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| Aufgabe | Sei [mm]B \in M_{nxn}(\IR)[/mm]eine fest gewählte [mm]nxn[/mm]-Matrix. Betrachten Sie die lineare Abbildung
[mm]r_B : M_{nxn}(\IR) \to M_{nxn}(\IR)[/mm]
[mm]A \mapsto AB[/mm]
Bestimmen Sie [mm]det(r_B)[/mm]. |
Hallo zusammen,
ich habe es einmal mehr mit einer ziemlich allgemein gehaltenen Aufgabe zu tun.
Grundsätzlich ist es hier mein Ziel, eine Darstellungsmatrix zu ermitteln, die ich dann zur Bestimmung der Determinante heranziehen kann.
Aber wie stelle ich diese auf? Man gab mir den Tipp, hier mit Elementarmatrizen zu arbeiten, aber leider weiß ich nicht wie ich die in der Lösung verarbeiten soll …
Könnt Ihr mir hier Tipps für einen Anfang geben?
Viele Grüße
Patrick
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> Sei [mm]B \in M_{nxn}(\IR)[/mm]eine fest gewählte [mm]nxn[/mm]-Matrix.
> Betrachten Sie die lineare Abbildung
>
> [mm]r_B : M_{nxn}(\IR) \to M_{nxn}(\IR)[/mm]
> [mm]A \mapsto AB[/mm]
>
> Bestimmen Sie [mm]det(r_B)[/mm].
>
> Grundsätzlich ist es hier mein Ziel, eine
> Darstellungsmatrix zu ermitteln, die ich dann zur
> Bestimmung der Determinante heranziehen kann.
Hallo,
ja, genau.
Darstellungsmatrizen von linearen Abbildungen sind immer bzgl. irgendwelcher Basen.
Du benötigst also als erste Zutat eine Basis des Vektorraumes [mm] M_{nxn}(\IR).
[/mm]
Hier kommen die Elemantarmatrizen ins Spiel, womit hier solche Matrizen gemeint sind, bei denen ein Eintrag 1 ist und die anderen 0. Diese [mm] n^2 [/mm] Matrizen bilden zusammen eine Basis des [mm] M_{nxn}(\IR).
[/mm]
Als nächstes mußt Du wissen, daß in der Spalten der Darstellungsmatrix von [mm] r_B [/mm] bzgl. dieser Basis die Bilder der Basisvektoren in Koordinaten bzgl. dieser Basis stehen.
Du brauchst jetzt also die Bilder der [mm] n^2 [/mm] Basisvektoren, welche Du anschließend als Koordinatenvektoren bzgl. der Basis schreibst und dann als Spalten in die Matrix steckst.
LG Angela
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Hallo Angela,
danke für Deine Antwort.
> Du benötigst also als erste Zutat eine Basis des
> Vektorraumes [mm]M_{nxn}(\IR).[/mm]
> Hier kommen die Elemantarmatrizen ins Spiel, womit hier
> solche Matrizen gemeint sind, bei denen ein Eintrag 1 ist
> und die anderen 0. Diese [mm]n^2[/mm] Matrizen bilden zusammen eine
> Basis des [mm]M_{nxn}(\IR).[/mm]
Also sei [mm]E_{ij}[/mm] eine Matrix mit 1 an der Stelle [mm]ij[/mm] und sonst 0.
Dann ist [mm]\mathcal{B} = \sum_{i=1, j=1}^{n} E_{ij}[/mm] eine Basis des [mm]M_{nxn} (\IR)[/mm].
> Als nächstes mußt Du wissen, daß in der Spalten der
> Darstellungsmatrix von [mm]r_B[/mm] bzgl. dieser Basis die Bilder
> der Basisvektoren in Koordinaten bzgl. dieser Basis
> stehen.
>
> Du brauchst jetzt also die Bilder der [mm]n^2[/mm] Basisvektoren,
> welche Du anschließend als Koordinatenvektoren bzgl. der
> Basis schreibst und dann als Spalten in die Matrix
> steckst.
Die Bilder der Basisvektoren sind ja [mm]r_B(v_1), ..., r_B(v_n)[/mm] wenn [mm]v_1,...,v_n \in \mathcal{B}[/mm] die Basisvektoren sind.
Nur wie schreibe ich die jetzt als Koordinatenvektoren bzgl. der Basis?
Viele Grüße
Patrick
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> Hallo Angela,
>
> danke für Deine Antwort.
>
> > Du benötigst also als erste Zutat eine Basis des
> > Vektorraumes [mm]M_{nxn}(\IR).[/mm]
> > Hier kommen die Elemantarmatrizen ins Spiel, womit hier
> > solche Matrizen gemeint sind, bei denen ein Eintrag 1
> ist
> > und die anderen 0. Diese [mm]n^2[/mm] Matrizen bilden zusammen
> eine
> > Basis des [mm]M_{nxn}(\IR).[/mm]
>
> Also sei [mm]E_{ij}[/mm] eine Matrix mit 1 an der Stelle [mm]ij[/mm] und
> sonst 0.
>
> Dann ist [mm]\mathcal{B} = \sum_{i=1, j=1}^{n} E_{ij}[/mm] eine
> Basis des [mm]M_{nxn} (\IR)[/mm].
Hallo,
[mm] Quatsch^3!
[/mm]
Es ist [mm] \mathcal{B}:=\{E_i_j| i,j\in\{1,...n\}\},
[/mm]
also die Menge sämtlicher [mm] n\times [/mm] n- Elementarmatrizen.
>
> > Als nächstes mußt Du wissen, daß in der Spalten der
> > Darstellungsmatrix von [mm]r_B[/mm] bzgl. dieser Basis die
> Bilder
> > der Basisvektoren in Koordinaten bzgl. dieser Basis
> > stehen.
> >
> > Du brauchst jetzt also die Bilder der [mm]n^2[/mm]
> Basisvektoren,
> > welche Du anschließend als Koordinatenvektoren bzgl.
> der
> > Basis schreibst und dann als Spalten in die Matrix
> > steckst.
>
> Die Bilder der Basisvektoren sind ja [mm]r_B(v_1), ..., r_B(v_n)[/mm] wenn [mm]v_1,...,v_n \in \mathcal{B}[/mm]
> die Basisvektoren sind.
Die v müssen die Elementarmatrizen sein.
Die Vektoren (=Elemente des Vektorraumes) sind doch hier Matrizen.
Und die Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] hat [mm] n^2 [/mm] Elemente.
Hatte ich doch zuvor schon gesagt, oder?
>
> Nur wie schreibe ich die jetzt als Koordinatenvektoren
> bzgl. der Basis?
Wenn Du die Bilder der [mm] n^2 [/mm] Basisvektoren (=Elementarmatrizen) hast, mußt Du sie als Linearkombination der Elementarmatrizen schreiben und die Linearfaktoren "in einen Vektor stapeln".
Wenn [mm] \mathcal{C}:=(v_1,..., v_{n^2}), [/mm] dann wäre der Koordinatenvektor von [mm] 1*v_1+2*v_2+...+n^2v_{n^2} [/mm] bzgl [mm] \mathcal{C}=\vektor{1\\2\\\vdots\\n^2}.
[/mm]
LG Angela
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Hallo,
noch ein Tip:
ich find's oft schwer, solche allgemeinen Aufgaben zu bearbeiten.
Ich mache mir dann immer ein übersichtliches Beispiel.
Du könntest doch z.B. mal versuchen, die Aufgabe für n=3 und [mm] B:=\pmat{1&2&3\\3&5&6\\7&8&9} [/mm] zu lösen, also erstmal die Darstellungsmatrix aufzustellen.
LG Angela
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Hallo Angela,
dann versuche ich mich mal an diesem konkreten Beispiel. Ich schreibe das hier mal alles ausführlich auf, da ich vermute, dass ich an irgendeiner stelle etwas falsch verstanden habe.
Ich betrachte also:
[mm]r_b : M_{3x3}(\IR) \to M_{3x3} (\IR)[/mm]
[mm]A \mapsto AB[/mm]
mit [mm]B := \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 }[/mm]
Die Basis besteht aus folgenden neun Elementarmatrizen:
[mm]E_1 = \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] , [mm]E_2 = \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] , [mm]E_3 = \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
[mm]E_4 = \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] , [mm]E_5 = \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] , [mm]E_6 = \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
[mm]E_7 = \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }[/mm] , [mm]E_8 = \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm] , [mm]E_9 = \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
Die Bilder dieser Basisvektoren sind:
[mm] \alpha_1 [/mm] = [mm] r_B(E_1) [/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] , [mm] \alpha_2 [/mm] = [mm] r_B(E_2) [/mm] = [mm]\pmat{ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] , [mm] \alpha_3 [/mm] = [mm] r_B(E_3) [/mm] = [mm]\pmat{ 7 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
[mm] \alpha_4 [/mm] = [mm] r_B(E_4) [/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] , [mm] \alpha_5 [/mm] = [mm] r_B(E_5) [/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] . [mm] \alpha_6 [/mm] = [mm] r_B(E_6) [/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 7 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
[mm] \alpha_7 [/mm] = [mm] r_B(E_7) [/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 }[/mm] , [mm] \alpha_8 [/mm] = [mm] r_B(E_8) [/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 }[/mm] , [mm] \alpha_9 [/mm] = [mm] r_B(E_9) [/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 7 & 8 & 9 }[/mm]
Nun schreibe ich [mm]\alpha_1,...,\alpha_9[/mm] als Linearkombination von [mm]E_1,...,E_9[/mm]:
[mm]\alpha_1 = 1 * E_1 + 2 * E_2 + 3 * E_3[/mm] , [mm]\alpha_2 = 4 * E_1 + 5 * E_2 + 6 * E_3[/mm] , [mm]\alpha_3 = 7 * E_1 + 8 * E_2 + 9 * E_3[/mm]
[mm]\alpha_4 = 1 * E_4 + 2 * E_5 + 3 * E_6[/mm] , [mm]\alpha_5 = 4 * E_4 + 5 * E_5 + 6 * E_6[/mm] , [mm]\alpha_6 = 7 * E_4 + 8 * E_5 + 9 * E_6[/mm]
[mm]\alpha_7 = 1 * E_7 + 2 * E_8 + 3 * E_9[/mm] , [mm]\alpha_8 = 4 * E_7 + 5 * E_8 + 6 * E_9[/mm] , [mm]\alpha_9 = 7 * E_7 + 8 * E_8 + 9 * E_9[/mm]
Die Linearfaktoren bilden nun also jeweils einen Vektor, mit dem ich spaltenweise die Darstellungsmatrix aufbaue.
Das heißt, es kommt eine (9x9)-Matrix heraus, die sechs Nullzeilen hat, oder? (Denn ich habe ja jedes Bild mittels drei Elementarmatrizen darstellen können.)
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> Ich betrachte also:
>
> [mm]r_b : M_{3x3}(\IR) \to M_{3x3} (\IR)[/mm]
> [mm]A \mapsto AB[/mm]
>
> mit [mm]B := \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 }[/mm]
>
> Die Basis besteht aus folgenden neun Elementarmatrizen:
>
> [mm]E_1 = \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] , [mm]E_2 = \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> , [mm]E_3 = \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]E_4 = \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] , [mm]E_5 = \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> , [mm]E_6 = \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]E_7 = \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }[/mm] , [mm]E_8 = \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
> , [mm]E_9 = \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
Hallo,
die Basis steht schonmal richtig da.
>
> Die Bilder dieser Basisvektoren sind:
>
> [mm]\alpha_1[/mm] = [mm]r_B(E_1)[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> , [mm]\alpha_2[/mm] = [mm]r_B(E_2)[/mm] = [mm]\pmat{ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> , [mm]\alpha_3[/mm] = [mm]r_B(E_3)[/mm] = [mm]\pmat{ 7 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\alpha_4[/mm] = [mm]r_B(E_4)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> , [mm]\alpha_5[/mm] = [mm]r_B(E_5)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> . [mm]\alpha_6[/mm] = [mm]r_B(E_6)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 7 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\alpha_7[/mm] = [mm]r_B(E_7)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 }[/mm]
> , [mm]\alpha_8[/mm] = [mm]r_B(E_8)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 }[/mm]
> , [mm]\alpha_9[/mm] = [mm]r_B(E_9)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 7 & 8 & 9 }[/mm]
>
> Nun schreibe ich [mm]\alpha_1,...,\alpha_9[/mm] als
> Linearkombination von [mm]E_1,...,E_9[/mm]:
>
> [mm]\alpha_1 = 1 * E_1 + 2 * E_2 + 3 * E_3[/mm][mm] +\red{0*E_4+0*E_5+...+0*E_9}=\vektor{1\\2\\3\\0\\0\\0\\0\\0\\0} [/mm] ,
> [mm]\alpha_2 = 4 * E_1 + 5 * E_2 + 6 * E_3[/mm][mm] =\vektor{4\\5\\6\\0\\0\\0\\0\\0\\0}
[/mm]
> , [mm]\alpha_3 = 7 * E_1 + 8 * E_2 + 9 * E_3[/mm]=...
> [mm]\alpha_4 = \red{0*E_1+0*E_2+0*E_3+}1 * E_4 + 2 * E_5 + 3 * E_6[/mm][mm] +\red{0*e_7+0*E_8+0*E_9}=\vektor{0\\0\\0\\1\\2\\3\\0\\0\\0\\}
[/mm]
> , [mm]\alpha_5 = 4 * E_4 + 5 * E_5 + 6 * E_6[/mm] , [mm]\alpha_6 = 7 * E_4 + 8 * E_5 + 9 * E_6[/mm]
>
> [mm]\alpha_7 = 1 * E_7 + 2 * E_8 + 3 * E_9[/mm] , [mm]\alpha_8 = 4 * E_7 + 5 * E_8 + 6 * E_9[/mm]
> , [mm]\alpha_9 = 7 * E_7 + 8 * E_8 + 9 * E_9[/mm]
>
> Die Linearfaktoren bilden nun also jeweils einen Vektor,
> mit dem ich spaltenweise die Darstellungsmatrix aufbaue.
Ich habe exemplarisch mal drei Koordinatenvektoren bzgl der gewählten Basis hingeschrieben.
>
> Das heißt, es kommt eine (9x9)-Matrix heraus,
Ja, denn Du bildest aus einem 9-dimensionalen in einen 9-dimensionalen Raum ab.
> die sechs
> Nullzeilen hat, oder?
Nein, aber das wirst Du gleich sehen, wenn Du die Koordinatenvektoren richtig kapiert hast.
LG Angela
(Denn ich habe ja jedes Bild mittels
> drei Elementarmatrizen darstellen können.)
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Hallo Angela,
> Ich habe exemplarisch mal drei Koordinatenvektoren bzgl der
> gewählten Basis hingeschrieben.
dankeschön, jetzt wird mir so einiges klarer.
Die Darstellungsmatrix ist also:
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 5 & 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 6 & 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 6 & 9 }
[/mm]
Richtig?
Hier fällt mir auf, dass es drei auf der Diagonale angeordnete (3x3)-Blöcke gibt und jeder Block die transponierte Matrix von B ist.
Die Determinante dieser Matrix ist 0.
Im allgemeinen Fall dürfte die Darstellungsmatrix von der Form her ja genauso aufgebaut sein (natürlich mit n (nxn)-Blöcken).
Viele Grüße
Patrick
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> Hallo Angela,
>
> > Ich habe exemplarisch mal drei Koordinatenvektoren bzgl der
> > gewählten Basis hingeschrieben.
>
> dankeschön, jetzt wird mir so einiges klarer.
>
> Die Darstellungsmatrix ist also:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4 & 7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 6 & 9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 5 & 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 6 & 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 6 & 9 }[/mm]
>
> Richtig?
>
> Hier fällt mir auf, dass es drei auf der Diagonale
> angeordnete (3x3)-Blöcke gibt und jeder Block die
> transponierte Matrix von B ist.
Hallo,
ja, genau.
>
> Die Determinante dieser Matrix ist 0.
Das ist natürlich Zufall und nicht immer so.
>
> Im allgemeinen Fall dürfte die Darstellungsmatrix von der
> Form her ja genauso aufgebaut sein (natürlich mit n
> (nxn)-Blöcken).
Ja, die Darstellungsmatrix ist, wenn man die Basis so wie Du wählt, eine Diagonalblockmatrix mit den n Diagonalblöcken B.
LG Angela
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Hallo Angela,
> > Die Determinante dieser Matrix ist 0.
>
> Das ist natürlich Zufall und nicht immer so.
ja, natürlich.
> Ja, die Darstellungsmatrix ist, wenn man die Basis so wie
> Du wählt, eine Diagonalblockmatrix mit den n
> Diagonalblöcken B.
Die Determinante der Darstellungsmatrix ist dann doch einfach das Produkt der Determinanten der Untermatrizen, oder?
Also ist [mm]det(r_B) = det(B)^n[/mm] (?)
Viele Grüße
Patrick
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> Also ist [mm]det(r_B) = [det(B)^n][/mm] (?)
Ja.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 So 26.05.2013 | | Autor: | Apfelchips |
Das ist doch mal ein schönes Ergebnis.
Ich danke Dir für Deine Hilfe!
Viele Grüße
Patrick
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