Definition von a^k < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Es sei [mm] (G,\cdot{}) [/mm] eine multiplikative Gruppe mit neutralem Element e und sei a [mm] \in [/mm] G beliebig. Man setzt [mm] a^0 [/mm] := e und für n [mm] \in \IN [/mm] per iduktiver Definition [mm] a^n [/mm] := [mm] a^{n-1}*a; [/mm] ferner für m [mm] \in \IZ, [/mm] m < 0 : [mm] a^m [/mm] := [mm] (a^{-m})^-1. [/mm] Dann ist [mm] a^k [/mm] für alle k [mm] \in \IZ [/mm] wohldefiniert. Zeigen sie
(i) Für alle m,n [mm] \in \IZ [/mm] gilt: [mm] a^{m+n} [/mm] = [mm] a^m a^n [/mm] = [mm] a^n a^m [/mm] |
| Aufgabe 2 | | (ii) Für alle m, n [mm] \in \IZ [/mm] gilt: [mm] (a^m)^n [/mm] = [mm] a^{m*n} [/mm] = [mm] (a^n)^m [/mm] |
Ich verstehe nicht so recht was man hier will...
Soll ich die Potenzgesetze beweisen? Wie?
Irgendwie habe ich enorme Probleme damit herauszufinden, wie ich überhaupt an solche Aufgaben auf einem Übungsblatt heran gehen soll.
Die Sätze in den Vorlesungen verstehe ich mehr oder weniger aber wie ich die dann zu Hause bei vollkommen anderen Aufgaben anwenden soll ist mir einfach ein Rätsel.
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Nadelspitze,
das ist ein Kernproblem jedes Studiums: wie wendet man die theoretisch erlernten Grundlagen an? Eine sichere Handhabung gewinnt man da nur durch eine gewisse Übung. Sie verlangt oft Kopfzerbrechen und eigene Kreativität.
Ein paar Anstöße können aber sicher nicht schaden - dafür ist dieses Forum ja da. Dann mal los:
> Ich verstehe nicht so recht was man hier will...
> Soll ich die Potenzgesetze beweisen? Wie?
Ja, das sollst Du. Du sollst es sogar ganz allgemein für jede multiplikative Gruppe. Und wie: das ist doch gerade Deine Aufgabe.
> Irgendwie habe ich enorme Probleme damit herauszufinden,
> wie ich überhaupt an solche Aufgaben auf einem
> Übungsblatt heran gehen soll.
Ok. Du wirst bei den meisten Aufgaben erst einmal die Grunddefinitionen benötigen. Was ist eine Gruppe, wann ist sie multiplikativ (welche Eigenschaften hat also die Verknüpfung "Multiplikation"?), was ist ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation, wofür steht die Schreibweise [mm] a^{-1}?
[/mm]
> Die Sätze in den Vorlesungen verstehe ich mehr oder
> weniger aber wie ich die dann zu Hause bei vollkommen
> anderen Aufgaben anwenden soll ist mir einfach ein
> Rätsel.
Es sind keine anderen Aufgaben. Es sind einfach andere Anwendungsgebiete der schon vorliegenden Sätze als die, die in den Vorlesungen herangezogen wurden. Gute Übungsaufgaben fordern dazu heraus, alles Gelernte anzuwenden, manchmal sogar ein ganz wenig darüber hinaus. Hier genügen aber die angegebenen Grundlagen (zzgl. den oben Genannten).
Du kannst beide Aufgaben lösen, indem Du [mm] a^k [/mm] in k Faktoren auseinanderziehst. Dass bei beiden dann zugrundeliegt, dass $ m*n=n*m $ ist, schadet ja nicht. Allerdings ist auch die Multiplikation von n und m die, die der multiplikativen Gruppe zugrundeliegt, also nicht notwendig die Multiplikation irgendwelcher Zahlen. Dass diese aber herangezogen wird, wird aus der rekursiven Rückführung von [mm] a^n [/mm] auf [mm] a^{n-1} [/mm] deutlich.
Die erste Aufgabe braucht man aber eigentlich nicht auf $ m*n=n*m $ zurückgreifen muss. Wenn das allgemein für jedes m,n gilt, dann gilt auch p*q=q*p für jedes p,q. Es genügt also, das Assoziativgesetz anzuwenden, und wenn es noch nicht vorliegt (also bewiesen ist), dann ist die Aufgabe immer noch zu lösen, siehe den vorigen Absatz!
So weit für jetzt. Letztlich musst Du die Aufgabe selbst lösen, denn nur dann wird sie Dir nutzen und Deine Kenntnisse erweitern.
Viel Erfolg dabei,
reverend
|
|
|
| |
|
> Ok. Du wirst bei den meisten Aufgaben erst einmal die
> Grunddefinitionen benötigen. Was ist eine Gruppe, wann ist
> sie multiplikativ (welche Eigenschaften hat also die
> Verknüpfung "Multiplikation"?), was ist ein neutrales
> Element bezüglich der Multiplikation, wofür steht die
> Schreibweise [mm]a^{-1}?[/mm]
1) Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung.
Hier ist die Verknüpfung die Multiplikation (multiplikative Gruppe)
Also Besitzt gelten für die Gruppe folgende Gesetze:
Assoziativgesetz a*(b*c)=(a*b)*c
Kommunikativgesetz a*b=b*a
Distributivgesetz a*(b+c) = a*b +a*c
die Gruppe besitzt ein neutrales Element hier bezeichnet als [mm] e:=a^0
[/mm]
Die Gruppe Besitzt ein Inverses Element hier [mm] a^m
[/mm]
> Du kannst beide Aufgaben lösen, indem Du [mm]a^k[/mm] in k Faktoren
> auseinanderziehst.
da k [mm] \in \IZ [/mm] kann ich sagen k=a+b (oder eben m+n) sehe ich das richtig?
Hier habe ich also bereits [mm] a^k=a^{m+n}
[/mm]
> Die erste Aufgabe braucht man aber eigentlich nicht auf
> [mm]m*n=n*m[/mm] zurückgreifen muss. Wenn das allgemein für jedes
> m,n gilt, dann gilt auch p*q=q*p für jedes p,q. Es genügt
> also, das Assoziativgesetz anzuwenden.
Dieses besteht ja, da es sich um eine multiplikative Gruppe handelt.
also ist auch [mm] a^m*a^n=a^n*a^m [/mm] klar.
Aber wie komme ich auf [mm] a^{m+n}=a^m*a^n?
[/mm]
Überlegung:
[mm] a^m*a^n=a^{m}*a^{n-1}*a=a^{m}*a^{n-1}*a
[/mm]
kann ich nun behaupten da [mm] a^n:=a^{n-1}*a [/mm]
[mm] \Rightarrow a^n*a=a^{n+1} [/mm] ?
Denn dann könnte ich auch sagen
[mm] a^m*a^n=a^{m}*a^{n-1}*a=a^{m+n-1+1}=a^{m+n}
[/mm]
> Viel Erfolg dabei,
> reverend
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > Ok. Du wirst bei den meisten Aufgaben erst einmal die
> > Grunddefinitionen benötigen. Was ist eine Gruppe, wann ist
> > sie multiplikativ (welche Eigenschaften hat also die
> > Verknüpfung "Multiplikation"?), was ist ein neutrales
> > Element bezüglich der Multiplikation, wofür steht die
> > Schreibweise [mm]a^{-1}?[/mm]
>
> 1) Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung.
> Hier ist die Verknüpfung die Multiplikation
> (multiplikative Gruppe)
> Also Besitzt gelten für die Gruppe folgende Gesetze:
> Assoziativgesetz a*(b*c)=(a*b)*c
> Kommunikativgesetz a*b=b*a
> Distributivgesetz a*(b+c) = a*b +a*c
> die Gruppe besitzt ein neutrales Element hier bezeichnet
> als [mm]e:=a^0[/mm]
> Die Gruppe Besitzt ein Inverses Element hier [mm]a^m[/mm]
Fast alles gut.
Das mit dem inversen Element ist ein bisschen verzwickter. Ist denn Division definiert? Außerdem kann nicht die Gruppe ein inverses Element haben (genannt: Terminator, oder vielleicht nur Neutralisator?), sondern die Frage ist, ob es zu jedem Element ein inverses Element gibt.
> > Du kannst beide Aufgaben lösen, indem Du [mm]a^k[/mm] in k Faktoren
> > auseinanderziehst.
> da k [mm]\in \IZ[/mm] kann ich sagen k=a+b (oder eben m+n) sehe ich
> das richtig?
Ja.
> Hier habe ich also bereits [mm]a^k=a^{m+n}[/mm]
>
> > Die erste Aufgabe braucht man aber eigentlich nicht auf
> > [mm]m*n=n*m[/mm] zurückgreifen muss. Wenn das allgemein für jedes
> > m,n gilt, dann gilt auch p*q=q*p für jedes p,q. Es genügt
> > also, das Assoziativgesetz anzuwenden.
>
> Dieses besteht ja, da es sich um eine multiplikative Gruppe
> handelt.
> also ist auch [mm]a^m*a^n=a^n*a^m[/mm] klar.
Genau.
> Aber wie komme ich auf [mm]a^{m+n}=a^m*a^n?[/mm]
>
> Überlegung:
> [mm]a^m*a^n=a^{m}*a^{n-1}*a=a^{m}*a^{n-1}*a[/mm]
>
> kann ich nun behaupten da [mm]a^n:=a^{n-1}*a[/mm]
> [mm]\Rightarrow a^n*a=a^{n+1}[/mm] ?
> Denn dann könnte ich auch sagen
> [mm]a^m*a^n=a^{m}*a^{n-1}*a=a^{m+n-1+1}=a^{m+n}[/mm]
Das verstehe ich noch nicht ganz, vielleicht ist es ja auch nur etwas kraus aufgeschrieben. Ist das der Versuch einer Induktion über n? Das wäre ok, müsste aber noch klarer notiert werden.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Und noch mal Hallo :)
> Das mit dem inversen Element ist ein bisschen verzwickter.
> Ist denn Division definiert? Außerdem kann nicht die
> Gruppe ein inverses Element haben (genannt: Terminator,
> oder vielleicht nur Neutralisator?), sondern die Frage ist,
> ob es zu jedem Element ein inverses Element gibt.
Du hast natürlich recht, hier gibt es nicht ein Inverses Element. Aber es gibt inverse Elemente. So ist [mm] a^m [/mm] ja definiert als [mm] (a^{-m})^{-1}
[/mm]
Was ja eigentlich nur bedeutet, dass [mm] a^m [/mm] das inverse von [mm] a^{-m} [/mm] ist, und da m<0 ist -m>0 -> also eine Positive Zahl. Das bedeutet ja eigentlich, dass [mm] a^m [/mm] das inverse Element von [mm] a^n [/mm] (n=-m) ist.
Aber das hat eigentlich gerade gar nichts mit meiner Lösung zu tun.
> > [mm]a^m*a^n=a^{m}*a^{n-1}*a=a^{m+n-1+1}=a^{m+n}[/mm]
>
> Das verstehe ich noch nicht ganz, vielleicht ist es ja auch
> nur etwas kraus aufgeschrieben. Ist das der Versuch einer
> Induktion über n? Das wäre ok, müsste aber noch klarer
> notiert werden.
Ich hatte das ein wenig simpler gemeint. Auch irgendwie Induktion aber dann doch wieder nicht so richtig.
Also Überlegung: [mm] a^n=a^{n-1}*a
[/mm]
[mm] \Rightarrow a^n=\underbrace{a*a}_{n-mal}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a^m=(a^{-m})^{-1} [/mm]
da "-m" eine Positive Zahl ist
[mm] \Rightarrow a^m={\underbrace{a*a}_{-m-mal}}^-1=\bruch{1}{{\underbrace{a*a}_{-m-mal}}}=\bruch{1}{a^{-m}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a^m*a^n=({\underbrace{a*a}_{-m-mal}}^-1)\underbrace{a*a}_{n-mal}=\bruch{\underbrace{a*a}_{n-mal}}{a^{-m}}=\bruch{a^n}{a^{-m}}
[/mm]
Nun kann gekürzt werden
[mm] \Rightarrow \bruch{\underbrace{a*a}_{n-mal}}{\underbrace{a*a}_{-m-mal}} =a^{m+n}
[/mm]
Kann man das so schreiben? Oder ist das zu abstrakt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Di 02.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu deinem ersten Versuch zu den Gruppeneigenschaften:
Da hast du eigentlich schon Körperaxiome hingeschrieben!
es sind viel weniger Axiome.
Wenn du als Verknüpfungszeichen * verwendest nur
Assotiativgesetz, und Existenz eines Neutralen Elementes, und Existenz von Inversen zu jedem Elemnt!
(das Kommutativgesetz ist nicht Teil der Gruppenaxiome, es gibt aber sehr viele kommutative Gruppen
Du darfst das Malzeichen nicht einfach als das mal der reellen Zahlen sehen, und deshalb denken, die Potenzgesetze gelten von allein!
Wenn die Gruppenelemente z. Bsp Drehungen sind, heisst wenn a ne Drehung um
30° ist [mm] a^2 [/mm] drehen um 30, nochmal um 30 also ist [mm] a^2 [/mm] die Drehung um 60° [mm] a^5 [/mm] nachdem du das Gesetz gezeigt hast die Drehung um 300° und [mm] a^5 [/mm] ist deshalb das Inverse zu a, denn [mm] a^5*a [/mm] ist die Drehung um 360° also keine Drehung! also das neutrale element.
Du musst also wirklich von der Def ausgehen. Und [mm] a^{-m} [/mm] ist doch gar nicht definiert! (allerdings schreibt man manchmal statt inv(a) auch [mm] a^{-1}
[/mm]
Aber du sollst ja nicht beweisen, dass was ne Gruppe ist, sondern WENN in einer gegebenen Gruppe die Hochschreibweise so wie gegeben eingeführt wird, dass dann wiedr die dir von den rellen Zahlen bekannten Rechenregeln gelten.
Du musst also wirklich mit der Def. arbeiten und kannst nicht mit den negativen - gar nicht definierten- Potenzen arbeiten.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> zu deinem ersten Versuch zu den Gruppeneigenschaften:
> Da hast du eigentlich schon Körperaxiome hingeschrieben!
> es sind viel weniger Axiome.
> Wenn du als Verknüpfungszeichen * verwendest nur
> Assotiativgesetz, und Existenz eines Neutralen Elementes,
> und Existenz von Inversen zu jedem Elemnt!
> (das Kommutativgesetz ist nicht Teil der Gruppenaxiome, es
> gibt aber sehr viele kommutative Gruppen
Stimmt, habe mich dabei geirrt. Danke für den Hinweis. Ich muss dies wohl auch noch zeigen :-/
Mit meinem Bruch der letzten Antwort könnte ich dies, aber das scheint wohl falsch zu sein.
> Du darfst das Malzeichen nicht einfach als das mal der
> reellen Zahlen sehen, und deshalb denken, die Potenzgesetze
> gelten von allein!
> Wenn die Gruppenelemente z. Bsp Drehungen sind, heisst
> wenn a ne Drehung um
> 30° ist [mm]a^2[/mm] drehen um 30, nochmal um 30 also ist [mm]a^2[/mm] die
> Drehung um 60° [mm]a^5[/mm] nachdem du das Gesetz gezeigt hast die
> Drehung um 300° und [mm]a^5[/mm] ist deshalb das Inverse zu a, denn
> [mm]a^5*a[/mm] ist die Drehung um 360° also keine Drehung! also das
> neutrale element.
> Du musst also wirklich von der Def ausgehen. Und [mm]a^{-m}[/mm]
> ist doch gar nicht definiert! (allerdings schreibt man
> manchmal statt inv(a) auch [mm]a^{-1}[/mm]
Ich bin verwirrt. Ich verwende doch gar nicht [mm] a^{-m} [/mm] (oder doch?) sondern lediglich -m (dies verwendet ja auch die Aufgabenstellung um aus der negativen Zahl m eine positive zu machen. Darf ich dies auch nicht?
> Aber du sollst ja nicht beweisen, dass was ne Gruppe ist,
> sondern WENN in einer gegebenen Gruppe die
> Hochschreibweise so wie gegeben eingeführt wird, dass dann
> wiedr die dir von den rellen Zahlen bekannten Rechenregeln
> gelten.
> Du musst also wirklich mit der Def. arbeiten und kannst
> nicht mit den negativen - gar nicht definierten- Potenzen
> arbeiten.
Ich dachte das mache ich, weil die def von [mm] a^n [/mm] = [mm] a^{n-1}*a [/mm] und demnach ja [mm] a^n=a^{n-1-1}*a*a=\underbrace{a*a}_{n-mal}
[/mm]
Ich weiß nicht, wie ich sonst etwas beweisen soll. Bin schon total frustriert von diesem Übungsblatt und dies ist gerade einmal die Aufgabe 1a. :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Di 02.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine a*a*a n mal schreibt nur unzulässig die Definition [mm] a^n:=a^{n-^}*a [/mm] um. richtig kannst du daraus folgern [mm] a^{n+1}=a^n*a
[/mm]
jetzt kommst du da die Definition rekursiv ist für [mm] a^n*a^m=a^{n+m} [/mm] nicht herum.
Die Induktion läuft über m, n bleibt fest. erstmal für positive n,m
1. m=o
[mm] a^n*a^0=a^{n}*e=a^n
[/mm]
Induktionsannahme: es gilt für [mm] a^n*a^{m-1}=a^{n+m-1}
[/mm]
dann gilt es auch für m
Der Schritt ist wirklich einfach . den machst du!
bisher haben wir nur für pos, n,m gezeigt.
jetzt für negative
n,m>0 -m<0
Beh [mm] a^n*a^{-m}=a^{n-m} [/mm]
[mm] a^n*a^{-m}=a^{n-m}| *a^m [/mm]
[mm] a^n*a^-m=a^{n-m}| *a^m [/mm] <=>
[mm] a^n*a^-m*a^m= a^{n-m+m} [/mm] <=>
[mm] a^n*e=a^n [/mm] <=>
[mm] a^n=a^n
[/mm]
alle Umformungen kann man zurückverfolgen, du darfst dabei nicht dividieren, weil das nich definiert ist, sondern immer mit dem Inversen mult,
Ists jetzt klarer?
|
|
|
| |
|
> Ists jetzt klarer?
fast.
nur noch eins.
> bisher haben wir nur für pos, n,m gezeigt.
> jetzt für negative
> n,m>0 -m<0
laut Aufgabenstellung ist doch immer m<0 und n>0 oder verstehe ich hier etwas komplett falsch?
m ist also immer negativ bzw -m immer positiv oder nicht?
Danke aber schon bis hier her für deine Hilfe
|
|
|
| |
|
Hallo Nadelspitze,
> > bisher haben wir nur für pos, n,m gezeigt.
> > jetzt für negative
> > n,m>0 -m<0
>
> laut Aufgabenstellung ist doch immer m<0 und n>0 oder
> verstehe ich hier etwas komplett falsch?
> m ist also immer negativ bzw -m immer positiv oder nicht?
Ja, so steht es in der Aufgabe. Was heißt das für die Inversen?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
[mm] a^m [/mm] das inverse von [mm] a^n [/mm] und anders herum
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Mi 03.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]a^m[/mm] das inverse von [mm]a^n[/mm] und anders herum
Nein, da hast Du etwas falsch verstanden ! Oben wurde für m<0 definiert:
[mm] $a^m:= (a^{-m})^{-1}$
[/mm]
Dann ist
[mm] (a^m)^{-1}= a^{-m}$
[/mm]
FRED
|
|
|
|
