Determ. einer symm. Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Do 21.05.2009 | | Autor: | e3razor |
| Aufgabe | Man bestimme die Determinante der reellen nxn-Matrix
[mm] \pmat{ 0 & \ldots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \ldots & 0 } [/mm] |
Die Matrix hat Nullen auf der Hauptdiagonale und ansonsten überall Einsen.
Durch Nachrechnen für kleine n habe ich rausgefunden, dass die Determinanten die Werte 0 (für n = 1), -1 (für n = 2), 2, -3, 4, -5 usw. annehmen.
Der Beweis will mir aber nicht gelingen. Weder mit dem Kästchensatz noch mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz oder sonstigen Determinantenrechenregeln bin ich bisher weitergekommen.
Hat jemand einen Tipp?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Die Berechnung der Determinante geschieht folgendermaßen:
[mm] [mm] \begin{vmatrix}
0 & \cdots & 1 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
1 & \cdots & 0
\end{vmatrix}
[/mm]
Ziehe von hinten nach vorne von der n-ten Spalte die n-1te ab: Spalte k = Spalte k - Spalte k-1 für k=n bis 1
ergibt eine Matrix mit -1 auf der Hauptdiagonalen außer im ersten Eintrag und 1sen auf der Diagonalen über der Hauptdiagonalen.
[mm] \begin{vmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & -1 & 1 & 0 & \dots & 0\\
& \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
1 & 0 \cdots & 0 & 0 & -1 &1\\
1 & 0 \cdots & 0 & 0 & 0 &-1
\end{vmatrix}
[/mm]
Addiere von oben nach unten die obere auf die untere Zeile und das Ergebniss auf die nächst usw:
Spalte k = [mm] (\summe_{j=1}^{k-1} [/mm] Spalte j) + Spalte k
[mm] \begin{vmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\
2 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0\\
& \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
n-2 & 0 \cdots & 0 & 0 & 0 &1\\
n-1 & 0 \cdots & 0 & 0 & 0 &0
\end{vmatrix}
[/mm]
Laplace nach erster Spalte ist nur ungleich null für den letzten Eintrag, also n-1, und die Determinante der Untermatrix ist 1 da Dreiecksmatrix. Es ergibt sich also det(nxn) = (n-1)* [mm] (-1)^{n-1}
[/mm]
Hoffe das ist richtig (ist ja schon spät) und konnte weiterhelfen. Liebe Grüße,
Philipp.
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