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Forum "Determinanten" - Determinante Laplace Gauß
Determinante Laplace Gauß < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Determinante Laplace Gauß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 So 11.03.2007
Autor: hase-hh

Aufgabe
Bestimmen Sie die Determinante von A:

[mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 & 4\\ -5 & 2 & 4 & 3\\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & -3 & 6 & -4} [/mm]








Moin,

ich habe zwei Wege, wie ich die Determinante berechnen könnte. Ich frage mich, warum kommt nicht dasselbe heraus???

1. Weg: nach Laplace

[mm] \pmat{ + \vmat{ 2 & 4 & 3\\ 0 & -2 & 0\\ -3 & 6 & -4} & - \vmat{ -5 & 4 & 3\\ 0 & -2 & 0 \\ 1& 6 &-4} & + \vmat{ -5 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0\\ 1 & -3 & -4} & - \vmat{ -5 & 2 & 4\\ 0 & 0 & 2\\ 1& 3 & -6} \\ - \vmat{ -1 & 0 & 4\\ 0 & -2 & 0 \\ -3&6 & -4} & + \vmat{ 0 & 0 & 4\\ 0 & -2 & 0 \\ 1& 6 & -4} & - \vmat{ 0 & -1 & 4\\ 0 & 0 & 0 \\ 1& -3 & -4} & + \vmat{ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 1 & -3 & 6} \\ + \vmat{ -1 & 0 & 4 \\ 2 & 4 & 3 \\ -3& 6 & -4} & - \vmat{ 0 & 0 & 4 \\ -5 & 4 & 3 \\ 1& 6 & -4} & + \vmat{ 0 & -1 & 4\\ -5 & 2 & 3 \\ 1& -3& -4} & - \vmat{ 0 & -1 & 0 \\ -5 & 2 & 4 \\ 1& -3 & 6} \\ - \vmat{ -1 & 0 &4 \\ 2 & 4 & 3\\0 & -2 & 0} & + \vmat{ 0 & 0 & 4\\ -5 & 4 & 3\\ 0& -2 & 0} & - \vmat{ 0 & -1 & 4 \\ -5 & 2 & 3\\ 0& 0 &0} & + \vmat{ 0 & -1 & 0\\ -5 & 2 & 4\\ 0& 0 & -2}} [/mm]


det(A)= +(-2) -(-34) +0 -34    - (-32) +8 -0 +2     +120 -(-120) +69  -(-34)     -(-22) +40 -0 +10  = 455


ist das so richtig? die unterdeterminanten habe ich nach sarrus ausgerechnet.


zum 2. Weg: Matrix auf Dreiecksform bringen:


dabei habe ich eine Zeile vertauscht (1. mit 2.)

ich erhalte:

[mm] \pmat{ -5 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 69 } [/mm]

leider ergibt sich die Dertiminante hier zu

det(A)= -690    und selbst, wenn ich diese Zahl mit (-1) multipliziere

ist das ja ein anderes Eregbnis, als auf dem 1. Weg.

Fragezeichen?


vielen dank für eure hilfe!

gruß
wolfgang




        
Bezug
Determinante Laplace Gauß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:24 So 11.03.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

die Determinante kannst du leicht durch Entwicklung nach der 3. Zeile berechnen, größte Anzahl von Nullen:

[mm] -2*\vmat{ 0 & -1 & 4 \\ -5 & 2 & 3 \\ 1 & -3 & -4 } [/mm]

=-2*(0-3+60-(-20)-0-8)

=-2*69

=-138

Steffi


Bezug
        
Bezug
Determinante Laplace Gauß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 So 11.03.2007
Autor: ullim

Hi,

Deine Matrix

[mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 & 4\\ -5 & 2 & 4 & 3\\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & -3 & 6 & -4} [/mm]

kann wie folgt umgeformt und auf Dreiecksform gebracht werden.

[mm] \left|\pmat{ 0 & -1 & 0 & 4 \\ -5 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & -3 & 6 & -4}\right|=-\left|\pmat{ -5 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & -3 & 6 & -4}\right| [/mm]


[mm] \br{1}{5} [/mm] * 1. Zeile + 4. Zeile ergibt neue Zeile 4

[mm] \pmat{ 0 & -\br{13}{5} & \br{34}{5} & -\br{17}{5} } [/mm]

[mm] -\br{13}{5} [/mm] * 2. zeile + 4. Zeile ergibt neue Zeile 4

[mm] \pmat{ 0 & 0 & \br{34}{5} & -\br{69}{5} } [/mm]

[mm] -\br{17}{5} [/mm] * 3. Zeile + 4. Zeile ergibt neue Zeile 4


[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & -\br{69}{5} } [/mm]

Also hat die Dreiecksform folgendes Aussehen

[mm] -\left|\pmat{ -5 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\br{69}{5}}\right| [/mm]

damit ist die Determinante -138

mfg ullim

Bezug
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