Der Levi-Civita-Tensor < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
zuerst einmal, damit keiner böse wird:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dann noch folgendes: Z.Z. geht die Suchfunktion in diesem Forum nicht. Ich habe einige Fragen mal durchgeschaut, aber keine gefunden, die meiner Frage entsprechen.
Ich habe gerade Mathevorkurs und wir haben gestern den "Levi-Civitas-Tensor" pzw. den "Epsilon-Tensor" eingeführt. Nun sitze ich vor dem Übungszettel und schaue dumm aus der Wäsche, weil ich nicht kapiere, woher ich die Indizes nehme.
Ich werde dazu einfach mal eine der Aufgaben vom Zettel geben.
Aufgabe:
Die Vektoren e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) bilden die Orthonormalbasis des [mm] \IR [/mm] ³.
Sei Vektor a=-e1+2e2-3e3 und Vektor b=2e1+3e2+e3. Berechnen Sie Vektor a [mm] \times [/mm] b (also Vektoprodukt).
So. Vektor a ist natürlich (-1,2,-3) und Vektor b=(2,3,1)
Laut unseren Aufzeichnungen ist
Vektor a [mm] \times [/mm] b = summe{i,j,k} [mm] \varepsilon [/mm] i,j,k *ai*bj*Vektor ek (die zweiten Buchstaben i,j,k sind jeweils die Indizes)
Aber WAS sind jetzt die Indizes? Ist ai=-1, bj=3? Aber was ist dann der Vektor ek?
Ich weiß es ehrlich nicht und bitte um Hilfe!
Danke!
LG, Tannihoney
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> Ich habe gerade Mathevorkurs und wir haben gestern den
> "Levi-Civitas-Tensor" pzw. den "Epsilon-Tensor" eingeführt.
Ach Du liebe Zeit, Tannihoney,
es kommt mir so vor, als hätten sie einfach für Euch das Kreuzprodukt überflüssig kompliziert verpackt.
> Nun sitze ich vor dem Übungszettel und schaue dumm aus der
> Wäsche,
Das wird Dir in Zukunft öfter so gehen. Ist nichts besonderes. Geht jedem so.
> Aufgabe:
>
> Die Vektoren e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) bilden die
> Orthonormalbasis des [mm]\IR[/mm] ³.
>
> Sei Vektor a=-e1+2e2-3e3 und Vektor b=2e1+3e2+e3. Berechnen
> Sie Vektor a [mm]\times[/mm] b (also Vektoprodukt).
>
> So. Vektor a ist natürlich (-1,2,-3) und Vektor b=(2,3,1)
So. Und weißt Du, was Du jetzt machst? Berechne ganz normal das Kreuzprodukt. Wie in der Schule. Falls Du's da nicht gelernt hast
[mm] \vec{a}x \vec{b}= \vektor{a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1}.
[/mm]
Falls Dich der [mm] \varepsilon-Tensor [/mm] immer noch interessiert, guck hier:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs8/seite25.html
Da hab' ich kapiert, wie's gemeint ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Sa 15.10.2005 | | Autor: | Tannihoney |
Hm ja, das hab ich ja schon längst gemacht =)
Das Problem ist, dass wir in den Folgeaufgaben das ganze natürlich UNBEDINGT mit dem tollen Tensor machen müssen.
Aber ich komm und komm nicht auf die Indizes.
Danke schonmal. Und hey, wer sitzt nicht gerne am Samstag mehrere Stunden vor einer Matheaufgabe ? =P hehe. Naja. Ich versuch mein Glück weiter. Habe heute nichts mehr vor =)
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Nachtrag zu meiner Mitteilung:
Aber falls mir trotzdem jemand das Kreuzprodukt einmal anhand der hier vorhandenen ZAHLEN mit dem Tensor vorrechnen bzw. erklären kann, dann darf dieser das sehr, sehrsehrsehr gerne tun =)
Ich verweise auf die Eingangsfrage, wo die Aufgabe drin steht. (Levi-Civita-Tensor)
Dankööö
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> So. Vektor a ist natürlich (-1,2,-3) und Vektor b=(2,3,1)
>
> Laut unseren Aufzeichnungen ist
>
> Vektor a [mm]\times[/mm] b = [mm] \summe{i,j,k}[/mm] [mm]\varepsilon[/mm] i,j,k
> *ai*bj*Vektor ek (die zweiten Buchstaben i,j,k sind
> jeweils die Indizes)
Hallo,
ich versuche das jetzt mal so aufzuschreiben, daß man's lesen kann:
a [mm]\times[/mm] b=[mm] \summe_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a_ib_je_k[/mm]
>
> Aber WAS sind jetzt die Indizes? Ist ai=-1, bj=3? Aber was
> ist dann der Vektor ek?
[mm] a_i [/mm] ist die i-te Komponente von [mm] \vec{a}, [/mm] für z.B. i=2 also [mm] a_2=2,
[/mm]
[mm] b_j [/mm] die j-te Komponente von [mm] \vec{b}, [/mm] z.B. für j=3 [mm] b_3=1,
[/mm]
[mm] e_k [/mm] soll den k-ten Einheitsvektor darstellen, z.B. für k=1 [mm] e_1= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Offensichtlich (?) sind i,j,k [mm] \in{1, 2, 3}.
[/mm]
Was ist nun mit [mm] \summe_{i,j,k} [/mm] gemeint? Zum einen laufen die Indizes von 1 bis 3, also
[mm] \summe_{i,j,k}=\summe_{i,j,k=1}^3. [/mm] Dies ist eine Abkürzung für eine dreifache [mm] Summation:\summe_{i,j,k=1}^3= \summe_{i=1}^{3} \summe_{j=1}^{3} \summe_{k.=1}^{3}. [/mm] Das bedeutet zuerst k abarbeiten, dann j, dann i.
Ich mache mal ein etwas kürzeres Beispiel.
[mm] \summe_{i=1}^{2} \summe_{j=1}^{2} \summe_{k.=1}^{2} d_{ijk}= [/mm]
(Erstmal über k summieren, also k=1 und k=2 einsetzen und summieren)
= [mm] \summe_{i=1}^{2} \summe_{j=1}^{2}(d_{ij1} [/mm] + [mm] d_{ij2})
[/mm]
(jetzt kommt j dran)
[mm] =\summe_{i=1}^{2}((d_{i11} [/mm] + [mm] d_{i12})+(d_{i21} [/mm] + [mm] d_{i22}))
[/mm]
(Nun i)
[mm] =((d_{111} [/mm] + [mm] d_{112})+(d_{121} [/mm] + [mm] d_{122}))+((d_{211} [/mm] + [mm] d_{212})+(d_{221} [/mm] + [mm] d_{222}))
[/mm]
Das Prinzip müßte jetzt klar sein, in Deinem Fall mußt Du eben von 1 bis drei summieren, was umfangreicher, aber nicht schwieriger ist.
Beim Ausrechnen mußt Du die Werte für [mm] \varepsilon_{ijk} [/mm] beachten, wenn zwei Indizes gleich sind, wird das Ding ja =0, aber das hast Du bestimmt alles im Kurs aufgeschrieben.
Gruß v. Angela
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> a [mm]\times[/mm] b=[mm] \summe_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a_ib_je_k[/mm]
> >
> > Aber WAS sind jetzt die Indizes? Ist ai=-1, bj=3? Aber was
> > ist dann der Vektor ek?
>
> [mm]a_i[/mm] ist die i-te Komponente von [mm]\vec{a},[/mm] für z.B. i=2 also
> [mm]a_2=2,[/mm]
> [mm]b_j[/mm] die j-te Komponente von [mm]\vec{b},[/mm] z.B. für j=3 [mm]b_3=1,[/mm]
> [mm]e_k[/mm] soll den k-ten Einheitsvektor darstellen, z.B. für k=1
> [mm]e_1= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}.[/mm]
>
> Offensichtlich (?) sind i,j,k [mm]\in{1, 2, 3}.[/mm]
>
> Was ist nun mit [mm]\summe_{i,j,k}[/mm] gemeint? Zum einen laufen
> die Indizes von 1 bis 3, also
> [mm]\summe_{i,j,k}=\summe_{i,j,k=1}^3.[/mm] Dies ist eine Abkürzung
> für eine dreifache [mm]Summation:\summe_{i,j,k=1}^3= \summe_{i=1}^{3} \summe_{j=1}^{3} \summe_{k.=1}^{3}.[/mm]
> Das bedeutet zuerst k abarbeiten, dann j, dann i.
>
> Ich mache mal ein etwas kürzeres Beispiel.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{2} \summe_{j=1}^{2} \summe_{k.=1}^{2} d_{ijk}=[/mm]
>
> (Erstmal über k summieren, also k=1 und k=2 einsetzen und
> summieren)
>
> = [mm]\summe_{i=1}^{2} \summe_{j=1}^{2}(d_{ij1}[/mm] + [mm]d_{ij2})[/mm]
>
> (jetzt kommt j dran)
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{2}((d_{i11}[/mm] + [mm]d_{i12})+(d_{i21}[/mm] + [mm]d_{i22}))[/mm]
>
> (Nun i)
>
> [mm]=((d_{111}[/mm] + [mm]d_{112})+(d_{121}[/mm] + [mm]d_{122}))+((d_{211}[/mm] +
> [mm]d_{212})+(d_{221}[/mm] + [mm]d_{222}))[/mm]
>
> Das Prinzip müßte jetzt klar sein, in Deinem Fall mußt Du
> eben von 1 bis drei summieren, was umfangreicher, aber
> nicht schwieriger ist.
>
> Beim Ausrechnen mußt Du die Werte für [mm]\varepsilon_{ijk}[/mm]
> beachten, wenn zwei Indizes gleich sind, wird das Ding ja
> =0, aber das hast Du bestimmt alles im Kurs
> aufgeschrieben.
>
> Gruß v. Angela
Hm, das ist nachvollziehbar und ich hatte mir sowas in der Art mit den Indizes gedacht. Aber
> Offensichtlich (?) sind i,j,k [mm]\in{1, 2, 3}.[/mm]
genau das ist mein Problem: i,j,k [mm]\in{1, 2, 3}.[/mm] sollte ja so sein, weil ich das Kreuzprodukt sonst nicht mit dem Tensor berechnen könnte...
Aber müssten dann i,j,k nicht angegeben sein in der Aufgabe? (Es sei denn, man würde es allgemein lösen, aber das ist hier ja nicht gefragt)
Vielen Dank schonmal!
LG Tanja
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> >
> > a [mm]\times[/mm] b=[mm] \summe_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a_ib_je_k[/mm]
> >
> >
> > > Aber WAS sind jetzt die Indizes? Ist ai=-1, bj=3? Aber was
> > > ist dann der Vektor ek?
> >
> > [mm]a_i[/mm] ist die i-te Komponente von [mm]\vec{a},[/mm] für z.B. i=2 also
> > [mm]a_2=2,[/mm]
> > [mm]b_j[/mm] die j-te Komponente von [mm]\vec{b},[/mm] z.B. für j=3
> [mm]b_3=1,[/mm]
> > [mm]e_k[/mm] soll den k-ten Einheitsvektor darstellen, z.B. für
> k=1
> > [mm]e_1= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}.[/mm]
> >
> > Offensichtlich (?) sind i,j,k [mm]\in{1, 2, 3}.[/mm]
> >
> > Was ist nun mit [mm]\summe_{i,j,k}[/mm] gemeint? Zum einen laufen
> > die Indizes von 1 bis 3, also
> > [mm]\summe_{i,j,k}=\summe_{i,j,k=1}^3.[/mm] Dies ist eine
> Abkürzung
> > für eine dreifache [mm]Summation:\summe_{i,j,k=1}^3= \summe_{i=1}^{3} \summe_{j=1}^{3} \summe_{k.=1}^{3}.[/mm]
> > Das bedeutet zuerst k abarbeiten, dann j, dann i.
> >
> > Ich mache mal ein etwas kürzeres Beispiel.
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^{2} \summe_{j=1}^{2} \summe_{k.=1}^{2} d_{ijk}=[/mm]
> >
> > (Erstmal über k summieren, also k=1 und k=2 einsetzen und
> > summieren)
> >
> > = [mm]\summe_{i=1}^{2} \summe_{j=1}^{2}(d_{ij1}[/mm] + [mm]d_{ij2})[/mm]
> >
> > (jetzt kommt j dran)
> >
> > [mm]=\summe_{i=1}^{2}((d_{i11}[/mm] + [mm]d_{i12})+(d_{i21}[/mm] + [mm]d_{i22}))[/mm]
> >
> > (Nun i)
> >
> > [mm]=((d_{111}[/mm] + [mm]d_{112})+(d_{121}[/mm] + [mm]d_{122}))+((d_{211}[/mm] +
> > [mm]d_{212})+(d_{221}[/mm] + [mm]d_{222}))[/mm]
> >
> > Das Prinzip müßte jetzt klar sein, in Deinem Fall mußt Du
> > eben von 1 bis drei summieren, was umfangreicher, aber
> > nicht schwieriger ist.
> >
> > Beim Ausrechnen mußt Du die Werte für [mm]\varepsilon_{ijk}[/mm]
> > beachten, wenn zwei Indizes gleich sind, wird das Ding ja
> > =0, aber das hast Du bestimmt alles im Kurs
> > aufgeschrieben.
> >
> > Gruß v. Angela
>
>
> Hm, das ist nachvollziehbar und ich hatte mir sowas in der
> Art mit den Indizes gedacht. Aber
>
> > Offensichtlich (?) sind i,j,k [mm]\in{1, 2, 3}.[/mm]
>
> genau das ist mein Problem: i,j,k [mm]\in{1, 2, 3}.[/mm] sollte ja
> so sein, weil ich das Kreuzprodukt sonst nicht mit dem
> Tensor berechnen könnte...
>
> Aber müssten dann i,j,k nicht angegeben sein in der
> Aufgabe? (Es sei denn, man würde es allgemein lösen, aber
> das ist hier ja nicht gefragt)
i, j, k sind ja bekannt. Du hast 3 Komponenten von [mm] \vec{a}, [/mm] also i=1,2,3 für [mm] a_i,
[/mm]
3 Komponenten von [mm] \vec{b}, [/mm] also j=1,2,3
und drei Einheitsvektoren, also K=1,2,3, für [mm] e_k.
[/mm]
Komm, jetzt fangen wir an:
a [mm]\times[/mm] b=[mm] \summe_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a_ib_je_k[/mm]=
[mm] \summe_{i=1}^{3} \summe_{j=1}^{3} \summe_{k=1}^{3} \varepsilon_{ijk}a_ib_je_k
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{3} \summe_{j=1}^{3}(\varepsilon_{ij1}a_ib_je_1 +\varepsilon_{ij2}a_ib_je_2 +\varepsilon_{ij3}a_ib_je_3)
[/mm]
Verstanden? Nacheinander 1,2,3 für k eingesetzt und summiert. Jetzt machen wir uns übers j her.
[mm] =\summe_{i=1}^{3}((\varepsilon_{i11}a_ib_1e_1 +\varepsilon_{i12}a_ib_1e_2 +\varepsilon_{i13}a_ib_1e_3) [/mm] + [mm] (\varepsilon_{i21}a_ib_2e_1 +\varepsilon_{i22}a_ib_2e_2 +\varepsilon_{i23}a_ib_2e_3) [/mm] + [mm] (\varepsilon_{i31}a_ib_3e_1 +\varepsilon_{i32}a_ib_3e_2 +\varepsilon_{i33}a_ib_3e_3))
[/mm]
Als nächstes käme i dran. Aber, wenn Du möchtest, kannst Du hier schon vereinfachen. So sind die epsilons mit zwei gleichen Indizes ja =0, da fällt schonmal einiges weg.
Und Du könntest für [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] die entsprechenden Komponenten von [mm] \vec{b} [/mm] einsetzen. Die Einheitsvektoren würde ich erstmal so stehen lassen, sortier Dir's zum Schluß schön in Spalten.
Versuch mal, ob Du die letze Summation nun schaffst. Da Du Dein Kreuzprodukt ja schon anders ausgerechnet hast, kannst Du ja schön gucken, ob Du's richtig gemacht hast.
Aber natürlich helfe ich Dir auch nocheinmal.
Gruß
Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Sa 15.10.2005 | | Autor: | Tannihoney |
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> i, j, k sind ja bekannt. Du hast 3 Komponenten von
> [mm]\vec{a},[/mm] also i=1,2,3 für [mm]a_i,[/mm]
> 3 Komponenten von [mm]\vec{b},[/mm] also j=1,2,3
>
> und drei Einheitsvektoren, also K=1,2,3, für [mm]e_k.[/mm]
>
> Komm, jetzt fangen wir an:
>
> a [mm]\times[/mm] b=[mm] \summe_{i,j,k} \varepsilon_{ijk}a_ib_je_k[/mm]=
>
> [mm]\summe_{i=1}^{3} \summe_{j=1}^{3} \summe_{k=1}^{3} \varepsilon_{ijk}a_ib_je_k[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{3} \summe_{j=1}^{3}(\varepsilon_{ij1}a_ib_je_1 +\varepsilon_{ij2}a_ib_je_2 +\varepsilon_{ij3}a_ib_je_3)[/mm]
>
> Verstanden? Nacheinander 1,2,3 für k eingesetzt und
> summiert. Jetzt machen wir uns übers j her.
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{3}((\varepsilon_{i11}a_ib_1e_1 +\varepsilon_{i12}a_ib_1e_2 +\varepsilon_{i13}a_ib_1e_3)[/mm]
> + [mm](\varepsilon_{i21}a_ib_2e_1 +\varepsilon_{i22}a_ib_2e_2 +\varepsilon_{i23}a_ib_2e_3)[/mm]
> + [mm](\varepsilon_{i31}a_ib_3e_1 +\varepsilon_{i32}a_ib_3e_2 +\varepsilon_{i33}a_ib_3e_3))[/mm]
>
> Als nächstes käme i dran. Aber, wenn Du möchtest, kannst Du
> hier schon vereinfachen. So sind die epsilons mit zwei
> gleichen Indizes ja =0, da fällt schonmal einiges weg.
> Und Du könntest für [mm]b_1, b_2, b_3[/mm] die entsprechenden
> Komponenten von [mm]\vec{b}[/mm] einsetzen. Die Einheitsvektoren
> würde ich erstmal so stehen lassen, sortier Dir's zum
> Schluß schön in Spalten.
>
> Versuch mal, ob Du die letze Summation nun schaffst. Da Du
> Dein Kreuzprodukt ja schon anders ausgerechnet hast, kannst
> Du ja schön gucken, ob Du's richtig gemacht hast.
>
> Aber natürlich helfe ich Dir auch nocheinmal.
>
> Gruß
> Angela
>
>
WOW!!! Ich bin ganz begeistert von mir, denn ich hatte gerade ein Erfolgserlebnis. Ich hab nämlich vor deiner Antwort genau das rausgekriegt, was du bei
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{3}((\varepsilon_{i11}a_ib_1e_1 +\varepsilon_{i12}a_ib_1e_2 +\varepsilon_{i13}a_ib_1e_3)[/mm]
> + [mm](\varepsilon_{i21}a_ib_2e_1 +\varepsilon_{i22}a_ib_2e_2 +\varepsilon_{i23}a_ib_2e_3)[/mm]
> + [mm](\varepsilon_{i31}a_ib_3e_1 +\varepsilon_{i32}a_ib_3e_2 +\varepsilon_{i33}a_ib_3e_3))[/mm]
hast!
Boah! OK, ich werds mal weiterversuchen und melde mich wohl nachher nochmal, wie mein Endergebnis ist bzw. obs stimmt.
Vielen, vielen Dank!!!
Gruß, Tanja
Ps: hab ich schon DANKE gesagt!? =)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Sa 15.10.2005 | | Autor: | Tannihoney |
Jau, ich habs. Der Vektor ist (11, -5, -7)
JEtzt kommen die lustigen Aufgaben, hehe. Melde mich später.
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OK, die Aufgabe ist gelöst, aber ich hab eine neue:
Sei a1, a2, a3 eine Basis des R³. Zeigen Sie, dass durch
b1=a1
b2=a2- (b1 *a2/b1 *b1) *b1
b3=a3-(b1 *a3/b1 *b1)b1-(b2 *a3/b2 *b2)b2
eine Orthogonalbasis des R³ entsteht.
Also? Hat irgendwer einen Ansatz? Ich hätte ja gesagt
b1*b2=0
b1*b3=0
b2*b3=0
aber es müsste doch auch einfacher gehen. Noch eine Idee wäre das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren. Z.B. zu finden hier:
http://www.lexikon-definition.de/Gram-Schmidtsches-Orthogonalisierungsverfahren.html#Konstruktion_eines_Orthogonalsystems_.28OGS.29
Aber da ich das weder kenne noch verstehe, kann ich das nicht...
kurzum: Hilfe!
Ich kanns leider nicht vernünftig darstellen.
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> OK, die Aufgabe ist gelöst, aber ich hab eine neue:
Hallo,
zunächst ein Tip:
stell nächstens die neue Frage in einem neuen Strang, die Wahrscheinlichkeit, daß sich jemand damit beschäftigt ist einfach größer.
> Sei a1, a2, a3 eine Basis des R³. Zeigen Sie, dass durch
>
> b1=a1
> b2=a2- (b1 *a2/b1 *b1) *b1
> b3=a3-(b1 *a3/b1 *b1)b1-(b2 *a3/b2 *b2)b2
>
> eine Orthogonalbasis des R³ entsteht.
>
> Also? Hat irgendwer einen Ansatz? Ich hätte ja gesagt
> b1*b2=0
> b1*b3=0
> b2*b3=0
Die Idee ist doch supergut!
Ich hätte zuerst noch gezeigt, daß die drei Vektoren linear unabhängig sind, und da die Dimension des [mm] \IR^3 [/mm] =3 ist, hast Du ganz sicher eine Basis vorliegen.
Und jetzt die Orthogonalität, wie Du oben schon gesagt hast. Einfach ausrechnen, und gucken, ob Du jedesmal 0 rausbekommst.
>
> Noch eine Idee
> wäre das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren.
Dieses Verfahren dient dazu, aus einer gegebenen Basis eine Orthogonalbasis zu basteln.
In der Tat kommt, wenn man auf [mm] \vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3 [/mm] Gram-Schmidt losläßt, genau die angegebene Basis raus.
Hättet Ihr es im Kurs gehabt, könntest Du einfach schreiben "Gram-Schmidt, trallala, fer-tig!" So kurz! (Vielleicht doch lieber ohne trallala...)
Da das nicht der Fall zu sein scheint, mußt Du die Orthogonalbasiseigenschaft für [mm] \vec{b}_i, [/mm] i=1,2,3 beweisen.
Im Ergebnis hättest Du dann das Gram-Schmidt-Verfahren für die Dimension drei gezeigt.
Dann kannst Du Dich freuen, und den Rest Deiner Tage nach diesem Strickmuster Orthogonalbasen basteln. Oder, falls in der nächsten Aufgabe eine konkrete Basis mit Zahlen kommt, aus der eine orthogonale gemacht werden soll, genau dieses Strickmuster verwenden. Ich bin mir fast sicher: das wird das nächste sein...
Ein Beispiel ist hier vorgemacht http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
Gruß von Angela
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Hallo,
der Thread ist zwar schon etwas älter, aber ich habe mal ein Video von mir gedreht in dem ich die Frage dieses Themans ausführlich beantworte. Wer mag darf es sich gerne ansehen. Ihr findet es hier:
link: http://video.netscience.de/video/293/Introduction+Epsilon+Tensor
Grüsse
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