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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Achilles |
| Aufgabe | geben Sie zunächst den Definitionsbereich der reellen Funktion
[mm] y=f(x)=\bruch{x+\bruch{1}{2}}{x^3+\bruch{1}{8}}
[/mm]
an. Bestimmen Sie anschließend stetig behebbare Definitoinslücken. Weisen Sie nach, dass an diesen Stellen rechts- und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen. |
Also [mm] D_f [/mm] = [mm] \IR \{-(\bruch{1}{2})\} [/mm] das ist klar aber wie bestimme ich jetzt die Definitionslücken und kann nachweisen, dass die Grenzwerte übereinstimmen?
Vielen Dank schon in Vorraus für Eure Hilfe.
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Hallo Achilles,
> geben Sie zunächst den Definitionsbereich der reellen
> Funktion
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> [mm]y=f(x)=\bruch{x+\bruch{1}{2}}{x^3+\bruch{1}{8}}[/mm]
>
> an. Bestimmen Sie anschließend stetig behebbare
> Definitoinslücken. Weisen Sie nach, dass an diesen Stellen
> rechts- und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen.
> Also [mm]D_f[/mm] = [mm]\IR \backslash{-(\bruch{1}{2})\}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") das ist klar aber wie
> bestimme ich jetzt die Definitionslücken und kann
> nachweisen, dass die Grenzwerte übereinstimmen?
Versuche bei solchen Aufgaben immer, den Nenner zu faktorisieren.
Hebbare Def.lücken sind ja sowohl Nullstellen des Zählers als auch des Nenners - im Gegensatz zu Polstellen, die nur Nullstellen des Nenners und nicht auch NSTen des Zählers sind.
Also ist ein naheliegender Ansatz, mal zu schauen, ob im Nenner der Faktor [mm] $\left(x+\frac{1}{2}\right)$ [/mm] drinsteckt
Versuche also mal ne Polynomdivision Nenner : Zähler, also
[mm] $\left(x^3+\frac{1}{8}\right):\left(x+\frac{1}{2}\right)$ [/mm] ...
>
> Vielen Dank schon in Vorraus für Eure Hilfe.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Also ich probiere jetzt seit ungefähr 2 stunden das ganze zu lösen aber ich komm nicht voran weil ich mit polynomdivision auf kriegsfuß stehe.
Könntest du mir mal erklären wie ich das genau machen muss?
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Hi,
> Also ich probiere jetzt seit ungefähr 2 stunden das ganze
> zu lösen aber ich komm nicht voran weil ich mit
> polynomdivision auf kriegsfuß stehe.
>
> Könntest du mir mal erklären wie ich das genau machen muss?
Es ist:
[mm] (x^{3}+\bruch{1}{8}):(x+\bruch{1}{2})=x^{2}-\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] -(x^{3}+\bruch{1}{2}x^{2})
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}x^{2}
[/mm]
[mm] -(-\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{4}x)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}x
[/mm]
[mm] -(\bruch{1}{4}x+\bruch{1}{8})
[/mm]
0
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Ok dann habe ich also eine stetig behebbare definitionslücke bei [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und wie beweise ich jetzt, dass der rechts- und linksseitige Grenzwert übereinstimmen?
Muss ich dass mit [mm] \limes_{x\rightarrow\bruch{1}{4}} [/mm] machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Mi 25.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok dann habe ich also eine stetig behebbare
> definitionslücke bei [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
Korrekt
> und wie beweise ich
> jetzt, dass der rechts- und linksseitige Grenzwert
> übereinstimmen?
> Muss ich dass mit [mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{1}{4}}[/mm]
> machen?
Fast, ich würde es mit folgenden Grenzwerten starten:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}f(\bruch{1}{4}+h)
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\left(\bruch{1}{4}+h\right)+\bruch{1}{2}}{\left(\bruch{1}{4}+h\right)^{3}+\bruch{1}{8}} [/mm]
und:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}f(\bruch{1}{4}\red{-}h)
[/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\left(\bruch{1}{4}\red{-}h\right)+\bruch{1}{2}}{\left(\bruch{1}{4}\red{-}h\right)^{3}+\bruch{1}{8}} [/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Was meinst du mit starten?
Kommt da noch mehr?
Und warum machst du das so?
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Hallo nochmal,
Langsam an, ich würde doch meinen, dass die hebbare Lücke bei [mm] $x=-\frac{1}{2}$ [/mm] ist, oder nicht?
Wie kommst du auf [mm] $x=\frac{1}{4}$?
[/mm]
Dann würde ich im Sinne der Aufgabenstellung und der mühsam erarbeiteten Polynomdivision doch vorschlagen, dass du mal zuerst [mm] $x+\frac{1}{2}$ [/mm] in Zähler und Nenner kürzt und dann erst den Grenzübergang [mm] $x\to -\frac{1}{2}$ [/mm] machst
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Achilles |
Tyskie 84 hat das so gerechnet:
[mm] (x^{3}+\bruch{1}{8}):(x+\bruch{1}{2})=x^{2}-\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] -(x^{3}+\bruch{1}{2}x^{2}) [/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}x^{2}
[/mm]
[mm] -(-\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{4}x) [/mm]
[mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] -(\bruch{1}{4}x+\bruch{1}{8})
[/mm]
0
Und wenn ich das dan einsetze dann kommt bei mir 0,25 raus
Oder is das alles falsch?
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Hallo nochmal,
ich verstehe nicht so recht, was du da genau machst 
Mit der obigen Rechnung kannst du den Nenner des Ausgangsbruchs schreiben als [mm] $x^3+\frac{1}{8}=\left(x+\frac{1}{2}\right)\cdot{}\left(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\right)$
[/mm]
Also kannst du deine Funktion insgesamt so schreiben:
[mm] $\frac{x+\frac{1}{2}}{x^3+\frac{1}{8}}=\frac{\red{x+\frac{1}{2}}}{\red{\left(x+\frac{1}{2}\right)}\cdot{}\left(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\right)}$
[/mm]
Also hat der Nenner dieselbe NST wie der Zähler, nämlich [mm] x=-\frac{1}{2}
[/mm]
Die kannste rauskürzen und so die Lücke heben.
Danach mache den Grenzübergang [mm] x\to -\frac{1}{2}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Achilles |
ok jetzt hab ich es denke ich verstanden.
Vielen Dank.
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