Definitionsbereich + Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie für folgende Funktionsvorschriften x -> f(x) jeweils den maximalen Definitionsbereich und die Ableitung
a) f(x) = [mm] x^x
[/mm]
b) f(x) = x^ln(x)
c) f(x) = [mm] ln(x)^x
[/mm]
d) f(x) = ln(x)^ln(x) |
zu a)
Hier habe ich als Definitionsbereich x [mm] \in \IZ [/mm] und [mm] x\in \IR^+, [/mm] denn für negative Bruchzahlen würde ja eine negative Wurzel entstehen, diese ist zumindest in [mm] \IR [/mm] nicht definiert.
Als Ableitung habe ich [mm] x^x [/mm] umgeschrieben zu:
[mm] x^x [/mm] = [mm] e^{x * ln(x)} [/mm]
Dies Abgeleitet mit der Kettenregel erhalte ich:
[mm] e^{x*ln(x)}*ln(x)+x+\bruch{1}{x}= x^x*(ln(x)+1)
[/mm]
Ist das soweit richtig :)
zu b)
Ist hier der Definitionsbereich x>=1 ?
x^ln(x) kann man wieder umschreiben zu [mm] x^{ln^2(x)}
[/mm]
Das macht mir beim Ableiten grosse Problem, vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen :-(
zu c)
Ist hier der Definitionsbereich wieder x>=1 ?
Kann man hier einfach die Kettenregel anwenden?
Somit für die Ableitung = [mm] x*ln(x)^{x-1}*\bruch{1}{x}=ln(x)^{x-1} [/mm] ?
Ich vertraue dem Ergebnis irgendwie nicht so recht :-/
zu d)
Wieder als Definitionsbereich x>= 1 ?
ln(x)^ln(x) könnte man umschreiben zu [mm] e^{ln(x)*ln(ln(x))}
[/mm]
Aber ich weiß nicht wie ich das Ableiten soll? Ketten-und Produktregel?
Jedoch kommt hierbei nichts schönes heraus :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Mo 27.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo studi
> Berechnen Sie für folgende Funktionsvorschriften x -> f(x)
> jeweils den maximalen Definitionsbereich und die Ableitung
>
> a) f(x) = [mm]x^x[/mm]
>
> b) f(x) = x^ln(x)
>
> c) f(x) = ln(x)^ln(x)
>
> d) f(x) = ln(x)^ln(x)
> zu a)
>
> Hier habe ich als Definitionsbereich x [mm]\in \IZ[/mm] und [mm]x\in \IR^+,[/mm]
> denn für negative Bruchzahlen würde ja eine negative
> Wurzel entstehen, diese ist zumindest in [mm]\IR[/mm] nicht
> definiert.
wie kommst du auf [mm] \IZ [/mm] , das ist sinnlos, aber [mm]x\in \IR^+,[/mm] ist richtig.
[mm] a^b [/mm] ist definiert für alle a>0
ln(a) ist definiert für alle a>0
> Als Ableitung habe ich [mm]x^x[/mm] umgeschrieben zu:
>
> [mm]x^x[/mm] = [mm]e^{x * ln(x)}[/mm]
>
> Dies Abgeleitet mit der Kettenregel erhalte ich:
>
> [mm]e^{x*ln(x)}*ln(x)+x+\bruch{1}{x}= x^x*(ln(x)+1)[/mm]
>
> Ist das soweit richtig :)
ja
> zu b)
>
> Ist hier der Definitionsbereich x>=1 ?
nein du solltest sowas begründen!
> x^ln(x) kann man wieder umschreiben zu [mm]x^{ln^2(x)}[/mm]
>
> Das macht mir beim Ableiten grosse Problem, vielleicht kann
> mir hier jemand weiterhelfen :-(
einfach kettenregel und [mm] (ln(x))^2 [/mm] wieder mit Kettenregel, das schffst du.
> zu c)
>
> Ist hier der Definitionsbereich wieder x>=1 ?
hier ja, aber warum?
> Kann man hier einfach die Kettenregel anwenden?
>
> Somit für die Ableitung =
> [mm]x*ln(x)^{x-1}*\bruch{1}{x}=ln(x)^{x-1}[/mm] ?
das ist schlimm! bei [mm] x^x [/mm] hast du doch auch gesehen, dass man nich so ableiten kann, also [mm] lnx=e^{ln(lnx)} [/mm]
> Ich vertraue dem Ergebnis irgendwie nicht so recht :-/
in deinem post sind c und d dasselbe, deshalb bin ich verwirrt.
> zu d)
>
> Wieder als Definitionsbereich x>= 1 ?
siehe c)
> ln(x)^ln(x) könnte man umschreiben zu [mm]e^{ln(x)*ln(ln(x))}[/mm]
>
> Aber ich weiß nicht wie ich das Ableiten soll? Ketten-und
> Produktregel?
> Jedoch kommt hierbei nichts schönes heraus :-(
Ketten und produktregel ja, und warum du das ergebnis unschön findest weiss ich nicht, stöt dich ln(ln(x))?
besser wär du schriebst dein "unschönes" ergebnis hin!
Gruss leduart
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> Hallo studi
> > Berechnen Sie für folgende Funktionsvorschriften x ->
> f(x)
> > jeweils den maximalen Definitionsbereich und die Ableitung
> >
> > a) f(x) = [mm]x^x[/mm]
> >
> > b) f(x) = x^ln(x)
> >
> > c) f(x) = [mm] ln(x)^x
[/mm]
> >
> > d) f(x) = ln(x)^ln(x)
> > zu a)
> >
> > Hier habe ich als Definitionsbereich x [mm]\in \IZ[/mm] und [mm]x\in \IR^+,[/mm]
> > denn für negative Bruchzahlen würde ja eine negative
> > Wurzel entstehen, diese ist zumindest in [mm]\IR[/mm] nicht
> > definiert.
> wie kommst du auf [mm]\IZ[/mm] , das ist sinnlos, aber [mm]x\in \IR^+,[/mm]
> ist richtig.
[mm] \IZ [/mm] war wegen den negativen ganzen Zahlen, für die wäre die Funktion doch definiert oder? bspw. -2: -2^-2 gibt es ja
> [mm]a^b[/mm] ist definiert für alle a>0
> ln(a) ist definiert für alle a>0
> > Als Ableitung habe ich [mm]x^x[/mm] umgeschrieben zu:
> >
> > [mm]x^x[/mm] = [mm]e^{x * ln(x)}[/mm]
> >
> > Dies Abgeleitet mit der Kettenregel erhalte ich:
> >
> > [mm]e^{x*ln(x)}*ln(x)+x+\bruch{1}{x}= x^x*(ln(x)+1)[/mm]
> >
> > Ist das soweit richtig :)
> ja
> > zu b)
> >
> > Ist hier der Definitionsbereich x>=1 ?
> nein du solltest sowas begründen!
Ich meine viel mehr x>=0, denn ln(x) ist definiert für x>=0
> > x^ln(x) kann man wieder umschreiben zu [mm]x^{ln^2(x)}[/mm]
> >
> > Das macht mir beim Ableiten grosse Problem, vielleicht kann
> > mir hier jemand weiterhelfen :-(
> einfach kettenregel und [mm](ln(x))^2[/mm] wieder mit Kettenregel,
> das schffst du.
Dann erhalte ich: [mm] e^{ln(x)^2}*2 [/mm] ln(x) * [mm] \Bruch{1}{x} [/mm] stimmt das?
> > zu c)
> >
> > Ist hier der Definitionsbereich wieder x>=1 ?
> hier ja, aber warum?
> > Kann man hier einfach die Kettenregel anwenden?
> >
> > Somit für die Ableitung =
> > [mm]x*ln(x)^{x-1}*\bruch{1}{x}=ln(x)^{x-1}[/mm] ?
> das ist schlimm! bei [mm]x^x[/mm] hast du doch auch gesehen, dass
> man nich so ableiten kann, also [mm]lnx=e^{ln(lnx)}[/mm]
> > Ich vertraue dem Ergebnis irgendwie nicht so recht :-/
> in deinem post sind c und d dasselbe, deshalb bin ich
> verwirrt.
Ich habe es nun korrigiert, bin beim Abtippen wohl in der Zeile verruscht :-(
für die Ableitung von [mm] ln(x)^x [/mm] habe ich dann: [mm] e^{x*ln(x)^2}*ln(x)^2*2x(ln(x)*\bruch{1}{x}
[/mm]
> > zu d)
> >
> > Wieder als Definitionsbereich x>= 1 ?
> siehe c)
Hier ist der Defbereich x>=1, da ich für kleine x eine negative Wurzel erhalten würde, diese gibt es ja aber in [mm] \IR [/mm] nicht...
> > ln(x)^ln(x) könnte man umschreiben zu [mm]e^{ln(x)*ln(ln(x))}[/mm]
> >
> > Aber ich weiß nicht wie ich das Ableiten soll? Ketten-und
> > Produktregel?
> > Jedoch kommt hierbei nichts schönes heraus :-(
> Ketten und produktregel ja, und warum du das ergebnis
> unschön findest weiss ich nicht, stöt dich ln(ln(x))?
> besser wär du schriebst dein "unschönes" ergebnis hin!
> Gruss leduart
Also ich erhalte als Ableitung:
[mm] e^{ln(x)*ln(ln(x))}*\Bruch{1}{x}*ln(ln(x)) [/mm] + [mm] \Bruch{1}{ln(x)}*\Bruch{1}{x}
[/mm]
Ich weiß nicht ob das stimmen kann?! :/
Vielen Dank jedenfalls schonmal für deine Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Di 28.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo studi
> > > Berechnen Sie für folgende Funktionsvorschriften x
> ->
> > f(x)
> > > jeweils den maximalen Definitionsbereich und die Ableitung
> > >
> > > a) f(x) = [mm]x^x[/mm]
> ...
> > > zu a)
> > >
> > > Hier habe ich als Definitionsbereich x [mm]\in \IZ[/mm] und [mm]x\in \IR^+,[/mm]
> > > denn für negative Bruchzahlen würde ja eine negative
> > > Wurzel entstehen, diese ist zumindest in [mm]\IR[/mm] nicht
> > > definiert.
> > wie kommst du auf [mm]\IZ[/mm] , das ist sinnlos, aber [mm]x\in \IR^+,[/mm]
> > ist richtig.
>
> [mm]\IZ[/mm] war wegen den negativen ganzen Zahlen, für die wäre
> die Funktion doch definiert oder? bspw. -2: -2^-2 gibt es
> ja
naja, das ist ein wenig ein Definitionsproblem:
Zum Beispiel nach einer mir ![[]](/images/popup.gif) bekannten Definition (7.8) wäre [mm] $x^x=\exp(x*\ln(x))$ [/mm] für $x > [mm] 0\,.$ [/mm] Gemäß den Potenzgesetzen (Seite 12) wäre aber in der Tat auch [mm] $x^x$ [/mm] für $x [mm] \in \IZ$ [/mm] definiert (unter Mitbeachtung der Konvention [mm] $0^0=1\,.$)
[/mm]
Von daher sehe ich Deine Lösung gar nicht als falsch an (im Gegenteil: Sie ist jedenfalls nicht ganz falsch (s.u.), soweit ich das sehe!):
[mm] $$x^x$$
[/mm]
existiert für alle $x [mm] \in (0,\infty) \cup (-\IN_0)$ $(=(0,\infty) \cup \IZ))\,.$ [/mm] Auch, wenn ich mir sicher bin, dass der Aufgabensteller da nur [mm] $(0,\infty)$ [/mm] sehen wollte. Aber Du gibst einen größeren Definitionsbereich an, und ich sehe das genauso - es sei denn, der Aufgabensteller hätte explizit [mm] $f(x)=\exp(x*\ln(x))$ [/mm] geschrieben - diese Funktion hätte wirklich nur den maximalen Definitionsbereich [mm] $(0,\infty)$ [/mm] (unter den vorgegebenen Bedingungen)!
Einzig Deine Sprechweise war schlecht gewäht: $x [mm] \in \IZ$ [/mm] UND $x [mm] \in \IR^+$ [/mm] würde $x [mm] \in \IZ \cap \IR^+=\IN$ [/mm] bedeuten!
Also: Mach' Dir den Unterschied zwischen "und" und "oder" klar(er)!
P.S.
Ich denke zudem, dass hier stets der Definitionsbereich [mm] $\subseteq \IR$ [/mm] sein soll. Ist dem so?
P.P.S.
1.) Die Ableitung von $x [mm] \mapsto x^x$ [/mm] "würde dann nur auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] existieren/leben"!
2.) [mm] $x^x$ [/mm] existiert sogar laut Wiki für noch andere negative Zahlen:
Etwa
[mm] $$\left(\frac{-8}{3}\right)^{-8/3}$$
[/mm]
existiert gemäß Wiki auch. Ich denke aber, das ist vor allem ein Definitionsproblem, was man bei [mm] $a^b$ [/mm] "alles zulassen will" oder gegebenenfalls "sinnvollerweise maximal zulassen sollte".
Gruß,
Marcel
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Genau, das habe ich gemeint - aber es kann schon sein, dass unser Professor hier den Definitionsbereich [mm] \IR^+ [/mm] haben möchte 
Dank dir jedenfalls für die ausführliche Erklärung
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 03:09 Mi 29.02.2012 | | Autor: | LittleStudi |
Waren die Ableitungen b)-d) richtig?
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> Waren die Ableitungen b)-d) richtig?
Hallo,
wenn man sie mal finden würde...
Das ist ja ein vorösterliches Suchspiel.
Wäre ein netter Zug gewesen, hier Funktionen und zugehörige Ableitungen nochmal übersichtlich zusammenzustellen.
LG Angela
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Hallo,
> > > b) f(x) = x^ln(x)
[mm] =e^{ln^2(x)}
[/mm]
> Dann erhalte ich: [mm]e^{(ln(x))^2}*2[/mm] ln(x) * [mm]\bruch{1}{x}[/mm] stimmt
> das?
Ja.
Man könnte es noch etwas netter schreiben, aber richtig ist's.
> > >
> > > c) f(x) = [mm]ln(x)^x[/mm]
[mm] =e^{x*ln(ln(x))}
[/mm]
> für die Ableitung von [mm]ln(x)^x[/mm] habe ich dann:
> [mm]e^{x*ln(x)^2}*ln(x)^2*2x(ln(x)*\bruch{1}{x}[/mm]
Das ist nicht richtig. Beachte, daß [mm] e^{ln(ln(x))}=ln(x) [/mm] etwas völlig anderes ist als [mm] e^{ln(x)*ln(x)}=x^{ln(x)}.
[/mm]
Bei der inneren Ableitung, also der Ableitung des Exponenten müßte ja auch die Produktregel zur Anwendung kommen.
> > >
> > > d) f(x) = ln(x)^ln(x)
[mm] =e^{ln(ln(x))*ln(x)}
[/mm]
> Also ich erhalte als Ableitung:
>
> [mm]e^{ln(x)*ln(ln(x))}*\bruch{1}{x}*ln(ln(x))[/mm] + [mm]\bruch{1}{ln(x)}*\bruch{1}{x}[/mm]
Nein. Erstens fehlen Klammern, und die innere Ableitung (Produktregel) solltest Du nochmal durchdenken.
LG Angela
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Vielen Dank für deine Hilfe :)
Ich habe die Fehler nun auch entdeckt ;)
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