Determin. per Rekursionsformel < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:47 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Blueplanet |
| Aufgabe | Die 2n×2n Matrix habe auf der Hauptdiagonale lauter "a"s und auf der Nebendiagonale lauter "b"s und ansonsten nur Nullen
Berechnen Sie ihre Determinante. Finden Sie zunächst eine Rekursionsformel. |
Bei der Aufgabe bräuchte ich etwas Hilfe.
Die rekursive Definition der Determinante ist mir bekannt, nur komme ich mit der nicht weiter.
Gruß
BP
|
|
| |
|
Hallo,
wie sehen denn die ersten 5 Matrizen (also für n=1,2,3,4,5) aus, und wie lauten und ihre Determinanten?
Man muß ja erstmal etwas in der Hand haben, mit dem man sich auf Ideen bringen kann.
> Die rekursive Definition der Determinante ist mir bekannt,
> nur komme ich mit der nicht weiter.
Was meinst Du damit?
Erklär mal etwas ausführlicher, wie weit Deine Überlegungen gediehen sind
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Mit rekursiver Definition meinte ich:
[mm] det_{n+1}(A)=\summe_{j=1}^{n+1} (-1)^{1+j}a_{1j} det_{n}(A_{1j})
[/mm]
Wobei [mm] A_{1j} [/mm] die Matrix bezeichnet, die entsteht, wenn man die 1. Zeile und die j-te Spalte streicht.
Zurück zur eigentlichen Aufgabe:
für n=1 ergibt sich [mm] a^{2}-b^{2}
[/mm]
für n=2: [mm] a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}
[/mm]
Sieht irgendwie nach Binomialkoeffizient aus, hilft mir aber nicht wirklich weiter :/
|
|
|
| |
|
Hallo Blueplanet,
> Mit rekursiver Definition meinte ich:
>
> [mm]det_{n+1}(A)=\summe_{j=1}^{n+1} (-1)^{1+j}a_{1j} det_{n}(A_{1j})[/mm]
>
> Wobei [mm]A_{1j}[/mm] die Matrix bezeichnet, die entsteht, wenn man
> die 1. Zeile und die j-te Spalte streicht.
>
>
> Zurück zur eigentlichen Aufgabe:
>
> für n=1 ergibt sich [mm]a^{2}-b^{2}[/mm]![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] $=(a^2-b^2)^{\red{1}}$
[/mm]
>
> für n=2: [mm]a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}[/mm]
[mm] $=(a^2-b^2)^{\red{2}}$
[/mm]
Wenn du es noch für [mm] $\red{n=3}$ [/mm] berechnest, kommt [mm] $(a^2-b^2)^{\red{3}}$ [/mm] heraus.
Das legt die Vermutung doch recht nahe, dass für alle $n [mm] \in\IN$ [/mm] die Determinante dieser oben beschriebenen [mm] $2n\times [/mm] 2n$-Matrix [mm] $(a^2-b^2)^{\red{n}}$ [/mm] ist.
Versuche mal einen Induktionsschritt von [mm] $n\to [/mm] n+1$
Betrachte mal eine [mm] $(2n+2)\times(2n+2)$-Matrix [/mm] dieses Typs und versuche, sie auf eine [mm] $2n\times [/mm] 2n$-Matrix zurückzuführen, so dass du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst.
> Sieht irgendwie nach Binomialkoeffizient aus, hilft mir
> aber nicht wirklich weiter :/
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> Versuche mal einen Induktionsschritt von [mm]n\to n+1[/mm]
>
> Betrachte mal eine [mm](2n+2)\times(2n+2)[/mm]-Matrix dieses Typs
> und versuche, sie auf eine [mm]2n\times 2n[/mm]-Matrix
> zurückzuführen, so dass du die Induktionsvoraussetzung
> anwenden kannst.
Wie mache ich das? Ein Induktionsschritt zu einer größeren Matrix ist mir neu.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
Nun, die Induktionsvoraussetzung lautet hier:
Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $A_n$ [/mm] eine [mm] $2n\times [/mm] 2n$-Matrix mit a auf der Hauptdiagonalen und b auf der Nebendiagonalen und gelte [mm] $det(A_n)=(a^2-b^2)^n$
[/mm]
Nun ist zu zeigen, dass die Matrix [mm] $A_{n+1}$ [/mm] vom Format [mm] $(2n+2)\times(2n+2)$ [/mm] mit a auf der HD und b auf der ND entsprechend die Determinante [mm] $(a^2-b^2)^{n+1}$ [/mm] hat.
Schreibe dir eine [mm] $(2n+2)\times(2n+2)$-Matrix [/mm] des genannten Typs hin und entwickele nach der 1.Spalte.
Dort steht im Eintrag $1,1$ ein a und im Eintrag $2n+2,1$ ein b
Damit ist die Determinante also
[mm] $a\cdot{} [/mm] \ [mm] \text{1. Streichmatrix vom Format} (2n+1)\times(2n+1) [/mm] \ \ - \ \ [mm] b\cdot{} [/mm] \ [mm] \text{2. Streichmatrix vom Format} (2n+1)\times(2n+1)$
[/mm]
Nun haben diese beiden Streichmatrizen in der letzten Spalte jeweils nur einen Eintrag [mm] \neq [/mm] 0.
Die erste hat im Eintrag $(2n+1),(2n+1)$ ein a stehen, die zweite hat im Eintrag $1,(2n+1)$ ein b stehen.
Entwickle also die beiden Streichmatrizen nach der letzten Spalte.
Damit erhältst du 2 weitere Streichmatrizen, dieses Mal dann vom Format [mm] $2n\times [/mm] 2n$, die genau die Gestalt der Matrix [mm] $A_n$ [/mm] aus der Induktionsvoraussetzung haben, so dass du die IV anwenden kannst (beide "neuen" Streichmatrizen haben Determinante [mm] $(a^2-b^2)^n$
[/mm]
Ich habe nun keine Lust, die großen Matrizen einzuTeXen 
Rechne mal auf nem Blatt Papier nach, was ich geschrieben habe, es müsste nicht allzu schwer sein.
Falls es wider Erwarten nicht klappen sollte, melde dich nochmal, aber dann mit genauer Angabe, wo du hängst, dann tippe ich doch mal die ein oder andere Matrix ein, das wird aber dann etwas dauern ...
Also geh's mal an!
Liebe Grüße
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hey, Klasse, das ist wirklich Clever
Funktioniert einwandfrei. Ich hab zwar versehentlich nach der ersten und letzten *Zeile* entwickelt, aber das klappt natürlich auch.
Hast du zufällig noch eine Idee, welche Rekursionsformel im Aufgabentext angedacht war?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hey, Klasse, das ist wirklich Clever
> Funktioniert einwandfrei. Ich hab zwar versehentlich nach
> der ersten und letzten *Zeile* entwickelt, aber das klappt
> natürlich auch.
Sehr schön, das freut mich ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
>
> Hast du zufällig noch eine Idee, welche Rekursionsformel
> im Aufgabentext angedacht war?
Na, die kannst du doch aus der Entwicklung im Induktionsschritt ablesen:
Du müsstest ja nach der 2. Entwicklung, bei der du auf die [mm] $2n\times [/mm] 2n$-Streichmatrizen kommst, dies erhalten:
[mm] $\blue{det(A_{n+1})}=a^2\cdot{}det(A_n)-b^2\cdot{}det(A_n)=\blue{(a^2-b^2)\cdot{}det(A_n)}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Blueplanet |
Alles klar, danke für deine Hilfe!
|
|
|
|
