Determinante Matrix Herleitung < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:36 Mo 18.10.2021 | | Autor: | teskiro |
Hallo, ich habe eine Frage bezüglich der Determinante einer Matrix und dem Volumen des von den Spalten der Matrix aufgespannten Parallelotops.
Mich interessiert die Herleitung der Determinante einer 2x2 - Matrix und einer 3x3 - Matrix.
Fangen wir bei einer 2x2 - Matrix an:
Für die Determinante einer Matrix
$A = [mm] (a_{1}, a_{2}) [/mm] = $ [mm] \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix} \in [/mm] Mat(2, [mm] \mathbb{R}) [/mm] gilt $det(A) = [mm] \vert a_{11} \cdot a_{22} [/mm] - [mm] a_{12} \cdot a_{21} \vert$
[/mm]
Zudem ist die Determinante von $A$ gleich dem Flächeninhalt des von den Spalten der Matrix aufgespannten Parallelogramms.
Für den Fächeninhalt $A$ des Parallelogramms gilt:
$A = [mm] \| a_{1} \|_{2} \cdot \| a_{2} \|_{2} [/mm] = [mm] \sqrt{a_{11}^{2} + a_{21}^{2}} [/mm] + [mm] \sqrt{a_{12}^{2} + a_{22}^{2}} [/mm] = [mm] \sqrt{\left ( a_{11}^{2} + a_{21}^{2} \right ) \cdot \left ( a_{12}^{2} + a_{22}^{2} \right )}$
[/mm]
Meine Frage ist nun:
Wie kommt man von $ [mm] \sqrt{\left ( a_{11}^{2} + a_{21}^{2} \right ) \cdot \left ( a_{12}^{2} + a_{22}^{2} \right )}$ [/mm] auf [mm] $\vert a_{11} \cdot a_{22} [/mm] - [mm] a_{12} \cdot a_{21} \vert$ [/mm] ?
Ich habe versucht, die Gleichheit zu zeigen, aber bei mir fallen die Quadrate einfach nicht weg.
Wäre froh, wenn mir jemand an dieser Stelle helfen könnte.
Die Sarrus - Regel lässt sich induktiv wahrscheinlich genauso herleiten, daher muss ich nur wissen, wie man die obige Gleichheit zeigt.
Liebe Grüße, Tim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:33 Mo 18.10.2021 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Hallo, ich habe eine Frage bezüglich der Determinante
> einer Matrix und dem Volumen des von den Spalten der Matrix
> aufgespannten Parallelotops.
>
> Mich interessiert die Herleitung der Determinante einer 2x2
> - Matrix und einer 3x3 - Matrix.
>
>
> Fangen wir bei einer 2x2 - Matrix an:
>
>
> Für die Determinante einer Matrix
>
> [mm]A = (a_{1}, a_{2}) =[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix} \in[/mm]
> Mat(2, [mm]\mathbb{R})[/mm] gilt [mm]det(A) = \vert a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \vert[/mm]
So nicht, da gilt [mm]det(A) = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} [/mm]
> Zudem ist die Determinante von [mm]A[/mm] gleich dem Flächeninhalt
> des von den Spalten der Matrix aufgespannten
> Parallelogramms.
>
> Für den Fächeninhalt [mm]A[/mm] des Parallelogramms gilt:
>
> [mm]A = \| a_{1} \|_{2} \cdot \| a_{2} \|_{2} = \sqrt{a_{11}^{2} + a_{21}^{2}} + \sqrt{a_{12}^{2} + a_{22}^{2}} = \sqrt{\left ( a_{11}^{2} + a_{21}^{2} \right ) \cdot \left ( a_{12}^{2} + a_{22}^{2} \right )}[/mm]
Das stimmt schon aus Dimensionsgründen nicht, [mm] $\sqrt{a_{11}^{2} + a_{21}^{2}} [/mm] + [mm] \sqrt{a_{12}^{2} + a_{22}^{2}}$ [/mm] hat die Dimension einer Länge. Und außerdem ist für [mm] $a_{1} [/mm] = [mm] a_{2}$ [/mm] der Flächeninhalt 0.
Da muß ein neuer Ansatz her!
Gruß Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Mo 18.10.2021 | | Autor: | meili |
Hallo teskiro,
> Hallo, ich habe eine Frage bezüglich der Determinante
> einer Matrix und dem Volumen des von den Spalten der Matrix
> aufgespannten Parallelotops.
>
> Mich interessiert die Herleitung der Determinante einer 2x2
> - Matrix und einer 3x3 - Matrix.
>
>
> Fangen wir bei einer 2x2 - Matrix an:
>
>
> Für die Determinante einer Matrix
>
> [mm]A = (a_{1}, a_{2}) =[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix} \in[/mm]
> Mat(2, [mm]\mathbb{R})[/mm] gilt [mm]det(A) = \vert a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \vert[/mm]
>
>
>
> Zudem ist die Determinante von [mm]A[/mm] gleich dem Flächeninhalt
> des von den Spalten der Matrix aufgespannten
> Parallelogramms.
>
> Für den Fächeninhalt [mm]A[/mm] des Parallelogramms gilt:
>
> [mm]A = \| a_{1} \|_{2} \cdot \| a_{2} \|_{2} = \sqrt{a_{11}^{2} + a_{21}^{2}} + \sqrt{a_{12}^{2} + a_{22}^{2}} = \sqrt{\left ( a_{11}^{2} + a_{21}^{2} \right ) \cdot \left ( a_{12}^{2} + a_{22}^{2} \right )}[/mm]
[mm]A = \| a_{1} \|_{2} \cdot \| a_{2} \|_{2} [/mm] gilt nicht allgemein für die Fläche des Parallelogramms,
sondern nur wenn [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] einen rechten Winkel einschließen,
also das Parallelogramm ein Rechteck ist.
Weiter ist
[mm] \| a_{1} \|_{2} \cdot \| a_{2} \|_{2} = \sqrt{a_{11}^{2} +a_{21}^{2}} \cdot \sqrt{a_{12}^{2} + a_{22}^{2}} [/mm]
>
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> Meine Frage ist nun:
>
> Wie kommt man von [mm]\sqrt{\left ( a_{11}^{2} + a_{21}^{2} \right ) \cdot \left ( a_{12}^{2} + a_{22}^{2} \right )}[/mm]
> auf [mm]\vert a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \vert[/mm]
> ?
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> Ich habe versucht, die Gleichheit zu zeigen, aber bei mir
> fallen die Quadrate einfach nicht weg.
>
> Wäre froh, wenn mir jemand an dieser Stelle helfen
> könnte.
>
>
> Die Sarrus - Regel lässt sich induktiv wahrscheinlich
> genauso herleiten, daher muss ich nur wissen, wie man die
> obige Gleichheit zeigt.
>
>
> Liebe Grüße, Tim
Gruß
meili
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:21 Di 19.10.2021 | | Autor: | fred97 |
Dir wurde schon gesagt, dass Deine "Formel" für den Flächeninhalt falsch ist.
Hier
https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogramm
findest Du eine Herleitung des Flächeninhaltes, die Deine Wünsche erfüllt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Do 21.10.2021 | | Autor: | teskiro |
Ich bedanke mich für alle Antworten! :) Sorry, wenn die Rückmeldung etwas gedauert hat, bin diese Woche ein bisschen im Stress.
Ich werde mir den Wiki - Artikel morgen durchlesen, vielleicht werde ich schlauer daraus.
Liebe Grüße,
Tim
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