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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich hätte eine Frage zu dem Übergang von Theorie zu Aufgabe in der Mathematik.
Natürlich ist es eine allgemein Frage, aber da ich mich gerade mit Funktionen beschäftige, stell ich sie mal hier.
In den meisten Mathematik Büchern, bzw. in denen die ich kenne, steht meistens folgendes:
1.) Injektiv heißt, das jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird.
Dann ein Beispiel: f = x²
Zeige, das die Funktion injektiv ist.
Warum steht nirgends beschreiben wie man zeigt, das eine Funktion injektiv ist, aber wohl was es heißt das eine Funktion injektiv ist?
Danke für Hinweise warum das in der Mathematik so gemacht wird.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 So 21.09.2014 | | Autor: | chrisno |
Lautet die Aufgabe wirklich so? Hier zeigt sich, dass es einen Grund hat, dass zu der Angabe einer Funktion auch die Definitionsmenge gehört. Welche nimmst Du?
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Hi!
Sorry, natürlich heißt es f(x) = x²
korrekterweise.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 So 21.09.2014 | | Autor: | chrisno |
Willst Du wirklich keine Reaktion? Du hast eine Mitteilung geschrieben.
Noch einen Schritt zurück: Was ist der Definitionsbereich?
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| Aufgabe | | [mm] \IR \to \IR [/mm] |
Bitte schön und sorry!
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Dann solltest du dem Aufgabensteller schreiben, dass, sollte es jemandem gelingen, die Aufgabe zu lösen, dieser die Konsistenz von ZFC widerlegt hätte, was zwar höchst spektakulär wäre, für eine Übungsaufgabe, jedoch etwas sehr anspruchsvoll.
In anderen Worten: Sollte unsere Mathematik widerspruchsfrei sein, lässt sich das Geforderte nicht zeigen, denn $-1$ und $1$ werden auf dasselbe Bild geschickt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mo 22.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
um's kurz zu machen:
> [mm]\IR \to \IR[/mm]
dett ka' nett sinn.
Das, was UniversellesObjekt geschrieben hat, bedeutet nichts anderes, als
dass hier
[mm] $f^{-1}(\{1\})=\{-1,\,1\}\,.$
[/mm]
Alleine das widerlegt schon die Injektivität. Aber es kommt noch schlimmer:
[mm] $f^{-1}(\{r\})=\{-r,\,r\}$
[/mm]
gilt für alle $r [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Und die Menge rechterhand ist sicherlich zweielementig
für alle $r [mm] \red{\;>\;}0$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
>
> Ich hätte eine Frage zu dem Übergang von Theorie zu
> Aufgabe in der Mathematik.
> Natürlich ist es eine allgemein Frage, aber da ich mich
> gerade mit Funktionen beschäftige, stell ich sie mal
> hier.
>
> In den meisten Mathematik Büchern, bzw. in denen die ich
> kenne, steht meistens folgendes:
>
> 1.) Injektiv heißt, das jedes Element der Zielmenge
> höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird.
>
>
> Dann ein Beispiel: f = x²
es war klar, dass Du [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] meinst.
> Zeige, das die Funktion injektiv ist.
Kannste vergessen. Ohne die Angabe eines Definitionsbereichs geht das
erst recht nicht, und generell ist eine Funktion mehr als ein Funktionsausdruck,
da gehören Defintions- und Zielbereich dazu.
> Warum steht nirgends beschreiben wie man zeigt, das eine
> Funktion injektiv ist, aber wohl was es heißt das eine
> Funktion injektiv ist?
In manchen Büchern steht, wie das gemacht wird, in anderen nicht. Das
hängt auch davon ab, was alles schon vorher gemacht wurde. Manche
weisen darauf hin, andere nicht (vor allem nicht, wenn das Schema schon
etliche Male durchgezogen wurde, in vollkommener Analogie).
Für obige Funktion kannst Du etwa die Injektivität nachweisen, wenn Du
sie als Funktion [mm] $]-\infty,0] \to \IR$ [/mm] betrachtest.
Das ist zwar *untypisch*, sie so zu betrachten, aber why not?
Ich könnte sie sogar als Funktion
$]-1,0] [mm] \cup ]1,\infty[ \to [-1,\infty[$
[/mm]
betrachten, wenn ich Dich etwas mehr ärgern will. Und glaub' mir, ich kann
sie sogar so betrachten, dass Du Dich richtig ärgerst. 
Gehen wir jetzt mal her und betrachten
$f [mm] \colon ]-\infty,0] \ni [/mm] x [mm] \mapsto f(x):=x^2 \in [-1,\infty[\,.$
[/mm]
Zu zeigen ist nun:
Für jedes $y [mm] \in [-1,\infty[$ [/mm] ist
[mm] $f^{-1}(\{y\})$
[/mm]
HÖCHSTENS einelementig, um die Injektivität von [mm] $f\,$ [/mm] einzusehen. Na: Wie
startet man?
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Mo 22.09.2014 | | Autor: | hippias |
Wenn man eine universelle Methode erwartet um diese Eigenschaft nachzuweisen bleibt wohl nicht mehr uebrig als zu sagen: zeige, dass jeder Funktionswert hoechstens einmal angenommen wird.
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Man kann jedoch auch einfach eine linksinverse Abbildung abgeben. Falls $ f $ gegeben ist durch [mm] $\IR_+\longrightarrow\IR [/mm] $, $ [mm] x\longmapsto x^2$, [/mm] betrachte etwa $ [mm] \IR\xrightarrow{\ \ g\ \ }\IR_+$ [/mm] mit $ [mm] x\longmapsto\sqrt [/mm] {|x|} $. Dann gilt für $ [mm] x\in\IR_+$ [/mm] stets $ [mm] gfx=\sqrt {|x^2|}=|x|=x=\operatorname [/mm] {id} x $.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Mo 22.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo UO (sorry für die Abkürzung - aber besser als UFO );
> Man kann jedoch auch einfach eine linksinverse Abbildung
> abgeben. Falls [mm]f[/mm] gegeben ist durch [mm]\IR_+\longrightarrow\IR [/mm],
> [mm]x\longmapsto x^2[/mm],
>
> betrachte etwa [mm]\IR\xrightarrow{\ \ g\ \ }\IR_+[/mm]
> mit [mm]x\longmapsto\sqrt {|x|} [/mm]. Dann gilt für [mm]x\in\IR_+[/mm]
> stets [mm]gfx=\sqrt {|x^2|}=|x|=x=\operatorname {id} x [/mm].
ich schreibe das, was Du sagst, dann doch lieber mal ein wenig "schülerfreundlicher":
Mit $f [mm] \colon \IR_\red{+} \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] und $g [mm] \colon \IR \to \underbrace{[0,\infty)}_{=\IR_+}$ [/mm] mit [mm] $g(x):=\sqrt{|x|}$ [/mm] gilt
$(g [mm] \circ f)(x)=g(f(x))=\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|x^2|}=\sqrt{|x|^2}=|\;|x|\;|=|x|=x=\text{id}_{[0,\infty)}(x)$
[/mm]
für alle $x [mm] \in [0,\infty)\,.$
[/mm]
[mm] $g\,$ [/mm] ist aber alles andere als eindeutig (ich kann ja schon [mm] $g\,$ [/mm] auf [mm] $(-\infty,0)$ [/mm] umdefinieren,
wie ich gerade lustig bin [sofern ich den Zielbereich [mm] $[0,\infty)$ [/mm] dadurch nicht verlasse],
und obiges bleibt dennoch erhalten).
Übrigens passt Deine Funktion [mm] $g\,$ [/mm] nicht ganz, denn wenn $f [mm] \colon \red{\IR} \to \blue{\IR}$
[/mm]
war, dann sollte auch eine Linksinverse eine Abb. [mm] $\blue{\IR} \to \red{\IR}$ [/mm] sein (das rote [mm] $\IR$ [/mm] hast Du durch [mm] $\IR_+$ [/mm] ersetzt!).
Jedenfalls, wenn man sich an
![[]](/images/popup.gif) diese Definition
hält. Aber da können verschiedene Autoren wohl auch variieren...
Edit: Sorry, hatte übersehen, dass Du oben $f [mm] \colon \IR_+ \to \IR$ [/mm] auffasst!
Gruß,
Marcel
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