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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Der Kosinussatz
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Der Kosinussatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:03 Di 21.02.2006
Autor: Goldener_Sch.

Aufgabe
Beweisen des Kosinussatzes für beliebige Dreiecke.

Hallo Leute!!
... und einen schönen Abend!!!

So, ich wollte mal den Kosinussatz beweisen. Da habe ich mir gedacht, man muss bei der Herleitung beachten, dass
...
es kann zwei Fälle geben kann:
1. die Höhen liegen im Dreick (recht-  oder spitzwinkliges Dreieck)
2. die Höhen liegen außerhalb des Dreiecks (stumpfwinkliges Dreieck)

Für den 1. Fall bin ich ganz gut darauf gekommen, hier die wichtigsten Schritte und Beziehungen:
Ich gehe von einem Dreieck ABC, welches nicht als Sonderfall des 1. Falls rechtwinklig ist. Daraus läßt sich ja wunderbar der Kosinussatz allgemein "herleiten" bzw. "ablesen".

[mm](1)h_c=b*sin(\alpha)[/mm]
[mm](2)c_{1}²+h_{c}²=b²[/mm]
[mm](3)c_2=c-c_1[/mm]
[mm](4)a²=c_2²-h_c²[/mm]
[mm](5)cos(\beta)=\left \bruch{c_2}{a} \right[/mm]

Aus diesen fünf Beziehungen folgt:
[mm] \Rightarrow[/mm]  [mm]b²=c_1²-h_c²[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm]  [mm]b²=(c-c_2)²-h_c²[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm]  [mm]b²=c²-2*c*c_2+c_2²-h_c²[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm]  [mm]b²=c²-2*c*c_2+c_2²-(-a²+c²)[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm]  [mm]b²=c²-2*c*c_2+a²[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm]  [mm]b²=a²+c²-2*c*c_2[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm]  [mm]b²=a²+c²-2*a*c*cos(\beta)[/mm]
Das ist genau die zu zeigende Aussage!

Nahezu analog dazu ergibt sich:
[mm]a²=b²+c²-2*b*c*cos(\alpha)[/mm]
und...
[mm]c²=a²+b²-2*a*b*cos(\gamma)[/mm]

So, jetzt müsste man das ganze noch für den zweiten Fall, also die Höhe ausßerhalb machen, aber ich komme nicht drauf......... [keineahnung] [keineahnung] [keineahnung]

Könnte mir mal bitte einer dazu einen analogen (wenn möglich) Denkansatz posten, um dasselbe in stumpfwinligen Dreicken zu rechnen?


DANKE DANKE DANKE für eure Antworten schon mal im Vorraus!!!


Mit den besten (Guten Abend-) Grüßen

Goldener Schnitt
        
Bezug
Der Kosinussatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Di 21.02.2006
Autor: riwe

du hast die falsche höhe gewählt, wenn du z.b [mm] h_b [/mm] wählst, brauchst du keine fallunterscheidung.
[mm] c^{2}=(b-a\cdot cos\gamma)^{2}+(a\cdot sin\gamma)^{2} [/mm]
Bezug
                
Bezug
Der Kosinussatz: es geht weiter...
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 13:53 Mi 22.02.2006
Autor: Goldener_Sch.

Aufgabe
Siehe Ausgangsfrage!

riwe, danke für deine Antwort!!!!!
... das hab ich auch verstanden, ich würde jodoch (aus Spaß[happy]) das gerne mal schön für beide Fälle zeigen, die Fallunterscheidung also mache.

Könnet ihr mir bitte mal einen zu meinem analogen Ansatz posten?

DANKE für eure Antworten!!!!


Mit den besten (Guten Mittags-) Grüßen

Goldener Schnitt
Bezug
                        
Bezug
Der Kosinussatz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:45 Do 23.02.2006
Autor: informix

Hallo,
wie wär's, wenn du's selber probierst und hier vorstellst?

Innerhalb deiner vorgegebenen Zeitspanne hatte offenbar niemand Zeit, diesen Nachweis zu führen.

Gruß informix

Bezug
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