Der Ring K[t] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Es sei R=K[t] ein kommutativer Ring mit Einselement, wobei K ein Körper ist, und I=P(t)R mit [mm] P(t)\in [/mm] R.
Ist P[t][mm] \in [/mm] K, dann ist P[t]R=R und R/I=R/R=(0).
Ist dagegen deg P>0 und [mm] Q(t)\R, [/mm] dann kann man die Restklasse Q(t)+P(t)R mit einem Q(t) mit deg Q < deg P erzeugen.
Und es ergibt sich, falls deg P > 0 und K endlich ist, diese Formel:
[mm] |R/P(t)R|=|K|^{deg P}. [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Ordnet man jedem [mm] a\in [/mm] R, wobei R ein kommutativer Ring mit Einselement ist, die Restklasse f(a)=a+I zu (I ist ein Ideal von R), dann sieht man, dass f ein Ringhomomorphismus ist; also ist R/I ein homomorphes Bild von R. |
| Aufgabe 3 | Hier heißt es: "Die Aussage, dass [mm] \IZ_{m} [/mm] ein homomorphes Bild von [mm] \IZ [/mm] ist, können wir mit der Kongruenzrelation folgendermaßen ausdrücken: Wenn [mm] a\equiv [/mm] a' (mod m) und [mm] b\equiv [/mm] b' (mod m) erfüllt sind, dann gilt:
[mm] a+b\equiv [/mm] a'+b' (mod m) und [mm] ab\equiv [/mm] a'b' (mod m)." |
Hey,
Aufgabe 1:
Für den Fall, dass P[t][mm] \in K\backslash\{0\} [/mm] (also deg(P)=0), funktioniert der Satz doch auch, denn dann gilt immer: [mm] |R/P(t)R|=|\{(0)\}|=|\{0\}|=1=|K|^{0}=|K|^{deg P}
[/mm]
Kann man also den Satz einfach für [mm] deg(P)\ge [/mm] 0 erweitern (hier wäre dann [mm] deg(0):=-\infty [/mm] )?
Aufgabe 2:
Um zu zeigen, dass f ein Ringhomomorphismus ist, kann man direkt annehmen, dass [mm] f:R\to [/mm] R/I definiert ist, oder muss man annehmen, dass [mm] f:R\to [/mm] S mit [mm] R/I\subseteq [/mm] S definiert ist?
Und für den Fall, dass [mm] f:R\to [/mm] R/I definiert ist, kann ich dann direkt sagen, dass R/I ein homomorphes Bild von R/I ist? (denn irgendwie ist ja durch die Def von R/I:= [mm] \{ a+I: a\in R\} [/mm] klar, dass f dann surjektiv ist)
Aufgabe 3:
Warum kann man mit dieser Kongruenzrelation die Aussage ausdrücken, dass [mm] \IZ_{m} [/mm] ein homomorphes Bild von [mm] \IZ [/mm] ist?
Mit dieser Kongruenzrealtion zeigt man, wenn ich das richtig verstehe die Wohldefiniertheit von Addition und Multiplikation.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 04.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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