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Forum "Uni-Analysis" - Determinante und Volumen
Determinante und Volumen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Determinante und Volumen: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 Mo 24.01.2005
Autor: arzoo

Wir sollen  das Volumen der konvexen Hülle der Punkte bestimmen .Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ich weiß nähmlichnich wie ich das machen muss .

[mm] P_1= \vektor{0\\ 2\\-1} P_2= \vektor{1\\ 1\\-1} P_3= \vektor{-2\\ 0\\0} P_4= \vektor{0\\ 1\\ 2} [/mm]

        
Bezug
Determinante und Volumen: Tetraeder (Pyramide)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Mo 24.01.2005
Autor: moudi


>  Wir sollen  das Volumen der konvexen Hülle der Punkte
> bestimmen .Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ich
> weiß nähmlichnich wie ich das machen muss .
>  
> [mm]P_1= \vektor{0\\ 2\\-1} P_2= \vektor{1\\ 1\\-1} P_3= \vektor{-2\\ 0\\0} P_4= \vektor{0\\ 1\\ 2}[/mm]
>  

>
Hallo arzoo

Die 4 Punkte sind die Ecken eines Tetraeders (Pyramide mit 3 seitigem Grundriss).

Auch für diese Pyramide gilt die Volumenformel [mm] $V=\frac13 [/mm] G [mm] \cdot [/mm] h$.
Vielleicht kannst du damit etwas Anfangen.

mfG Moudi

Bezug
                
Bezug
Determinante und Volumen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Di 25.01.2005
Autor: arzoo

hmm nein ich versehe nich so ganz wie ich mit den ganzen p´s und der Formel zusammen arbeiten kann ? einsetzten geht ja wohl nicht ...

Bezug
        
Bezug
Determinante und Volumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Di 25.01.2005
Autor: moudi

Nehme wir mal [mm] $P_1P_2P_3$ [/mm] als Grunddreieck und [mm] $P_4$ [/mm] als Spitze der Pyramide.

Dann ist die Fläche G des Grunddreiecks gegeben durch [mm] $\frac12|\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}|$. [/mm]

Weil [mm] $\vec [/mm] n= [mm] \frac{\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}} {|\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}|}$ [/mm] zugleich Normalenvektor der Grundebene ( in der das Dreieck [mm] $P_1P_2P_3$ [/mm] liegt) ist, erhält man die Höhe als Projektion von
[mm] $\overrightarrow{P_1P_4}$ [/mm] auf die Richtung des Normalenvektors. Diese Projektion berechnet man mit Hilfe des Skalarprodukts.

Es gilt daher [mm] $h=|\vec n\bullet\overrightarrow{P_1P_4}|$. [/mm] Setzt man alles in die Volumenformel [mm] $V=\frac13\,G\cdot [/mm] h$ ein, so erhält man
[mm] $V=\frac16|(\overrightarrow{P_1P_2}\times \overrightarrow{P_1P_3})\bullet\overrightarrow{P_1P_4}|$ [/mm]

Der letzte Ausdruck ist gerade das gemischte Produkt oder das Spatprodukt von 3 Vektoren.
Es entspricht der Determinante eine Matrix mit den Spaltenvektoren [mm] $\overrightarrow{P_1P_2}, \overrightarrow{P_1P_3},\overrightarrow{P_1P_4}$. [/mm]

Ergo gilt [mm] $V=\frac16|\det(\overrightarrow{P_1P_2}, \overrightarrow{P_1P_3},\overrightarrow{P_1P_4})|$ [/mm]

mfG Moudi



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