Determinante (mit Parameter) < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 So 27.03.2005 | | Autor: | Sonja |
Hallo,
ich möchte mich zunächst mal vorstellen: Ich heiße Sonja und studiere Lehramt Mathe/Bio für LA Sek. II im (ab nächste Woche) 2. Semester. Ich bin im ersten Semester eigentlich ganz gut zurechtgekommen, aber an unserer Ferienaufgabe für LinA verzweifle ich: (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )
Man untersuche, für welche a aus [mm] \IR [/mm] , bzw. a aus [mm] \IC [/mm] die Matrizen invertierbar sind. (durch Angabe der Determinante)
A = [mm] \pmat{ 1+a & 1 & 1 & 1 & a \\ 1 & 1+a & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1+a & 1 \\ a & 1 & 1 & 1 & 1+a}
[/mm]
C = [mm] \pmat{ 1 & 1 & a & a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 & 1 & 1 & a \\ a & 1 & 1 & a & a & 1 \\ 1 & a & 1 & a & 1 & a \\ 1 & 1 & a & 1 & a & a}
[/mm]
Ich habe mich mal an der Matrix A versucht, bin aber nur auf die folgende, offensichtlich falsche Formel gekommen (durch Erzeugen von Nullen und Entwickeln):
detA (a) = [mm] -2*a^3 [/mm] - [mm] 3*a^2 [/mm] + 2*a - [mm] \bruch{1}{a} [/mm] - 4
Könnte mir jemand helfen, das richtige Ergebnis zumindest für A zu bekommen? C würde ich dann ja vielleicht selbst hinbekommen :)
Danke im Voraus für eure Hilfe, Sonja :D
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Halo Sonja!
Erstmal: Herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Man untersuche, für welche a aus [mm]\IR[/mm] , bzw. a aus [mm]\IC[/mm] die
> Matrizen invertierbar sind. (durch Angabe der
> Determinante)
> A = [mm]\pmat{ 1+a & 1 & 1 & 1 & a \\ 1 & 1+a & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1+a & 1 \\ a & 1 & 1 & 1 & 1+a}[/mm]
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> C = [mm]\pmat{ 1 & 1 & a & a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 & 1 & 1 & a \\ a & 1 & 1 & a & a & 1 \\ 1 & a & 1 & a & 1 & a \\ 1 & 1 & a & 1 & a & a}[/mm]
>
> Ich habe mich mal an der Matrix A versucht, bin aber nur
> auf die folgende, offensichtlich falsche Formel gekommen
> (durch Erzeugen von Nullen und Entwickeln):
Hier bin ich etwas ins Stocken geraten: Wenn Du mit "Erzeugen von Nullen" die Anwendung des Gauß- Algorithmus meinst, so haben wir deine Fehlerquelle schon gefunden, denn: Der Gauß-Algorithmus, d.h. Addieren von Zeilen und multiplizieren mit Körperelementen [mm] $\not=0$ [/mm] verändert die Determinante!
Das einzige was sich nicht ändert ist: Eine Determinante einer nicht invertierbaren Matrix (d.h. det M = 0) wird sich nicht ändern, wenn wir Zeilen- und/oder Spaltenoperationen anwenden, genausowenig wird durch Zeilen- und Spaltenumformungen die Determinante einer invertierbaren Matrix jemals null werden.
Ansonsten jedoch wird sich der Zahlenwert der Determinanten sehr wohl verändern.
> detA (a) = [mm]-2*a^3[/mm] - [mm]3*a^2[/mm] + 2*a - [mm]\bruch{1}{a}[/mm] - 4
>
> Könnte mir jemand helfen, das richtige Ergebnis zumindest
> für A zu bekommen? C würde ich dann ja vielleicht selbst
> hinbekommen :)
Ich schlage vor, daß Du dich hinsichtlich meines Verdachts oben einfach nochmal meldest, ansonsten dürfte, wenn Du die Determinante entwickelst, eigentlich nichts schiefgehen.
Zur Kontrolle hab ich hier mal meine Ergebnisse:
[mm] $\det{A}=4a^3+4a^2-11a+4$
[/mm]
[mm] $\det{C}=4a^6-12a^5+40a^3-60a^2+36a-8$
[/mm]
So, ich hoffe, ich hab mich dabei nicht vertan,
Gruß,
Christian
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Hallo, Sonja,
"Gauß" ändert definitiv nichts am Wert der Determinante;
in
meiner Rechung, wahrscheinlich zu umständlich, habe ich einmal Zeilen vertauscht,
daher falsches Vorzeichen aber sonst gleiches Ergebnis wie Chistian; Rechengang
und Faktorisierung im Anhang.
(
die Parameter von der Operation o(d,f,s) sind
d: nr. der zu ändernden Zeile
f: Faktor
s: Quellzeile; die Rechnung ist ZielZeile := ZielZeile + Faktor*QuellZeile
t vertauscht Zeilen.
)
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 So 27.03.2005 | | Autor: | Sonja |
Zunächst mal vielen Dank für eure Hilfe, wirklich sehr ausführlich und gut nachvollziehbar. Noch eine Frage an Friedrich: Du hast für die Berechnung offenbar MuPAD benutzt. Meine Erfahrungen damit sind ziemlich gering, deshalb wollte ich gerne wissen, ob ich dieses Programm, so wie du es geschrieben hast, auch selber übernehmen kann? Es ist ja offenbar sehr praktisch und leicht zu handhaben.
Mit freundlichen Grüßen, Sonja
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Hallo Sonja,
ja, kannst du;
die Linuxversion, die, als xmupad leider keine "Notebook"funktion
implementiert.
verwende ich zusammen mit ![[]](/images/popup.gif) texmacs, gibts auch für windows
und natürlich hätte man mit MuPAD sofort det(m) aufrufen können,
wenn die Zwischenschritt nicht interessieren .
Gruß F.
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