende umformung statt:
[mm] \vmat{ 1+b & 1 & 1 \\ 1 & 1+c & 1 \\ 1 & 1 & 1+d }
[/mm]
wird zu
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+c & 1 \\ 1 & 1 & 1+d }
[/mm]
+
[mm] \vmat{ b & 1 & 1 \\ 0 & 1+c & 1 \\ 0 & 1 & 1+d }
[/mm]
also wieder derselbe schritt wie am anfang... . gibt es dafür eine rechenregel, die mir nicht auffällt??
gruß torboe
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> [mm]\vmat{ 1+a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+c & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+d }[/mm]
>
> mit beliebigen a, b, c, d [mm]\in \IR[/mm]
>
> Hinweis: [mm]det(\vec[/mm] (a1) + [mm]\vec[/mm] (a2), [mm]\vec[/mm] b, [mm]\vec[/mm] c, ...) =
> [mm]det(\vec[/mm] (a1), [mm]\vec[/mm] b, [mm]\vec[/mm] c, ...) + [mm]det(\vec[/mm] (a2), [mm]\vec[/mm]
> b, [mm]\vec[/mm] c, ...)
> hallo!
> ich hab hier nochmal ne andere aufgabe zu det.
> bestimmung.
> meine frage ist, ob dieser hinweis allgemein immer gültig
> ist oder nur in diesem speziellen fall??
Hallo,
das gilt immer. Das ist die Linearität in den Spalten.
> weil ein paar
> umformungen später findet nochmal folgende umformung
> statt:
>
> [mm]\vmat{ 1+b & 1 & 1 \\ 1 & 1+c & 1 \\ 1 & 1 & 1+d }[/mm]
>
> wird zu
>
> [mm]\vmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+c & 1 \\ 1 & 1 & 1+d }[/mm]
>
> +
Das ist richtig.
>
>
> also wieder derselbe schritt wie am anfang...
Ich würde Dir die Frage gern beantworten, bloß leider ist völlig unklar, was Du mit "derselbe Schritt wie am Anfang" meinst.
Welcher Schritt an welchem Anfang? Ich seh keinen.
Gruß v. Angela
> . gibt es
> dafür eine rechenregel, die mir nicht auffällt??
>
> gruß torboe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Do 29.01.2009 | | Autor: | Torboe |
ich meine mit "derselbe schritt wie am anfang" den hinweis, der in der angabe angegeben ist. also was du als "Das ist die Linearität in den Spalten" bezeichnest. das wird doch dort nochmal angewendet. aber mir ist nicht klar, warum das erlaubt ist, welches gesetz dort angewendet wurde.
was meinst du mit "Das ist die Linearität in den Spalten" genau?
mir ist es eben deswegen unklar, weil ich kann ja zwei matrizen addieren und wenn ich mir die umformung anschaue und die zwei matrizen addiere kommt ja nicht dasselbe wie vorher raus.
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Hallo Torboe,
es geht hier ja nicht darum, eine Matrix additiv zu zerlegen, sondern um Beziehungen zwischen Determinanten!
Weißt Du, was eine ![[]](/images/popup.gif) Unterdeterminante ist? Dann könntest Du auf Deine Determinante den Laplaceschen Entwicklungssatz anwenden, und würdest sehr schnell sehen, dass es hier nur um die Anwendung des Distributivgesetzes geht.
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Do 29.01.2009 | | Autor: | Torboe |
hmmmm... i don't get it. also mir ist schon klar, dass es um determinanten geht.... aber trotzdem ist mir diese umformung nicht klar.
wie kann:
[mm] \vmat{ 1+b & 1 & 1 \\ 1 & 1+c & 1 \\ 1 & 1 & 1+d }
[/mm]
zu dem hier werden:
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+c & 1 \\ 1 & 1 & 1+d }
[/mm]
+
[mm] \vmat{ b & 1 & 1 \\ 0 & 1+c & 1 \\ 0 & 1 & 1+d }
[/mm]
???
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Hallo Torboe,
Deine Frage hatte ich verstanden. Was verstehst Du an meiner Antwort nicht?
Wenn Du mit dem Laplaceverfahren nach der ersten Spalte entwickelst, ergibt sich das von selbst.
Wenn Du das Verfahren nicht kennst und es jetzt gerade auch nicht lernen willst, kannst Du die Determinante auch nach der Sarrus-Regel bestimmen. Auch dann siehst Du, wie hier das Distributivgesetz angewandt wird.
Ich erkläre gern mehr (oder auch jemand anders), wenn Du mal vorführst, wieso Du mit diesem Tipp nicht weiterkommst. Was ist Deine Rechnung?
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Do 29.01.2009 | | Autor: | Torboe |
also wenn ich nach der ersten spalte entwickel, komme ich auf folgende:
1+b [mm] \vmat{ 1+c & 1 \\ 1 & 1+d }
[/mm]
- 1 [mm] \vmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1+d }
[/mm]
+ 1 [mm] \vmat{ 1 & 1 \\ 1+c & 1 }
[/mm]
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Hallo Torboe,
wenn Du noch 'ne Klammer um das "1+b" vor der ersten Determinante setzt, ist alles richtig. Jetzt fehlt Dir noch ein Gleichheitszeichen und die spaltenweise Entwicklung der beiden anderen Determinanten. Dann ist es nicht mehr zu verfehlen...
reverend
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