Dekorationsluftballon < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Fr 06.03.2015 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | In eine unten offene Pyramide aus Glas, die wiederum in das Dach einer Diskothek eingebaut wird, und in die ein sog. Oberlicht installiert werden soll, fliegt bei der Eröffnung ein kugelförmiger Dekorationsluftballon.
[Es befindet sich noch keine Lampe o.ä. in der Pyramide!]
Der Luftballon ragt unten 1,89 dm aus der Pyramide heraus.
Bestimmen Sie den Radius des Ballons.
Die Eckpunkte der quadratischen Pyramide sind A(12/12/0), B(-12/12/0), C(-12/-12/0), D(12/-12/0). Die Spitze hat die Koordinaten P(0/0/24).
Die Länge der Grundseite sowie die Höhe der Pyramide sollen jeweils 24 dm betragen.
1 Längeneinheit = 1 dm. |
Moin Moin!
ich habe irgendwo noch einen Knoten im Kopf...
Also ich habe die Ebene ABCD aufgestellt.
[mm] E_{ABCD} [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{12 \\ 12 \\ 0} +\lambda*\vektor{-1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{-1 \\ -1 \\0}
[/mm]
1. Idee
Der Mittelpunkt der Kugel muss auf der Geraden g liegen, die durch die Spitze P der Pyramide geht, und senkrecht auf der Grundfläche steht.
Ein Normalenvektor von [mm] E_{ABCD} [/mm] ist [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
=> g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 24} [/mm] + [mm] s*\vektor{0 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
M hat damit die Koordinaten (0/0/24-s).
Diese Gerade schneidet die Grundfläche im Punkt (0/0/0) !
Ein Punkt der Kugel hat damit die Koordinaten R(0/0/-1,89)
2. Idee
Die Ebene [mm] E_{ABP} [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{12 \\ 12 \\ 0} +\lambda*\vektor{-1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{-1 \\ -1 \\2}
[/mm]
bzw. in Normalenform... ( [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{12 \\ 12 \\ 0} )*\vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] = 0
bzw. in Koordinatenform
2y +z -24 = 0
Hieraus könnte ich P1 bestimmen, mit der Eigenschaft, dass
[mm] \vec{MP_1} [/mm] orthogonal zu [mm] E_{ABP} [/mm]
d.h. P1 liegt auf der Geraden h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 24 -s} [/mm] + [mm] u*\vektor{0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
3. Idee
Kugelgleichung
[mm] x^2 +y^2 +(z-m_3)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
4. Idee
[mm] \overrightarrow{MR} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -1,89} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 24-s}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{MR} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -25,89+s} [/mm]
| [mm] \overrightarrow{MR} [/mm] | = -25,89+s = r
Aber wie füge ich das jetzt am besten zusammen?
Danke & Gruß!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Fr 06.03.2015 | | Autor: | Fulla |
Hallo hase-hh!
Deine Ansätze sind ganz gut, aber ich denke, dass dir ja jeweils mindestens eine Angabe fehlt um am Ende den Radius auszurechnen.
Versuchs mal so:
Betrachte die Pyramide im Querschnitt
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dabei sind die unteren Ecken des kleineren Dreiecks die Mittelpunkte von [AB] bzw [CD]. Ich habe die Pyramide bzw. das Querschnittsdreieck nach unten so erweitert, dass der Ballon in der Skizze den Inkreis darstellt.
Wenn du die Seitenlängen und den Flächeninhalt des Dreiecks kennst, gilt für den Inkreisradius [mm] $r=\frac{2A}{a+b+c}$.
[/mm]
Tipps: Strahlensatz, Pythagoras
Lieben Gruß,
Fulla
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Fr 06.03.2015 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin!
> Hallo hase-hh!
>
> Deine Ansätze sind ganz gut, aber ich denke, dass dir ja
> jeweils mindestens eine Angabe fehlt um am Ende den Radius
> auszurechnen.
Ich denke, dass ich darüber auch zu einer Lösung komme... s.u.
> Versuchs mal so:
> Betrachte die Pyramide im Querschnitt
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Dabei sind die unteren Ecken des kleineren Dreiecks die
> Mittelpunkte von [AB] bzw [CD]. Ich habe die Pyramide bzw.
> das Querschnittsdreieck nach unten so erweitert, dass der
> Ballon in der Skizze den Inkreis darstellt.
>
> Wenn du die Seitenlängen und den Flächeninhalt des
> Dreiecks kennst, gilt für den Inkreisradius
> [mm]r=\frac{2A}{a+b+c}[/mm].
>
> Tipps: Strahlensatz, Pythagoras
Also erstmal versteh ich überhaupt nicht warum die "unteren Ecken des kleineren Dreiecks" die Seitenmitten von AB bzw. CD sind???
Nach meiner Betrachtung ist die obere Ecke P und die linke untere Ecke A und die rechte untere Ecke B. Verstehe ich überhaupt nicht!
Klar als Stichwörter sagen mir "Strahlensatz" und Pythagoras etwas. Aber wie wende ich diese hier ganz konkret an???
***
Habe mal etwas weiter rumprobiert.
5. Idee Abstand der Ebene ABP zu M über HNF; dieser ist dann gleich dem Radius r.
d = r = | [mm] \bruch{2y+z-24}{\wurzel{5}} [/mm] |
d = r = | [mm] \bruch{2*0+(24-s) -24}{\wurzel{5}} [/mm] |
=> r = | [mm] \bruch{s}{\wurzel{5}} [/mm] |
Aus der Kugelgleichung folgt nach einsetzen von M und r
[mm] (-1,89-(24-s))^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
[mm] (-1,89-(24-s))^2 [/mm] = [mm] \bruch{s^2}{5}
[/mm]
=> [mm] s_1 \approx [/mm] 46,84
[mm] s_2 \approx [/mm] 17,89
[mm] s_1 [/mm] fällt weg, da es betragsmäßig die "Grenzen" sprengt.
[mm] s_2 [/mm] = 17,89 führt zu r = 8. und M (0/0/6,11)
...dennoch würde mich dein Weg auch interessieren.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Fr 06.03.2015 | | Autor: | Fulla |
> Moin Moin!
>
> > Hallo hase-hh!
> >
> > Deine Ansätze sind ganz gut, aber ich denke, dass dir ja
> > jeweils mindestens eine Angabe fehlt um am Ende den Radius
> > auszurechnen.
>
> Ich denke, dass ich darüber auch zu einer Lösung komme...
> s.u.
>
> > Versuchs mal so:
> > Betrachte die Pyramide im Querschnitt
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> > Dabei sind die unteren Ecken des kleineren Dreiecks die
> > Mittelpunkte von [AB] bzw [CD]. Ich habe die Pyramide bzw.
> > das Querschnittsdreieck nach unten so erweitert, dass der
> > Ballon in der Skizze den Inkreis darstellt.
> >
> > Wenn du die Seitenlängen und den Flächeninhalt des
> > Dreiecks kennst, gilt für den Inkreisradius
> > [mm]r=\frac{2A}{a+b+c}[/mm].
> >
> > Tipps: Strahlensatz, Pythagoras
>
> Also erstmal versteh ich überhaupt nicht warum die
> "unteren Ecken des kleineren Dreiecks" die Seitenmitten von
> AB bzw. CD sind???
> Nach meiner Betrachtung ist die obere Ecke P und die linke
> untere Ecke A und die rechte untere Ecke B. Verstehe ich
> überhaupt nicht!
> Klar als Stichwörter sagen mir "Strahlensatz" und
> Pythagoras etwas. Aber wie wende ich diese hier ganz
> konkret an???
>
Hallo nochmal!
Ich meine diesen Querschnitt (die pinke Ebene):
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
In diesem Schnitt ist die Pyramide ein gleichschenkliges Dreieck mit Grundlinienlänge 24 und Höhe 24. Der Ballon ist ein Kreis, der die beiden Schenkel berührt und unten ein bisschen "rausschaut". Das große Dreieck in meiner Skizze oben stellt die nach unten "verlängerte" Pyramide dar, so dass der Ballon auch die Grundfläche berührt.
Im Querschnitt gilt für Höhe und Grundlinie des großen Dreiecks gemäß Strahlensatz $h=g=24+1.89=25.89$.
Die Länge der Schenkel ist nach Pythagoras [mm] $s=\sqrt{25.89^2+\left(\frac{25.89}{2}\right)^2}$.
[/mm]
Mit der Formel für den Inkreisradius kommst du so auch auf [mm] $r\approx [/mm] 8.000$.
>
>
> ***
> Habe mal etwas weiter rumprobiert.
>
> 5. Idee Abstand der Ebene ABP zu M über HNF; dieser ist
> dann gleich dem Radius r.
>
>
> d = r = | [mm]\bruch{2y+z-24}{\wurzel{5}}[/mm] |
>
> d = r = | [mm]\bruch{2*0+(24-s) -24}{\wurzel{5}}[/mm] |
>
> => r = | [mm]\bruch{s}{\wurzel{5}}[/mm] |
>
>
> Aus der Kugelgleichung folgt nach einsetzen von M und r
>
> [mm](-1,89-(24-s))^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> [mm](-1,89-(24-s))^2[/mm] = [mm]\bruch{s^2}{5}[/mm]
>
> => [mm]s_1 \approx[/mm] 46,84
> [mm]s_2 \approx[/mm] 17,89
>
> [mm]s_1[/mm] fällt weg, da es betragsmäßig die "Grenzen"
> sprengt.
>
> [mm]s_2[/mm] = 17,89 führt zu r = 8. und M (0/0/6,11)
Ok, offenbar funktioniert es doch auf diese Weise 
> ...dennoch würde mich dein Weg auch interessieren.
Siehe oben.
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Fr 06.03.2015 | | Autor: | Fulla |
EDIT: Ich hab's nicht geschafft ein zweites Bild einzubinden, dabei ist dieser Doppelpost entstanden... Sorry.
EDIT2: Ich schaff's irgendwie immer noch nicht. Der Anhang ist hier:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Sa 07.03.2015 | | Autor: | hase-hh |
Super. Vielen Dank!
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Obwohl schon zwei Lösungsideen vorliegen, hier noch
eine dritte: Betrachte die gleichschenkligen Dreiecke
in der (ersten) Figur von Fulla.
Der Ballonmittelpunkt M ist der Inkreismittelpunkt
des großen Dreiecks und liegt natürlich auf der vertikalen
Achse und auf der Winkelhalbierenden eines Basiswinkels.
Dieser Basiswinkel hat den Tangenswert 2. Für den halbierten
Winkel [mm] \alpha [/mm] gilt dann (Doppelwinkelformel):
$\ [mm] tan(2\,\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{2\,tan(\alpha)}{1-tan^2(\alpha)}\ [/mm] =\ 2$
Dies führt auf eine quadratische Gleichung für [mm] tan(\alpha) [/mm] , und
dann gilt:
$\ Kugelradius\ =\ halbe\ [mm] Grundseite\,*\, tan(\alpha)$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Sa 07.03.2015 | | Autor: | hase-hh |
Tut mir leid, so kann ich damit nichts anfangen.
Welchen Winkel meinst du, wenn du von [mm] \alpha [/mm] sprichtst? links, rechts oder oben???
> Der Ballonmittelpunkt M ist der Inkreismittelpunkt
> des großen Dreiecks und liegt natürlich auf der
> vertikalen
> Achse
Du meinst die Achse von der Spitze nach unten?
> und auf der Winkelhalbierenden eines Basiswinkels.
Wieso denn das jetzt???
> Dieser Basiswinkel hat den Tangenswert 2.
Jetzt wird es noch unverständlicher. Wieso um Himels willen, ist der Tangens gleich 2 ???
Zunächst mal ist der Tangens das Seitenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Diese müsste ich m.E. als erstes Mal identifizieren.
Und dazu meine Frage von oben, welchen Winkel betrachtest du?
> Für den
> halbierten
> Winkel [mm]\alpha[/mm] gilt dann (Doppelwinkelformel):
>
> [mm]\ tan(2\,\alpha)\ =\ \frac{2\,tan(\alpha)}{1-tan^2(\alpha)}\ =\ 2[/mm]
>
Wo hast du denn diese Formel ausgegraben???
> Dies führt auf eine quadratische Gleichung für
> [mm]tan(\alpha)[/mm] , und
> dann gilt:
>
> [mm]\ Kugelradius\ =\ halbe\ Grundseite\,*\, tan(\alpha)[/mm]
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> Welchen Winkel meinst du, wen du von [mm]\alpha[/mm] sprichst?
> links, rechts oder oben???
[mm] \alpha [/mm] soll die Hälfte des Basiswinkels des gleichschenkligen
Dreiecks sein. Den Basiswinkel [mm] 2\alpha [/mm] hast du also in der Figur
links unten und rechts unten.
> > Der Ballonmittelpunkt M ist der Inkreismittelpunkt
> > des großen Dreiecks und liegt natürlich auf der
> > vertikalen Achse
>
> Du meinst die Achse von der Spitze nach unten?
Ja. In deiner Aufgabe ist dies auch die z-Achse des
Koordinatensystems.
> > und auf der Winkelhalbierenden eines Basiswinkels.
>
> Wieso denn das jetzt???
Wenn ein Kreis zwei Geraden berührt (hier z.B. die
Grundlinie und eine Schenkelgerade des Dreiecks), so
muss der Kreismittelpunkt auf der Winkelhalbierenden
dieser beiden Geraden liegen. Erinnere dich daran,
wie man den Inkreismittelpunkt eines Dreiecks
konstruiert !
> > Dieser Basiswinkel hat den Tangenswert 2.
>
> Jetzt wird es noch unverständlicher. Wieso um Himels
> willen, ist der Tangens gleich 2 ???
> Zunächst mal ist der Tangens das Seitenverhältnis von
> Gegenkathete zu Ankathete. Diese müsste ich m.E. als
> erstes Mal identifizieren.
Richtig. Und wenn du mal das gegebene gleichschenklige
Dreieck (mit Basis 12 dm und Höhe 12 dm) durch die
Höhe in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke teilst,
hat ein solches Dreieck die Katheten 6 (unten, waagrecht)
und 12 (die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks). Also
gilt für den Basiswinkel [mm] 2\alpha [/mm] eben : $\ [mm] tan(2\alpha)=\frac{12}{6}=2$ [/mm] .
> > Für den halbierten
> > Winkel [mm]\alpha[/mm] gilt dann (Doppelwinkelformel):
> >
> > [mm]\ tan(2\,\alpha)\ =\ \frac{2\,tan(\alpha)}{1-tan^2(\alpha)}\ =\ 2[/mm]
> >
>
> Wo hast du denn diese Formel ausgegraben???
Es handelt sich um eine der Formeln, die in der Trigono-
metrie üblicherweise behandelt werden, nachdem die
Additionstheoreme eingeführt wurden. Ob das bei euch auch
der Fall war, weiß ich natürlich nicht.
Noch eine Bemerkung: ich finde es immer interessant,
zu einer Aufgabe verschiedene mögliche Lösungswege
in Betracht zu ziehen. Man kann dabei oft einiges lernen
und dann entscheiden, welcher Lösungsweg einem am
Schluss am besten zusagt ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Sa 07.03.2015 | | Autor: | hase-hh |
Vielen Dank!
Ich werde mir das Ganze mal morgen zu Gemüte führen.
Nein, Additionstheoreme werden in der Schule (wenn überhaupt!) nur ganz am Rande behandelt. Gibt ja eine ganze Menge davon. 
> Noch eine Bemerkung: ich finde es immer interessant,
> zu einer Aufgabe verschiedene mögliche Lösungswege
> in Betracht zu ziehen. Man kann dabei oft einiges lernen
> und dann entscheiden, welcher Lösungsweg einem am
> Schluss am besten zusagt ...
Wenn ich das anders sehen würde, hätte ich deine Lösungsidee gar nicht weiter hinterfragt. ^^
Danke & Gruß!
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Wenn es sehr einfach werden soll, gäbe es noch die Möglichkeit die parallele Ebene zu ABCD durch den Punkt (0/0/-1,89) zu bilden.
Weiterhin einfach die HNF der neuen Ebene und der Ebene ABP berechnen und gleichsetzen.Damit bekommst du die zwei Winkelhalbierenden Ebenen.
Wenn in die so entstehenden Ebenen die Gerade der x3-Achse eingesetzt wird, erhälst du einfach und bequem den Abstand von 6,11.
(Die zweite Lösung ist logisch nicht relevant, da sie außerhalb der Pyramide liegt)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 So 08.03.2015 | | Autor: | weduwe |
der Strahlensatz genügt hier
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 08.03.2015 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
die Zeichnung ist sehr schön.
Aber leider kann ich mit deiner Formel nicht viel anfangen.
Ich vermute h= 24 ? Was meinst du mit s? ( s= 24; oder s =1,89 oder noch etwas anderes?)
Bitte einmal den einfachen Strahlensatzansatz, umformen kann ich dann allein.
Danke & Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 So 08.03.2015 | | Autor: | weduwe |
h= 24, s = 24,
d =1.89 (steht im Bilderl)
mit dem strahlensatz bzw. den ähnlichen 3ecken kommt man so hin:
[mm](h-r+d):r=\sqrt{h^2+\frac{s^2}{4}}:\frac{s}{2}\to r\approx 8.00[/mm]
woraus die formel im Bildchen folgt
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 So 08.03.2015 | | Autor: | hase-hh |
Tut mir leid, du setzt da Dinge ins Verhältnis, die ich absolut nicht nachvollziehen kann.
[mm] \wurzel{h^2 + (s/2)^2} [/mm] das ist der eine Abschnitt auf dem Strahl P bis Mittelpunkt CD.
Dazu eine Teilstrecke ist für mich nicht erkennbar.
Ein Strahlensatz, der hier vielleicht mgl wäre...
[mm] \bruch{h}{h+d} [/mm] = [mm] \bruch{s:2}{(s+1,89):2}
[/mm]
Ich meinte einen einfachen Strahlensatz; deiner ist mehrfach zusammengesetzt; mglw. noch ein weiterer Schritt eingewoben... sorry, für mich völlig unverständlich.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Mo 09.03.2015 | | Autor: | weduwe |
> Tut mir leid, du setzt da Dinge ins Verhältnis, die ich
> absolut nicht nachvollziehen kann.
>
> [mm]\wurzel{h^2 + (s/2)^2}[/mm] das ist der eine Abschnitt auf dem
> Strahl P bis Mittelpunkt CD.
>
> Dazu eine Teilstrecke ist für mich nicht erkennbar.
>
>
> Ein Strahlensatz, der hier vielleicht mgl wäre...
>
> [mm]\bruch{h}{h+d}[/mm] = [mm]\bruch{s:2}{(s+1,89):2}[/mm]
>
>
> Ich meinte einen einfachen Strahlensatz; deiner ist
> mehrfach zusammengesetzt; mglw. noch ein weiterer Schritt
> eingewoben... sorry, für mich völlig unverständlich.
>
dein name sei hase
betrachte das bilderl:
nach dem 2. strahlensatz gilt ganz einfach
[mm]DE:AB=CE:CB[/mm]
[mm]r:\frac{s}{2}=(h-r+d):\sqrt{h^2+\frac{s^2}{4}[/mm]
da wir schon dabei sind:
ein ganz einfacher VEKTORIELLER weg wäre der:
man kann sofort die koordinaten des ballonmittelpunktes M als funktion des radius r hinmalen:
[mm] \vec{m}=(r-d)\cdot\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
dies in die HNF der ebene (ABP) :
[mm] \frac{2y+z-h}{\sqrt{5}}=0
[/mm]
einsetzen liefert wegen r > 0
[mm] r=\frac{h+d}{\sqrt{5}+1}\approx [/mm] 8.000
(h = 24, d = 1.89)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Mo 09.03.2015 | | Autor: | hase-hh |
Aha! Vielen Dank, jetzt wird es schon klarer...
Müsste die Grundseite im rechten Bild nicht von B nach A laufen?
> da wir schon dabei sind:
> ein ganz einfacher VEKTORIELLER weg wäre der:
> man kann sofort die koordinaten des ballonmittelpunktes M
> als funktion des radius r hinmalen:
>
> [mm]\vec{m}=(r-d)\cdot\vektor{0\\0\\1}[/mm]
>
> dies in die HNF der ebene (ABP) :
>
> [mm]\frac{2y+z-h}{\sqrt{5}}=0[/mm]
>
> einsetzen liefert wegen r > 0
>
> [mm]r=\frac{h+d}{\sqrt{5}+1}\approx[/mm] 8.000
>
> (h = 24, d = 1.89)
Na, das ist ja noch viel einfacher...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Mo 09.03.2015 | | Autor: | weduwe |
nein, nur das obere 3eck ist umgeklappt, es wäre aber auch egal, es geht ja nur um die länge der strecke AB.
freut mich, wenn dir der vektorielle weg gefällt
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:43 So 08.03.2015 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
> Wenn es sehr einfach werden soll, gäbe es noch die
> Möglichkeit die parallele Ebene zu ABCD durch den Punkt
> (0/0/-1,89) zu bilden.
>
> Weiterhin einfach die HNF der neuen Ebene und der Ebene ABP
> berechnen und gleichsetzen.Damit bekommst du die zwei
> Winkelhalbierenden Ebenen.
Da komme ich nicht ganz mit. Wenn ich zwei Ebenen gleichsetze, erhalte ich m.W. eine Schnittgerade, aber keine Ebene???
> Wenn in die so entstehenden Ebenen die Gerade der x3-Achse
> eingesetzt wird, erhälst du einfach und bequem den Abstand
> von 6,11.
> (Die zweite Lösung ist logisch nicht relevant, da sie
> außerhalb der Pyramide liegt)
Also die Schnittgerade und die Gerade durch P und in z-Richtung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Di 10.03.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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