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Hallo,
ich verstehe ein paar Sachen nicht ganz; vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen:
1) Wo genau liegt jetzt eigentlich der Unterschied zwischen einer konvergenten Folge und einer Cauchy-Folge. Die Bedingung für eine konvergente Folge ist doch:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 \in \IN \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : (n [mm] \ge n_0 \Rightarrow |a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon).
[/mm]
So, die Bedingung für eine Cauchy-Folge ist jetzt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 \in \IN \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : (n [mm] \ge n_0 \Rightarrow |a_n [/mm] - [mm] a_n_0| [/mm] < [mm] \varepsilon).
[/mm]
Meine Frage: Folgt das Eine nicht aus dem Anderen?
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Hallo Matrin,
ja das ist äquivalent:
Eine reelle oder komplexe Folge [mm] (a_n)_n [/mm] ist genau dann konvergent, wenn sie Cauchy-Folge ist.
Allerdings erscheint mir deine Def. von Cauchy-Folge etwas komisch - soweit ich mich erinnere, ist das doch:
[mm] $\forall\varepsilon [/mm] > [mm] 0\exists n_0\in\IN\forall n,m\in\IN: n,m>n_0\Rightarrow |a_n-a_m|<\varepsilon$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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