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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Do 19.05.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo allerseits,
Ich hab zur folgenden Aufgabe eine Verständnisfrage.
Zunächst einmal die Aufgabe:
Sei f: [mm] \IR^{n} [/mm] \ [mm] \IR^{n} [/mm] eine lineare Abbildung mit f [mm] \circ [/mm] f = id.
a) Bestimme det f und det(f-id) det(f+id)
b) Wann ist f eine orthogonale Abbildung? Was folgt für die Eigenwerte von f?
Meine Fragen:
Ich weiß nicht, wie ich det f ausrechnen soll. Das f ist mir ja gar nicht gegeben. Ich weiß aber, dass det f = det A mit A eine darstellende Matrix vom Endomorphismus f. Aber wie kann ich das A bestimmen? Um die Determinante berechnen zu können, brauch ich doch eine Matrix, die f bzgl. einer Basis darstellt. Oder nicht?
In der Vorlesung kam vor, dass jedes f so dargestellt werden kann:
f( [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\....\\ x_{n} } [/mm] = [mm] \pmat{ \lambda_{1} & .... & 0\\ ..... & ... & ... \\ ... & ... & .... \\ 0 & ... & \lambda_{n} } \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\....\\ x_{n} }
[/mm]
Ist diese Diagonalmatrix mein A? Und wie kann ich A finden, um det f zu berechnen?
Zur b) hab ich mir überlegt, dass f eine orthogonale Abb. ist, denn Eigenvektoren zu versch. Eigenwerten stehen doch senkrecht aufeinander, sind also lin. unabh.? Ist die Überlegung richtig?
Ich hoffe, es kann mir jemande weiter helfen.
Danke, Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Do 19.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Hallo allerseits,
> Ich hab zur folgenden Aufgabe eine Verständnisfrage.
> Zunächst einmal die Aufgabe:
> Sei f: [mm]\IR^{n}[/mm] \ [mm]\IR^{n}[/mm] eine lineare Abbildung mit f
> [mm]\circ[/mm] f = id.
> a) Bestimme det f und det(f-id) det(f+id)
Es gilt:
$1 = [mm] \det(id) [/mm] = [mm] \det(f^2) [/mm] = [mm] [\det(f)]^2$,
[/mm]
also:
[mm] $\det(f) \in \{-1,1\}$.
[/mm]
Weiterhin gilt:
[mm] $\det(f-id) \cdot \det(f+id) [/mm] = [mm] \det[(f-id)(f+id)] [/mm] = [mm] \det(f^2-id) [/mm] = [mm] \det(0)=0$.
[/mm]
> b) Wann ist f eine orthogonale Abbildung? Was folgt für
> die Eigenwerte von f?
Hier ist [mm] $f=f^{-1}$. [/mm] Wann ist $f$ orthogonal? Wenn [mm] $f^{-1}=f^{\*}$ [/mm] ist, wobei [mm] $f^{\*}$ [/mm] die zu $f$ duale adjungierte ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Abbildung ist. Wann also ist $f$ hier orthogonal?
Ist [mm] $\lambda$ [/mm] eine Eigenwert von $f$, dann gilt für einen Eigenvektor $x [mm] \ne [/mm] 0$ von [mm] $\lambda$:
[/mm]
$x = [mm] f^2(x) [/mm] = f(f(x)) = [mm] f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda [/mm] f(x) = [mm] \lambda^2x$,
[/mm]
also:
[mm] $(1-\lambda^2)x=0$
[/mm]
Daraus folgt: [mm] $\lambda \in \{-1,1\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Do 19.05.2005 | | Autor: | Moe007 |
hallo,
danke für deine Hilfe. Der Beweis ist ja echt so einfach. Da komm ich mir irgendwie total doof vor, dass ich da nicht selbst drauf gekommen bin 
ich hab zur Teilaufgabe b) eine Frage. Und zwar was ist eine duale Abbildung? Das kam bei uns in der Vorlesung noch nicht dran. Kann man das irgendwie auch anders begründen?
Ich hoffe, du kannst mir erklären, was du mit der dualen Abbildung meinst und wie das mit der Orthogonalität von f zusammenhängt.
Danke vielmals,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:02 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Moe!
Entschuldigung, ich hatte mich verschrieben! Ich meinte natürlich die adjungierte Abbildung!
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
danke für deine Antwort, aber tut mir echt leid, ich weiß auch nicht was eine adjungierte Abbildung ist.... Kam bei uns nie vor in der Vorlesung.
Kannst du mir bitte erklären, was du damit meinst?
Danke, Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Moe!
Bei dir war [mm] $f:\IR^n \to \IR^n$. [/mm] Die adjungierte Abbildung [mm] $f^{ad}:\IR^n \to \IR^n$ [/mm] ist eindeutig bestimmt durch die Gleichung
[mm] $\langle [/mm] f(v),w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v, [mm] f^{ad}(w) \rangle$
[/mm]
für alle [mm] $v,w\in \IR^n$.
[/mm]
$f$ ist genau dann orthogonal, wennt: [mm] $f^{-1}=f^{ad}$.
[/mm]
Bei uns gilt: [mm] $f=f^{-1}$.
[/mm]
Also gilt im Falle $f [mm] \circ [/mm] f=id$ die Beziehung
[mm] $f^{-1}=f^{ad}$
[/mm]
genau dann, wenn [mm] $f=f^{ad}$ [/mm] gilt, d.h. wenn $f$ selbstadjungiert ist.
Da ihr die Begriffe aber noch nicht hattet, denke ich mal darüber nach, was sonst gemeint sein könnte.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
danke für deine Hilfe. Adjungierte Abbildungen hatten wir noch nicht. Komisch das so eine Aufgabe dann gestellt wurde. Aktueller Stoff bei uns ist grad Diagonalisierung von Endomorphismen. Hat das damit vielleicht was zu tun? Ich hab keine Ahnung
Viele Grüße, Moe
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