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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Mi 23.12.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habe eine Optiemierungsaufgabe gelöst, welche eine Fläche eines Dreiecks maxiemerien soll. Dabei laufen zwei Punkte auf zwei Geraden. Ich habe da zwei Seiten gerechnet und die richtige Lösung bekommen...wie auch immer: Ich habe in der Lösung gesehen, dass man die abhängige Fläche auch viel einfacher bekommen kann:
Da wurden die drei Punkte des Dreiecks in die Spalten einer Matrix geschrieben und diese noch mal 1/2 gerechnet!
Also so:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \vmat{ a1 & b1 & c1 \\ a2 & b2 & c2 \\ a3 & b3 & c3 }
[/mm]
- Für die Punkte A,B und C.
Ich weiss ja das die Determinante angiebt wie eine Fläche "gestreckt" wird (also z.B. bei Faktor 5 ist die Determinante 5)
Nur wieso gibt mir das die Fläche des Dreiecks?
Christian
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> Hallo,
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> Ich habe eine Optimierungsaufgabe gelöst, welche eine
> Fläche eines Dreiecks maxiemerien ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") soll. Dabei laufen zwei
> Punkte auf zwei Geraden. Ich habe da zwei Seiten gerechnet
> und die richtige Lösung bekommen...wie auch immer: Ich
> habe in der Lösung gesehen, dass man die abhängige
> Fläche auch viel einfacher bekommen kann:
> Da wurden die drei Punkte des Dreiecks in die Spalten
> einer Matrix geschrieben und diese noch mal 1/2 gerechnet!
>
> Also so:
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\vmat{ a1 & b1 & c1 \\ a2 & b2 & c2 \\ a3 & b3 & c3 }[/mm]
>
> - Für die Punkte A,B und C.
>
> Ich weiss ja das die Determinante angiebt wie eine Fläche
> "gestreckt" wird (also z.B. bei Faktor 5 ist die
> Determinante 5)
>
> Nur wieso gibt mir das die Fläche des Dreiecks?
>
> Christian
Hallo Christian,
so stimmt dies überhaupt nicht !
Man kann zwar den Flächeninhalt eines Dreiecks als den
halben Betrag des Vektorproduktes von zwei Seitenvektoren
berechnen und dabei das Vektorprodukt symbolisch als
eine Determinante schreiben. Dabei kommt aber keines-
wegs das heraus, was du geschrieben hast.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mi 23.12.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Danke, wenigstens war es gut dass ich nachgefragt habe...
Also ich schreib mal was als Lösung im Buch steht (vielleicht kennst du es, ist von der ETH, U.Stammbach)
Man hat die drei Punkte bekommen: P3 = [ -1, 2, 0 ], P2 = [ (x+2) / 2,-x/2,0] P1 = [(x-4)/2,x,0]
=> 1/2 * [mm] \vmat{ (x-4)/2 & (x+2) / 2 & -1 \\ x & x/2 & 2 \\ 1 & 1 & 1}
[/mm]
= [mm] (-3x^2 [/mm] - 6x + 24 ) / 8
Das ganze ist eine Aufgabe in der Ebene, trotzdem macht man drei Kooridnaten draus und gibt unten immer noch 1 dazu. Demfall ist das eine Art Vektorprodukt wo man einfach die dritte Dimension 1 nimmt um nichts zu verändern?
Danke...
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> Danke, wenigstens war es gut dass ich nachgefragt habe...
>
> Also ich schreib mal was als Lösung im Buch steht
> (vielleicht kennst du es, ist von der ETH, U.Stammbach)
Das Buch kenne ich nicht, aber Herrn Stammbach. Der
muss inzwischen auch ein älterer Hase sein. Damals war
er als junges Bürschchen eine Zeitlang Vorlesungsassistent,
und ich war in seiner Gruppe.
> Man hat die drei Punkte bekommen:
> P3 = [ -1, 2, 0 ], P2 = [(x+2)/2, -x/2 , 0] P1 = [(x-4)/2,x,0]
>
> => 1/2 * [mm]\vmat{ (x-4)/2 & (x+2) / 2 & -1 \\ x & x/2 & 2 \\ 1 & 1 & 1}[/mm]
>
> = [mm](-3x^2[/mm] - 6x + 24 ) / 8
>
> Das ganze ist eine Aufgabe in der Ebene, trotzdem macht man
> drei Kooridnaten draus und gibt unten immer noch 1 dazu.
> Demfall ist das eine Art Vektorprodukt wo man einfach die
> dritte Dimension 1 nimmt um nichts zu verändern?
Aha, jetzt verstehe ich. Man hebt quasi die 3 Punkte aus
der Ebene z=0 in die Ebene z=1. Die Vektoren von O(0/0/0)
zu den 3 neuen Punkten sind nun Kantenvektoren einer
Pyramide mit Spitze O, Grundfläche in der Ebene z=1 und
deshalb Pyramidenhöhe H=1. Nun kann man das Pyramiden-
volumen V auf 2 Arten ausdrücken:
1.) [mm] V=\frac{G*H}{3}
[/mm]
2.) [mm] V=\frac{1}{6}*Spatvolumen=\frac{1}{6}*\left|\underbrace{[P_1',P_2',P_3']}_{Spatprodukt}\right|$
[/mm]
Nun kann man dies gleichsetzen, H=1 einsetzen und nach
der gesuchten Dreiecksfläche G auflösen.
Gruß und schöne Feiertage !
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Do 24.12.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Danke für die ausführliche Interpretation, ich musste nicht einmal mehr selbst überlegen wie gross H ist, wenn die Grundfläche auf der z=1-Ebene liegt...
Hehe, die Welt ist klein...! ...ja das ist gut zu wisssen, dann weiss ich ja an wen ich mich wenden kann, falls ich einen seiner Lösungswege nicht verstehe...
Ja, danke, einen schönen Feiertag!
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