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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Do 04.06.2009 | | Autor: | neddi |
| Aufgabe | Zeigen Sie: sind a, b, c [mm] \in \IR [/mm] paarweise verschieden, so ist die Determinante
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a² & b² & c² } \not=0. [/mm] |
Ich würde beginnen, dass wenn a,b,c paarweise verschieden sein sollen, dann ist [mm] a\not=b\not=c [/mm] und mann würde rechnen
[mm] det=(1*b*c²)+(1*c*a²)+(1*a*b²)-(1*b*a²)-(1*c*b²)-(1*a*c²)\not=0
[/mm]
[mm] det=bc²+ca²+ab²-ba²-cb²-ac²\not=0
[/mm]
Gegenbeispiel: Wenn man jetzt davon ausgeht, dass a=b=c dann ist det=3a³-3a³=0
Wenn man [mm] a=b\not=c [/mm] dann erhält man det=ac²+ca²+a³-a³-ca²-ac²=0 desshalb muss [mm] a\not=b\not=c [/mm] sein.
Meine Frage wäre nun ob das als Beweis ausreicht, oder wie man es anders machen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Do 04.06.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ich würde sagen, dass du so nicht vorgehen kannst, denn du sollst ja zeigen dass die Determinante ungleich 0 ist und kannst dies wie in deinem Fall nicht von vorneherein annehmen.
Nimm einfach mal o.B.d.A. an dass a=0 und überleg dir warum dann die Determinante nicht 0 sein kann.
Der Fall [mm] a\not=0, b\not=0, c\not=0 [/mm] für paarweise verschiedene [mm] a,b,c\in\IR [/mm] sollte danach natürlich auch noch betrachtet werden, wobei der ziemlich klar sein dürfte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Do 04.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo,
entwickel (LaPlace) einmal nach der 3. Zeile und dann siehe die Hinweise von kegel53.
Gruß barsch
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> Zeigen Sie: sind a, b, c [mm]\in \IR[/mm] paarweise verschieden, so
> ist die Determinante
> [mm]\vmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a² & b² & c² } \not=0.[/mm]
Hallo,
Du kannst hier Zeilenumformungen vornehmen, s. die Regeln fürs Berechnen von Determinanten.
Subtrahierst Du das a-fache der 1. Zeile von der 2.Zeile und das [mm] a^2-fache [/mm] der 1. Zeile von der 3.Zeile, so hast Du
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a² & b² & c² } =\vmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & b-a & c-a \\ 0 & b²-a^2 & c²-a^2 } .
[/mm]
Und weiter? Du solltest auf Dreiecksform kommen...
Gruß v. Angela
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