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| Aufgabe | Bestimme die Definitionsmenge von fa.
fa(x) = ln(3a²/(4ax-x²)) |
Hab ein paar Unsicherheiten in der Lösung der Aufgabe. Kann vllt jemand rüberschauen und kontrollieren?
Meine Berechnungen:
(1) x ungleich 0, da sonst Nenner = 0; a ungleich 0, da sonst Wert im ln = 0
(2) a>0:
0<3a²/(4ax-x²)
Daraus folgt: 0<3a² w.A.
Daraus folgt: 0<4ax-x² -> 0<x(4a-x)
Daraus folgt: 0<x und 0<4a-x -> x<4a
Daraus folgt: 0<x<4a
(3) a<0:
0<3a²/(4ax-x²)
Daraus folgt: 0<3a² w.A.
Daraus folgt: 0<4ax-x² -> 0<x(4a-x)
Daraus folgt: 0<x und 0<4a-x -> x<4a
Daraus folgt: 0<x ODER (?) x<4a<0
EDIT: Wobei bei (3) nur 0<x nicht stimmen kann, wenn man sich mal ein Beispiel mit x=1 und a=-20 zum Beispiel raussucht
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Hallo klingelton,
das sieht nicht schlecht aus, aber ich verstehe auch nicht alles.
> Bestimme die Definitionsmenge von fa.
> fa(x) = ln(3a²/(4ax-x²))
Ich würde Dir dringend den Formeleditor empfehlen, sonst ist spätestens mit der dritten Potenz mal Schluss.
[mm] f_a(x)=\ln{\left(\bruch{3a^2}{4ax-x^2}\right)}
[/mm]
Klick mal auf die Formeldarstellung, dann siehst Du, was ich eingegeben habe. Die Angabe \ left( und \ right) (ohne die Freiräume nach dem backslash) macht nur die Klammern so groß wie nötig und ist daher eher eine Schönheitsoperation...
> Hab ein paar Unsicherheiten in der Lösung der Aufgabe.
> Kann vllt jemand rüberschauen und kontrollieren?
>
> Meine Berechnungen:
>
> (1) x ungleich 0, da sonst Nenner = 0; a ungleich 0, da
> sonst Wert im ln = 0
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (2) a>0:
> 0<3a²/(4ax-x²)
Es ist besser, wenn Du dazu schreibst, dass das gefordert ist.
> Daraus folgt: 0<3a² w.A.
Was heißt bitte "w.A."? Außerdem gibts hier auch noch etwas über x zu sagen.
> Daraus folgt: 0<4ax-x² -> 0<x(4a-x)
> Daraus folgt: 0<x und="" 0<4a-x="" -=""> x<4a
> Daraus folgt: 0<x<4a
>
</x<4a
</x></x(4a-x)
Hm. Hier steigt unser Formeleditor aus. Wenn man Größer- oder Kleiner-Zeichen zitiert, gibts da regelmäßig Probleme. Schade eigentlich, sonst funktioniert er super.
<x(4a-x)
<x und="" 0<4a-x="" -=""><x<4a
Dein Ergebnis für Fall (2) ist jedenfalls richtig.
> (3) a<0:
> 0<3a²/(4ax-x²)
> Daraus folgt: 0<3a² w.A.
Ich werde aus "w.A." auch hier nicht schlau. Was soll das bloß heißen?
> Daraus folgt: 0<4ax-x² -> 0<x(4a-x)
> Daraus folgt: 0<x und="" 0<4a-x="" -=""> x<4a
> Daraus folgt: 0<x oder="" (?)="" x<4a<0<br="">>
Hier ist es zwar auch wieder der Formeleditor, aber die Zusammenfassung muss lauten: $0<x<4a$.
> EDIT: Wobei bei (3) nur 0<x nicht="" stimmen="" kann,="" wenn="" man="" <br="">> sich mal ein Beispiel mit x=1 und a=-20 zum Beispiel
> raussucht
Du musst lernen, Deine Gedanken nachvollziehbar aufzuschreiben. So streicht Dir jeder Korrektor fast alles als falsch an, selbst wenn der richtige Gedankengang dahinter steht. Auch Erklären muss man lernen, und jede Aufgabenlösung erklärt etwas - dem Leser nämlich.
Grüße
reverend
PS: Das mit dem Formeleditor ist blöd, aber ich habe natürlich Deinen Originalbeitrag (der das Darstellungsproblem nicht hat) ständig zum Vergleich herangezogen.
</x></x></x></x(4a-x)
</x<4a
</x></x(4a-x)
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Hallo Reverend,
vorab danke für dein Engagement!
Ich werd mich von nun an auch mit dem Formeleditor bemühen.
w.A. sollte wahre Aussage heißen und rührt daher, dass [mm] 0<3a^{2} [/mm] ja in jedem Fall stimmt, da, egal ob a kleiner oder größer 0 ist, jedesmal ein positiver Wert durch das Quadrat entsteht.
Ansonsten hab ich das jetzt richtig rausgelesen, dass (1) und (2) so passt, ja?
Und bei (3) kommt das Gleiche wie bei (2) raus? Wenn ja, dann ist die Unterscheidung für a ja sinnlos oder?
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Hallo nochmal,
heute Nachmittag wollte ich schon einmal antworten, musste dann aber sehr plötzlich weg. Pardon.
Keine Ahnung übrigens, warum niemand anders reagiert, so schwierig ist die Aufgabe für die meisten von uns dann doch nicht.
Vielleicht liegt es daran, dass ich gestern offenbar nicht so richtig hingeschaut bzw. - was schlimmer wäre - nicht gründlich nachgedacht habe. Denn bei Deiner Lösung gibt es einen Grundfehler, den ich nicht erwähnt habe. Wenn Du mit dem Nenner [mm] (\not=0) [/mm] eines Bruchs multiplizierst, ist es wesentlich, ob dieser Nenner positiv oder negativ ist. Im letzteren Fall kehrt sich ja das Relationszeichen (kleiner/größer) um.
Darum hier noch einmal von Anfang an:
Du suchst den Definitionsbereich von
[mm] f_{a}(x)=\ln{\left(\bruch{3a^2}{4ax-x^2}\right)}
[/mm]
Dazu genügt es, [mm] D_x [/mm] so zu bestimmen, dass [mm] \bruch{3a^2}{4ax-x^2}>0 [/mm] ist.
1) a muss [mm] a\not=0 [/mm] sein, da sonst das Funktionsargument Null und der Logarithmus damit nicht definiert ist.
2) x muss [mm] x\not=0 [/mm] sein, da sonst der Nenner des Bruchs Null ist und der Bruch nicht definiert ist.
3) x muss [mm] x\not={4a} [/mm] sein, Grund wie bei 3).
4) Unter Beachtung von 2) und 3) hat der Nenner keine Nullstelle mehr. Man kann also die Gleichung mit ihm multiplizieren. Dazu ist eine Fallunterscheidung nötig. Der Zähler ist ja immer positiv. Es macht aber einen Unterschied, ob der Nenner positiv oder negativ ist, siehe oben.
Fang da bitte noch mal an.
Ich war gestern zu voreilig, (2) als richtig zu bewerten. Da fehlt nämlich genau diese Unterscheidung.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:02 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo nochmal,
>
> heute Nachmittag wollte ich schon einmal antworten, musste
> dann aber sehr plötzlich weg. Pardon.
> Keine Ahnung übrigens, warum niemand anders reagiert, so
> schwierig ist die Aufgabe für die meisten von uns dann
> doch nicht.
oh Gott, die ist doch zum Verzweifeln schwer... Aber Spaß beiseite: Ich
habe die Aufgabe bis dato noch gar nicht wahrgenommen (viele andere
vermutlich auch noch nicht). Aber wenn ich sie jetzt lese:
> Darum hier noch einmal von Anfang an:
> Du suchst den Definitionsbereich von
>
> $ [mm] f_{a}(x)=\ln{\left(\bruch{3a^2}{4ax-x^2}\right)} [/mm] $
>
> Dazu genügt es, $ [mm] D_x [/mm] $ so zu bestimmen, dass $ [mm] \bruch{3a^2}{4ax-x^2}>0 [/mm] $ ist.
ist damit ja erstmal alles gesagt - wobei ich die Bezeichnung [mm] $D_x\,$ [/mm] so
ziemlich unpassend finde. Vielleicht nennen wir das mal besser mindestens
[mm] $D_{\red{a}}$ [/mm] oder noch besser [mm] $D_{f_{a}}\,.$ [/mm] (Du meinst da doch den Definitionsbereich der genannten
Funktion [mm] $f_a\,,$ [/mm] und der sollte wohl i.a. nicht mit der Funktionsvariablen
[mm] $x\,$ [/mm] variieren... ).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:32 Mi 16.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
> > schwierig ist die Aufgabe für die meisten von uns dann
> > doch nicht.
>
> oh Gott, die ist doch zum Verzweifeln schwer... Aber Spaß
> beiseite: Ich
> habe die Aufgabe bis dato noch gar nicht wahrgenommen
> (viele andere
> vermutlich auch noch nicht). Aber wenn ich sie jetzt
> lese:
> > Darum hier noch einmal von Anfang an:
> > Du suchst den Definitionsbereich von
> >
> > [mm]f_{a}(x)=\ln{\left(\bruch{3a^2}{4ax-x^2}\right)}[/mm]
> >
> > Dazu genügt es, [mm]D_x[/mm] so zu bestimmen, dass
> [mm]\bruch{3a^2}{4ax-x^2}>0[/mm] ist.
>
> ist damit ja erstmal alles gesagt - wobei ich die
> Bezeichnung [mm]D_x\,[/mm] so
> ziemlich unpassend finde. Vielleicht nennen wir das mal
> besser mindestens
> [mm]D_{\red{a}}[/mm] oder noch besser [mm]D_{f_{a}}\,.[/mm] (Du meinst da
> doch den Definitionsbereich der genannten
> Funktion [mm]f_a\,,[/mm] und der sollte wohl i.a. nicht mit der
> Funktionsvariablen
> [mm]x\,[/mm] variieren... ).
Da ist natürlich was dran. Mir war nur die Buchstabenfolge ![[]](/images/popup.gif) DFA irgendwie zuwider...
Trotzdem hast Du m.E. Recht. In der Theorie ist die Benennung von Variablen, Mengen etc. völlig unwesentlich, aber in der Praxis lohnt es sich sehr, sich darüber Gedanken zu machen. Gute Benennungen helfen sehr dabei, eine Aufgabe auch nach langem Herumrechnen oder gar nach langer Zeit noch/wieder zu überblicken.
Meine spontane Idee oder Intuition war wohl eher: aus welchem Definitionsbereich soll x eigentlich kommen? In der Notation D(x) wäre eine Abhängigkeit in der falschen Richtung deutlich, deswegen [mm] D_x. [/mm] Das aber ist zu ähnlich der Notation für z.B. Funktionenscharen. Gerade weil aber eine solche Schar hier vorkommt, muss man da eine unklare Benennung vermeiden. Darin stimme ich Dir zu.
...und ansonsten ist das ein Thema, das selten explizit wird und oft eine Spielwiese für Sonderlinge ist. Ich bitte um Verzeihung, wenn ich ungefragt auf Deinen Rasen getreten sein sollte. In diesem Fall darfst Du Dich natürlich gern revanchieren.
Herzliche Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:41 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Marcel,
>
> > > schwierig ist die Aufgabe für die meisten von uns dann
> > > doch nicht.
> >
> > oh Gott, die ist doch zum Verzweifeln schwer... Aber Spaß
> > beiseite: Ich
> > habe die Aufgabe bis dato noch gar nicht wahrgenommen
> > (viele andere
> > vermutlich auch noch nicht). Aber wenn ich sie jetzt
> > lese:
> > > Darum hier noch einmal von Anfang an:
> > > Du suchst den Definitionsbereich von
> > >
> > > [mm]f_{a}(x)=\ln{\left(\bruch{3a^2}{4ax-x^2}\right)}[/mm]
> > >
> > > Dazu genügt es, [mm]D_x[/mm] so zu bestimmen, dass
> > [mm]\bruch{3a^2}{4ax-x^2}>0[/mm] ist.
> >
> > ist damit ja erstmal alles gesagt - wobei ich die
> > Bezeichnung [mm]D_x\,[/mm] so
> > ziemlich unpassend finde. Vielleicht nennen wir das mal
> > besser mindestens
> > [mm]D_{\red{a}}[/mm] oder noch besser [mm]D_{f_{a}}\,.[/mm] (Du meinst da
> > doch den Definitionsbereich der genannten
> > Funktion [mm]f_a\,,[/mm] und der sollte wohl i.a. nicht mit der
> > Funktionsvariablen
> > [mm]x\,[/mm] variieren... ).
>
> Da ist natürlich was dran. Mir war nur die Buchstabenfolge
> DFA irgendwie
> zuwider...
hehe, okay!
> Trotzdem hast Du m.E. Recht. In der Theorie ist die
> Benennung von Variablen, Mengen etc. völlig unwesentlich,
Nicht völlig. 
> aber in der Praxis lohnt es sich sehr, sich darüber
> Gedanken zu machen. Gute Benennungen helfen sehr dabei,
> eine Aufgabe auch nach langem Herumrechnen oder gar nach
> langer Zeit noch/wieder zu überblicken.
Deswegen praktiziere ich das auch so. Zum Beispiel würde ich den
Definitionsbereich oben wenigstens [mm] $D_a$ [/mm] nennen, weil es ein
Definitionsbereich ist, der sich mit einer Veränderung in [mm] $a\,$ [/mm] auch
ändert - es ist kein "universeller Definitionsbereich für alle [mm] $a\,$".
[/mm]
> Meine spontane Idee oder Intuition war wohl eher: aus
> welchem Definitionsbereich soll x eigentlich kommen? In der
> Notation D(x) wäre eine Abhängigkeit in der falschen
> Richtung deutlich, deswegen [mm]D_x.[/mm] Das aber ist zu ähnlich
> der Notation für z.B. Funktionenscharen. Gerade weil aber
> eine solche Schar hier vorkommt, muss man da eine unklare
> Benennung vermeiden. Darin stimme ich Dir zu.
Jetzt sind wir aber bei einer "Benennungsegalität": Ob ich nun [mm] $f_a(x)\,$
[/mm]
oder [mm] $f_a(t)\,$ [/mm] bspw. schreibe, das ist egal. Und wird dann [mm] $D_x$ [/mm] sonst
[mm] $D_t$ [/mm] heißen? Man kann natürlich auch "alles" mitnehmen: [mm] $D_{f_a(x)}$
[/mm]
oder sowas - aber das wird mir dann doch zu "schlimm".
> ...und ansonsten ist das ein Thema, das selten explizit
> wird und oft eine Spielwiese für Sonderlinge ist.
Oo ich bin ein Sonderling?
> Ich bitte um Verzeihung, wenn ich ungefragt auf Deinen Rasen
> getreten sein sollte. In diesem Fall darfst Du Dich natürlich gern
> revanchieren.
Ach Quatsch. Auch Du darfst ein Sonderling werden, wenn Du es denn nur
willst.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:19 Mi 16.01.2013 | | Autor: | reverend |
So auf dem Weg ins kurzzeitig benötigte Bett...
Hallo Marcel,
nur Sonderlinge (tolles Wort eigentlich) haben eine Chance, die Analysis zu meistern. Oder die Zahlentheorie, Knotentheorie, Topologie oder eine andere der mindestens 227 spezialisierten Disziplinen der Mathematik. Na schön, die Analysis gehört wahrscheinlich in eine höhere Kategorie...
> > Da ist natürlich was dran. Mir war nur die Buchstabenfolge
> > DFA irgendwie
> > zuwider...
>
> hehe, okay!
Ich wohne einfach zu nah am Ruhrpott.
> > Trotzdem hast Du m.E. Recht. In der Theorie ist die
> > Benennung von Variablen, Mengen etc. völlig unwesentlich,
>
> Nicht völlig.
Nicht? Schön, ich sollte eine komplexe Variable besser nicht i nennen, und eine beliebige Potenzbasis nicht e, auch eine Winkelvariable klugerweise nicht [mm] \pi. [/mm] Dass aber q nicht auch reell oder n nicht negativ sein soll, ist doch reine Konvention. Wir arbeiten da nur mit Alphabeten.
> > aber in der Praxis lohnt es sich sehr, sich darüber
> > Gedanken zu machen. Gute Benennungen helfen sehr dabei,
> > eine Aufgabe auch nach langem Herumrechnen oder gar nach
> > langer Zeit noch/wieder zu überblicken.
>
> Deswegen praktiziere ich das auch so. Zum Beispiel würde
> ich den
> Definitionsbereich oben wenigstens [mm]D_a[/mm] nennen, weil es ein
> Definitionsbereich ist, der sich mit einer Veränderung in
> [mm]a\,[/mm] auch
> ändert - es ist kein "universeller Definitionsbereich
> für alle [mm]a\,[/mm]".
Stimmt. Ich habe vorhin wohl nur nicht darüber nachgedacht.
> > Meine spontane Idee oder Intuition war wohl eher: aus
> > welchem Definitionsbereich soll x eigentlich kommen? In der
> > Notation D(x) wäre eine Abhängigkeit in der falschen
> > Richtung deutlich, deswegen [mm]D_x.[/mm] Das aber ist zu ähnlich
> > der Notation für z.B. Funktionenscharen. Gerade weil aber
> > eine solche Schar hier vorkommt, muss man da eine unklare
> > Benennung vermeiden. Darin stimme ich Dir zu.
>
> Jetzt sind wir aber bei einer "Benennungsegalität": Ob ich
> nun [mm]f_a(x)\,[/mm]
> oder [mm]f_a(t)\,[/mm] bspw. schreibe, das ist egal. Und wird dann
> [mm]D_x[/mm] sonst
> [mm]D_t[/mm] heißen? Man kann natürlich auch "alles" mitnehmen:
> [mm]D_{f_a(x)}[/mm]
> oder sowas - aber das wird mir dann doch zu "schlimm".
Ja, da ist ein Maß an Übertreibung erkennbar, das auch ich nicht schätze.
> > ...und ansonsten ist das ein Thema, das selten explizit
> > wird und oft eine Spielwiese für Sonderlinge ist.
>
> Oo ich bin ein Sonderling?
Ist das nicht eine Grundbedingung für jede Wissenschaft?
Grüße zur (hoffentlich guten) Nacht,
reverend
> > Ich bitte um Verzeihung, wenn ich ungefragt auf Deinen
> Rasen
> > getreten sein sollte. In diesem Fall darfst Du Dich
> natürlich gern
> > revanchieren.
>
> Ach Quatsch. Auch Du darfst ein Sonderling werden, wenn Du
> es denn nur
> willst.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:41 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> So auf dem Weg ins kurzzeitig benötigte Bett...
>
> Hallo Marcel,
>
> nur Sonderlinge (tolles Wort eigentlich) haben eine Chance,
> die Analysis zu meistern. Oder die Zahlentheorie,
> Knotentheorie, Topologie oder eine andere der mindestens
> 227 spezialisierten Disziplinen der Mathematik. Na schön,
> die Analysis gehört wahrscheinlich in eine höhere
> Kategorie...
>
> > > Da ist natürlich was dran. Mir war nur die Buchstabenfolge
> > > DFA irgendwie
> > > zuwider...
> >
> > hehe, okay!
>
> Ich wohne einfach zu nah am Ruhrpott.
>
> > > Trotzdem hast Du m.E. Recht. In der Theorie ist die
> > > Benennung von Variablen, Mengen etc. völlig unwesentlich,
> >
> > Nicht völlig.
>
> Nicht? Schön, ich sollte eine komplexe Variable besser
> nicht i nennen, und eine beliebige Potenzbasis nicht e,
> auch eine Winkelvariable klugerweise nicht [mm]\pi.[/mm] Dass aber q
> nicht auch reell oder n nicht negativ sein soll, ist doch
> reine Konvention. Wir arbeiten da nur mit Alphabeten.
richtig - neben dem von Dir gesagten (dass in gewissen Zusammenhängen
Variablen eine feste Bedeutung haben können; übrigens schreiben
Physiker gerne [mm] $j\,$ [/mm] anstatt [mm] $i\,$ [/mm] - ach, immer diese Leute mit ihren
Extrawürsten, nur, weil sie [mm] $i\,$ [/mm] schon wo anders benutzen... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") [mm] ($\leftarrow$ Spaß!)):
es gibt auch andere "Unsitten", wenn jemand etwa schreibt: $x=(x,y,z)\,$
(eine Variable wird mehrfach in verschiedenen Bedeutungen verwendet -
was ich fast genauso schlimm finde, wie wenn jemand "$x=3\,$ und
$x=7\,$" schreibt, was ja $3=7$ implizierte..).
(Auch hier wieder eine Ausschweifung: Manche Professoren schreiben ja
auch $\textbf{x}=(x,y,z)\,,$ auch das lehne ich ab - zumal man an der
Tafel das $\textbf{x}$ meist nicht vom $x\,$ zu unterscheiden weiß, und
wenn der Prof. es doch fett genug malt, dann hätte er die Zeit dafür auch
besser investieren können und eine andere Bezeichnung wählen können...)
Was ich damit meine: Man soll auch die Variablen "so bezeichnen, dass
keine Widersprüche entstehen". Einer meiner Professoren hatte übrigens
die Unsitte, das Wort "für" mit "f." abzukürzen. Ist dann toll, wenn man
dann im Text liest: "f. f" wenn es dann noch die Funktion f gab...
Witzig ist dabei, dass dann sowas wie "linksseitig-unterhalbstetig"
natürlich ausgeschrieben werden mußte... (Soviel zur Effizienz seiner
Abkürzungen...)
So nebenbei: Nichtsdestotrotz sollte man "Halmos - How to write mathematics"
mal lesen, denn sowas wie $\IN \ni \varepsilon \to \infty$ ist doch für
Mathematiker "doch etwas, was schwer im Magen liegt". ;-) Aber wie
gesagt: Ich meinte das, was Du angesprochen hast, eigentlich nicht.
Sondern eher: Ich sollte nicht etwa $f\,$ mit $f(x):=x^2$ und zugleich
$f\,$ mit $f(x):=x^3$ schreiben, wenn ich zwei verschiedene Funktionen
habe - zumindest nicht, wenn sie nicht anderweitig voneinander getrennt
sind (in Schülbüchern oder bei Übungsaufgaben ja durch die
Aufgabennummer etwa).
> > > aber in der Praxis lohnt es sich sehr, sich darüber
> > > Gedanken zu machen. Gute Benennungen helfen sehr dabei,
> > > eine Aufgabe auch nach langem Herumrechnen oder gar nach
> > > langer Zeit noch/wieder zu überblicken.
> >
> > Deswegen praktiziere ich das auch so. Zum Beispiel würde
> > ich den
> > Definitionsbereich oben wenigstens [/mm] [mm]D_a[/mm] nennen, weil es ein
> > Definitionsbereich ist, der sich mit einer Veränderung in
> > [mm]a\,[/mm] auch
> > ändert - es ist kein "universeller Definitionsbereich
> > für alle [mm]a\,[/mm]".
>
> Stimmt. Ich habe vorhin wohl nur nicht darüber
> nachgedacht.
Macht nix. 
> > > Meine spontane Idee oder Intuition war wohl eher: aus
> > > welchem Definitionsbereich soll x eigentlich kommen? In der
> > > Notation D(x) wäre eine Abhängigkeit in der falschen
> > > Richtung deutlich, deswegen [mm]D_x.[/mm] Das aber ist zu ähnlich
> > > der Notation für z.B. Funktionenscharen. Gerade weil aber
> > > eine solche Schar hier vorkommt, muss man da eine unklare
> > > Benennung vermeiden. Darin stimme ich Dir zu.
> >
> > Jetzt sind wir aber bei einer "Benennungsegalität": Ob ich
> > nun [mm]f_a(x)\,[/mm]
> > oder [mm]f_a(t)\,[/mm] bspw. schreibe, das ist egal. Und wird
> dann
> > [mm]D_x[/mm] sonst
> > [mm]D_t[/mm] heißen? Man kann natürlich auch "alles"
> mitnehmen:
> > [mm]D_{f_a(x)}[/mm]
> > oder sowas - aber das wird mir dann doch zu "schlimm".
>
> Ja, da ist ein Maß an Übertreibung erkennbar, das auch
> ich nicht schätze.
Eben - man muss wissen, was das Wesentliche ist. Deswegen würde ich
auch [mm] $D_a$ [/mm] bevorzugen, da aus dem Zusammenhang klar ist, dass es um
die Funktion [mm] $f_a$ [/mm] geht.
> > > ...und ansonsten ist das ein Thema, das selten explizit
> > > wird und oft eine Spielwiese für Sonderlinge ist.
> >
> > Oo ich bin ein Sonderling?
>
> Ist das nicht eine Grundbedingung für jede Wissenschaft?
Mhm... ich denke mal drüber nach!
> Grüße zur (hoffentlich guten) Nacht,
> reverend
Dir auch gute Nacht!
Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Klingelton,
ich habe nun Reverends Antwort entnommen, dass es wohl um den
"maximalen" Definitionsbereich von
$$ [mm] f_{a}(x)=\ln{\left(\bruch{3a^2}{4ax-x^2}\right)}$$
[/mm]
geht, wobei dieser in Abhängigkeit von [mm] $a\,$ [/mm] anzugeben ist.
Dazu sollte $a [mm] \not=0$ [/mm] sein, weil [mm] $\ln(0)$ [/mm] undefiniert ist. Klar ist, dass
[mm] $3a^2$ [/mm] stets $> 0$ ist, sofern nur $a [mm] \not=0$ [/mm] ist.
Wir schreiben nun erstmal den Nenner um:
[mm] $$4ax-x^2=-(x-2a)^2+4a^2\,.$$
[/mm]
Wir müssen nun nur noch alle [mm] $x\,$ [/mm] angeben, so dass [mm] $-(x-2a)^2+4a^2 [/mm] > 0$
stets gilt, und schon sind wir fertig. (Ist Dir das klar? Bedenke erneut, dass
[mm] $3a^2 [/mm] > 0$ ja stets gilt - wir hatten ja $a [mm] \not=0$.) [/mm] Oder anders gesagt:
[mm] $$\red{0 \le\;\;} (x-2a)^2 [/mm] < [mm] 4a^2$$
[/mm]
[mm] $$\iff\red{0 \le\;\;} [/mm] |x-2a| < [mm] 2|a|\,.$$
[/mm]
(Das [mm] $\red{0 \le\;\;}$ [/mm] kann man sich dabei natürlich auch einfach sparen!)
Für $a > [mm] 0\,$ [/mm] erhalten wir also $-2a < x-2a < [mm] 2a\,,$ [/mm] (denn beachte: es
gilt $|a| < |b| [mm] \iff [/mm] -|b| < a < [mm] |b|\,$ [/mm] anders gesagt: $|a| < [mm] |b|\;\; \iff \;\;(-\;|b| [/mm] < [mm] a\,$ [/mm] und $a < [mm] |b|\,$)) [/mm]
und damit als maximalen Definitionsbereich für diesen Fall
[mm] $$\{x \in \IR:\;\;0 < x < 4a\}=]0,\;4a[\,,$$
[/mm]
und für $a < 0$ erhalten wir (analog)
$$2a < x-2a < [mm] -2a\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$\{x \in \IR:\;\; 4a < x < 0\}=]4a,\;0[\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:09 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimme die Definitionsmenge von fa.
> fa(x) = ln(3a²/(4ax-x²))
>
> Hab ein paar Unsicherheiten in der Lösung der Aufgabe.
> Kann vllt jemand rüberschauen und kontrollieren?
>
> Meine Berechnungen:
>
> (1) x ungleich 0, da sonst Nenner = 0; a ungleich 0, da
> sonst Wert im ln = 0
schreib' das nochmal in einem vernünftigen Satz: "Wir können o.E. $a [mm] \not=0$ [/mm]
annehmen, denn..., und dann muss auch stets $x [mm] \not=0$ [/mm] sein, denn
andernfalls..."
Wobei die Erwähnung von $x [mm] \not=0$ [/mm] hier auch erspart bleiben kann, weil
sie sich im Folgenden eh ergibt.
> (2) a>0:
> 0<3a²/(4ax-x²)
Was ist mit dieser Ungleichung? Du willst doch sagen: Wir haben alle $x [mm] \in \IR$
[/mm]
zu bestimmen, so dass diese gilt. Dann schreib' das auch!
> Daraus folgt:
Das ist schlechter Stil, bzw. bzgl. der Lösung der Aufgabe nicht
aussagekräftig genug. Besser ist es, hier ein [mm] "$\iff$" [/mm] zu verwenden.
(Natürlich musst Du Dich dabei auch überzeugen, dass sowohl [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] als auch [mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
gelten!)
Ansonsten sagst Du nur: Ein [mm] $x\,,$ [/mm] dass die obenstehende Ungleichung
löst, löst auch die folgende Ungleichung (Du schreibst ja nur [mm] "$\Rightarrow$"). [/mm]
Das sind dann nur "notwendige Bedingungen" an [mm] $x\,.$
[/mm]
Und nun geht's weiter: Weil wir $a [mm] \not=0$ [/mm] haben, wissen wir, dass
> 0<3a²
stets gilt.
Alle gesuchten [mm] $x\,$ [/mm] finden wir also, indem wir alle [mm] $x\,$ [/mm] finden, die die
Ungleichung
> 0<4ax-x² [mm] $\red{\iff}$ [/mm] 0<x(4a-x)
lösen. (Das liegt am Definitionsbereich von [mm] $\ln\,,$ [/mm] was vielleicht auch einer
Erwähnung Wert ist!) Und wie gesagt: [mm] $\iff$ [/mm] solltest Du im Folgenden
stets (wenn angebracht) benutzen, sofern Du das an der entsprechenden
Stelle auch "darfst" ("dürfen=überzeuge Dich, dass beide Folgerungsrichtungen
gelten!")!
> Daraus folgt: [mm] $\red{\iff}$ [/mm] 0<x und [mm] \red{(}0<4a-x $\red{\iff}$ x<4a\red{)}
[/mm]
> Daraus folgt: [mm] $\red{\iff}$ [/mm] 0<x<4a
Ein (Zwischen-)Schlussatz wäre schön: Im Falle $a > [mm] 0\,$ [/mm] ist der
(maximale) Definitionsbereich von [mm] $f_a$ [/mm] gegeben durch [mm] $]0,4a[\,.$ [/mm]
(WICHTIGE Bemerkung: Übrigens:
Hier hast Du nicht begründet, warum der Fall
$0 > x$ und $0 > 4a-x$
nicht eintreten kann. Ich erwähne das hier deshalb, weil das der Punkt ist,
den Du auch bei (3) vergessen hast!)
Im Folgenden gelten die gleichen Korrekturen/Anmerkungen analog (ich
mache das nun nicht mehr an allen Stellen, das kannst Du ja mal selbst
zu korrigieren versuchen):
> (3) a<0:
> 0<3a²/(4ax-x²)
> Daraus folgt: 0<3a² w.A.
> Daraus folgt: 0<4ax-x² -> 0<x(4a-x)
> Daraus folgt: 0<x und 0<4a-x -> x<4a
Wenn $a < 0$ und $x < 4a$ sein muss, folgt schon $x < [mm] 0\,,$ [/mm] dann kann
nicht zugleich auch $0 < [mm] x\,$ [/mm] sein. Der Fall oben EXISTIERT NICHT.
Und jetzt hast Du was vergessen: Es gilt doch $a*b > 0$ genau dann,
wenn
1. [mm] $a>0\,$ [/mm] UND $b > 0$
ODER
2. $a < 0$ UND $b < [mm] 0\,.$
[/mm]
Also neben dem Fall
> 0<x und 0<4a-x
der schon wegen $a < [mm] 0\,$ [/mm] nicht existieren kann, hast Du den Fall
0>x und 0>4a-x
noch nicht untersucht - und dabei ist das hier nun der relevante und in
diesem Falle kommst Du dann auf $4a < x < [mm] 0\,.$ [/mm] (Beachte den Sinngehalt
der Ungleichung: Wegen $a < [mm] 0\,$ [/mm] ist ja auch $4a < [mm] 0\,$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Do 17.01.2013 | | Autor: | klingelton |
Vielen Dank sowohl an Reverend als auch an Marcel! Werd mir das nochmal in Ruhe durchlesen und klar machen. :)
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