Determinante von Endomorphismu < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist ein vierdimensionaler K-Vektorraum V mit Basis (v1, v2, v3, v4).
Bestimmen Sie die Determinante des Endomorphismus f : V -> V mit
f(v1) = v2, f(v2)= v4, f(v3)=v1, f(v4)= v3. |
Guten Abend,
Ich bin mir hier nicht ganz sicher, weil mir meine Lösung etwas einfach vorkommt. Die Determinante ist ja gleich der Determinante der Darstellungsmatrix und außerdem unabhängig von der gewählten Basis.
Darf ich hier die Standardbasis nehmen? Das führt dann zu
det [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 } [/mm] = -1
Kommt das hin?
Danke im Vorraus
Gruß, hans
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Di 08.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Hans!
> Gegeben ist ein vierdimensionaler K-Vektorraum V mit Basis
> (v1, v2, v3, v4).
> Bestimmen Sie die Determinante des Endomorphismus f : V ->
> V mit
> f(v1) = v2, f(v2)= v4, f(v3)=v1, f(v4)= v3.
> Guten Abend,
>
> Ich bin mir hier nicht ganz sicher, weil mir meine Lösung
> etwas einfach vorkommt. Die Determinante ist ja gleich der
> Determinante der Darstellungsmatrix und außerdem unabhängig
> von der gewählten Basis.
Genau.
> Darf ich hier die Standardbasis nehmen? Das führt dann zu
Was soll die Standardbasis eines beliebigen vierdimensionalen $K$-Vektorraums sein? Sowas gibt es nicht... (Nur wenn $V = [mm] K^4$ [/mm] ist, dann spricht man von der kanonischen Basis.)
Du meinst wohl die hier gegebene Basis [mm] $(v_1, v_2, v_3, v_4)$. [/mm] Die bietet sich an, weil du weisst, wie sich $f$ bezueglich dieser Basis verhaelt. Und diese Basis hast du ja anscheinend auch gewaehlt:
> det [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 }[/mm]
> = -1
>
> Kommt das hin?
Ich wuerd sagen ja.
LG Felix
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Danke für die Antwort.
Ich hab den Begriff "Standardbasis" mal irgendwo aufgeschnappt und offenbar nicht richtig verstanden. Könntest du mich bitte kurz aufklären, was das eigentlich ist?
Gruß, hans
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Di 08.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Hans!
> Danke für die Antwort.
> Ich hab den Begriff "Standardbasis" mal irgendwo
> aufgeschnappt und offenbar nicht richtig verstanden.
> Könntest du mich bitte kurz aufklären, was das eigentlich
> ist?
Den Begriff `Standardbasis' (oder besser: `kanonische Basis') verwendet man nur, wenn man den $K$-Vektorraum [mm] $K^n$ [/mm] hat, und bezeichnet dort die Basis [mm] $(e_1, \dots, e_n)$, [/mm] wobei [mm] $e_i$ [/mm] der Vektor ist, der nur aus $0$en besteht bis auf eine $1$ in der $i$-ten Komponente.
In einem beliebigen $K$-Vektorraum hast du ganz viele Basen, aber normalerweise keine die im Vergleich zu den anderen irgendwie heraussticht. Das ist halt beim [mm] $K^n$ [/mm] anders, da du die obige Standardbasis hast. Deswegen wird sie als die Standardbasis bezeichnet. Bei anderen Vektorraeumen als dem [mm] $K^n$ [/mm] hast du einfach nichts was irgendwie schoener ist als der Rest, warum man dort keine Basis als Standardbasis bezeichnet...
LG Felix
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