Der Körper F_4 < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man konstruiere einen Körper [mm] F_4 [/mm] = {0,1,a,b} mit genau 4 Elementen. |
Hallo,
also uns wurde gesagt, wir könnten das mit einer (Additions-)Tabelle darstellen und dann anhand derer erklären, dass es ein Körper ist.
Tja, und so wirklich kann ich mir aber nicht vorstellen, wie ich jetzt konkret vorgehen soll?
Bin für jeden Tipp sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sonnenschein,
dann mach doch eine Tabelle für $+$ und eine für $*$.
Welche Regeln müssen denn in dem Körper gelten, daraus ergibt sich sofort eine Multiplikations- und Additionstabelle 
Versuch es mal selbst, ist gar nicht so schwer.
MFG,
Gono.
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Hallo Gono,
also dann hätte ich
[mm] \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
+ & 0 & 1 & a & b\\
\hline
0 & 0 & 1 & a & b\\
1 & 1 & 0 & b & a\\
a & a & b & 0 & 1\\
b & b & a & 1 & 0\\
\end{array}
[/mm]
und
[mm] \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
* & 0 & 1 & a & b\\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1 & a & b\\
a & 0 & a & b & 1\\
b & 0 & b & 1 & a\\
\end{array}
[/mm]
So, mit welchen Körperaxiomen beweise ich das jetzt?
Ich hätte:
- die 0 als neutrales Element der Addition
- die 0 als neutrales Element der Multiplikation
- das Assoziativgesetz gilt
- das Kommutativgesetz gilt
Und wie gehts jetzt weiter?
Vielen Dank schon mal für Deine Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Do 05.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn deine Tabellen - was sie ja tun -
in jeder Zeile und Spalte alle 4 Elemente enthalten, dann sieht man ja deine Gesetze alle.
es fehlt in deiner Aufzählung dass es zu jedem Element ein reziprokes (bei Addition und Multipl. ) gibt. aber das kann man ja auch aus den Tabellen ablesen, sonst stünde ja etw unter a nirgends ne 1 bei Mult, und keine 0 bei Addition.
die Aufgezählten musst du natürlich auch verifizieren.
Gruss leduart
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Vielen Dank für Deine Antwort.
Was meinst Du denn das genau mit dem, dass ich das aufgezählte verifizieren muss?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Do 05.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
na, du muss z.Bsp sagen, wie man aus den Tabellen sehen kann, dass a*(b+c)=ab+ac oder a(a+1)=a*a+a ist usw.
oder erklären, dass du sie gerade so hergestellt hast.
Das kannst du -denk ich- auch an 1 oder 2 Bsp. demeonstrieren, und dann usw. sagen.
Gruss leduart
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Also ist das so ok?
Wie man aus den Tabellen sehen kann gelten die Körperaxiome:
- Das Assoziativgesetz a+(b+c) = (a+b)+c bzw. a*(b*c) = (a*b)*c
für alle a, b € [mm] F_4 [/mm] oder muss ich hier einfach K statt [mm] F_4 [/mm] schreiben?
- Das Kommutativgesetz a+b=b+a bzw. a*b= b*a für alle a,b € [mm] F_4
[/mm]
- Es gibt ein Null genanntes und mit 0 bezeichnetes Element, so dass gilt:
a+0=a=0+a
Das gleiche mit
- Nullelement der Multiplikation
- Inverse der Addition
- Inverse der Multiplikation
Soll ich auch noch schreiben, dass 0 [mm] \not= [/mm] 1 ist?
Vielen Dank nochmals.
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> Also ist das so ok?
>
> Wie man aus den Tabellen sehen kann gelten die
> Körperaxiome:
>
> - Das Assoziativgesetz a+(b+c) = (a+b)+c bzw. a*(b*c) =
> (a*b)*c
> für alle a, b € [mm]F_4[/mm] oder muss ich hier einfach K
> statt [mm]F_4[/mm] schreiben?
>
> - Das Kommutativgesetz a+b=b+a bzw. a*b= b*a für alle a,b
> € [mm]F_4[/mm]
>
> - Es gibt ein Null genanntes und mit 0 bezeichnetes
> Element, so dass gilt:
> a+0=a=0+a
>
> Das gleiche mit
>
> - Nullelement der Multiplikation
>
> - Inverse der Addition
>
> - Inverse der Multiplikation
>
> Soll ich auch noch schreiben, dass 0 [mm]\not=[/mm] 1 ist?
>
> Vielen Dank nochmals.
Guten Abend,
wenn du einfach hinschreibst "wie man aus den Tabellen
sehen kann, ist das so und so ..." , machst du es dir wohl
etwas zu einfach, denn dann schiebst du die "Beweislast"
quasi auf den Leser, der aber möglicherweise zurückfragen
wird: "Na, warum genau gilt denn nun z.B. das Assoziativ-
gesetz für die Addition und für die Multiplikation im Falle
des Tripels (a,b,a) ?" - und dann bist wieder du dran. Wenn
du dann Mühe hast, dies aus den Tabellen rauszuklauben,
steht deine Aussage in einigermaßen schiefem Licht ...
Du solltest dir das Ganze also schon im Detail klar machen
und dann die entsprechenden Überlegungen zu Papier
bringen, eventuell halt mit einigem Aufwand (weitere
Tabellen zum Beispiel).
LG Al-Chw.
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Hallo,
hmm, okay.
Ich könnte das ja vielleicht so machen, dass ich jede Summe bzw. Produkt nochmal als Gleichung aufschreiben könnte und dann erkläre, durch die Anwendung welchen Axioms ich auf das Ergebnis gekommen bin.
Aber wenn ich jetzt zum Beispiel klarmachen will, warum denn das Assoziativgesetz gilt, dann komme ich ja wieder auf das Axiom zurück.
Oder sollte ich vielleicht versuchen, da kontraproduktiv dranzugehen, und zeigen, dass das Axiom gelten muss?
Vielen Dank.
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> Hallo,
>
> hmm, okay.
>
> Ich könnte das ja vielleicht so machen, dass ich jede
> Summe bzw. Produkt nochmal als Gleichung aufschreiben
> könnte und dann erkläre, durch die Anwendung welchen
> Axioms ich auf das Ergebnis gekommen bin.
>
> Aber wenn ich jetzt zum Beispiel klarmachen will, warum
> denn das Assoziativgesetz gilt, dann komme ich ja wieder
> auf das Axiom zurück.
>
> Oder sollte ich vielleicht versuchen, da kontraproduktiv ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
kontraproduktiv ? also destruktiv ? lieber nicht 
> dranzugehen, und zeigen, dass das Axiom gelten muss?
>
> Vielen Dank.
Es geht nicht darum, mittels der Axiome die Axiome
zu beweisen, sondern einfach darum, nachzuweisen,
dass die Menge [mm] M=\{0,1,a,b\} [/mm] mit der nun durch die
Additionstabelle festgelegte Addition und der durch
die Multiplikationstafel bestimmten Multiplikation
nun wirklich alle Axiome mit beliebigen Belegungen
der in den Axiomen auftretenden Variablen durch
Elemente aus M erfüllt.
Zur Auffindung der richtigen Tabellen hast du zwar
einzelne der Axiome als Hilfe schon benützt, dies
beweist aber eben noch keineswegs, dass nun die
etablierte Struktur auf M wirklich alle Axiome
umfassend erfüllt. Deshalb liegt hier überhaupt
ein Beweisbedarf vor. Der Beweis kann eventuell
doch einigen Aufwand erfordern - ich habe es noch
nicht im Einzelnen ausprobiert.
LG Al-Chw.
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