Definition von Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Jemand hat sich die Definition von Stetigkeit nicht genau gemerkt und macht folgende Versuche. Sind sie sinnvoll? Begründen Sie ihre Antwort!
(a) [mm]\forall\varepsilon >0 \forall\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
(b) [mm]\forall\varepsilon >0 \exists\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\varepsilon\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\delta[/mm]
(c) [mm]\exists\varepsilon >0 \forall\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
(d) [mm]\forall\delta >0 \exists\varepsilon >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\varepsilon\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\delta[/mm] |
Ich habe irgendwie ein Problem, wie ich anfangen soll. Stetigkeit ist ja nur irgendeine Definition. Ich kann zwar überprüfen, ob eine der Definitionen von meiner Definition abweicht, aber damit wüsste ich ja nicht, ob die Definition sinnvoll oder nicht ist, da ich nicht weiß, was der Ersteller einer anderen Definition damit bewirken wollte.
Das einfachste ist Fall (d). Einfach nur [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $\delta$ [/mm] gegenüber der "Normaldefinition" vertauscht. Wie man die Variablen nennt sollte ja wirklich keinen Einfluss haben. Aber wie "sinnvoll" ist das?
Beim Rest macht mir das [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Probleme. Aus etwas falschem kann ich alles mögliche folgern, also wenn [mm] $|x-x_0|>\delta$, [/mm] was genau soll das bewirken?
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Hallo,
> Jemand hat sich die Definition von Stetigkeit nicht genau
> gemerkt und macht folgende Versuche. Sind sie sinnvoll?
> Begründen Sie ihre Antwort!
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> (a) [mm]\forall\varepsilon >0 \forall\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
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> (b) [mm]\forall\varepsilon >0 \exists\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\varepsilon\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\delta[/mm]
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> (c) [mm]\exists\varepsilon >0 \forall\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
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> (d) [mm]\forall\delta >0 \exists\varepsilon >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\varepsilon\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\delta[/mm]
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> Ich habe irgendwie ein Problem, wie ich anfangen soll.
> Stetigkeit ist ja nur irgendeine Definition.
Was sagt die Definition denn? Welche Idee bzw welches Konzept liegt dieser Definition denn zu Grunde?
Definition:
Die auf $ X $ definierte Funktion $f $ ist genau dann in $ [mm] \xi$ [/mm] stetig, wenn es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0 $ ein [mm] $\delta [/mm] = [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] > 0 $ gibt, so dass
für alle $ \ x [mm] \in [/mm] X\ $ mit $\ [mm] \vert [/mm] x - [mm] \xi \vert [/mm] < [mm] \delta\ [/mm] $ immer $ [mm] \vert [/mm] f(x) - [mm] f(\xi) \vert [/mm] < [mm] \varepsilon\ [/mm] $ ausfällt
Das heißt:
Ist die Funktion $ f $ im Punkt $ [mm] \xi \in [/mm] X $ stetig, so kann ich dir zu jedem vorgegebenen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ finden (das [mm] $\delta$ [/mm] hängt bei punktweiser Stetigkeit von [mm] $\varepsilon$ [/mm] ab, also [mm] $\delta [/mm] = [mm] \delta(\varepsilon)$), [/mm] so dass aus
$\ [mm] \vert [/mm] x - [mm] \xi \vert [/mm] < [mm] \delta\ [/mm] $
unmittelbar folgt, dass
$ [mm] \vert [/mm] f(x) - [mm] f(\xi) \vert [/mm] < [mm] \varepsilon\ [/mm] $ gilt.
Anders ausgedrückt: Die Funktionswerte von $ f $ bleiben stets innerhalb der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $\xi$, [/mm] solange nur die Urbilder von $ f $ innerhalb einer [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von $ [mm] \xi$ [/mm] bleiben. Etwas anschaulicher: Die Funktionswerte unterliegen keinen nennenswerten Veränderungen bzw "Sprüngen", solange die Urbilder keinen nennenswerten Änderungen oder "Sprüngen" unterliegen.
Und die wesentliche Eigenschaft der Definition von Stetigkeit ist nun, dass das für alle $ [mm] \varepsilon [/mm] >0$ gilt.
Andernfalls gäbe es mindestens ein [mm] "Ausnahme"-$\varepsilon_0$, [/mm] so dass zwar
$\ [mm] \vert [/mm] x - [mm] \xi \vert [/mm] < [mm] \delta(\varepsilon_0) [/mm] $
aber
$ [mm] \vert [/mm] f(x) - [mm] f(\xi) \vert [/mm] > [mm] \varepsilon_0\ [/mm] $ gilt.
Genau das passiert, wenn die Funktion $ f $ nicht stetig im Punkt [mm] $\xi$ [/mm] ist.
> Ich kann zwar
> überprüfen, ob eine der Definitionen von meiner
> Definition abweicht, aber damit wüsste ich ja nicht, ob
> die Definition sinnvoll oder nicht ist, da ich nicht weiß,
> was der Ersteller einer anderen Definition damit bewirken
> wollte.
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> Das einfachste ist Fall (d). Einfach nur [mm]\varepsilon[/mm] und
> [mm]\delta[/mm] gegenüber der "Normaldefinition" vertauscht. Wie
> man die Variablen nennt sollte ja wirklich keinen Einfluss
> haben. Aber wie "sinnvoll" ist das?
>
> Beim Rest macht mir das [mm]\Rightarrow[/mm] Probleme. Aus etwas
> falschem kann ich alles mögliche folgern, also wenn
> [mm]|x-x_0|>\delta[/mm], was genau soll das bewirken?
Überlege nun, ob die obigen Definitionen Sinn ergeben und argumentiere.
LG,
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Do 07.12.2017 | | Autor: | a3bas |
So ein Quatsch, die Stetigkeit ist nicht nur irgendeine Definition sondern ergibt sich als direkte Fortsetzung des Konvergenzbegriffes.
Mach dir nochmal klar was Stetigkeit bedeutet, und nicht nur die Quantoren. Man kann nicht einfach jeden Unsinn definieren und meinen, dass es dann Sinn macht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Do 07.12.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Jemand hat sich die Definition von Stetigkeit nicht genau
> gemerkt und macht folgende Versuche. Sind sie sinnvoll?
> Begründen Sie ihre Antwort!
>
> (a) [mm]\forall\varepsilon >0 \forall\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
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> (b) [mm]\forall\varepsilon >0 \exists\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\varepsilon\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\delta[/mm]
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> (c) [mm]\exists\varepsilon >0 \forall\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
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> (d) [mm]\forall\delta >0 \exists\varepsilon >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\varepsilon\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\delta[/mm]
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> Das einfachste ist Fall (d). Einfach nur [mm]\varepsilon[/mm] und
> [mm]\delta[/mm] gegenüber der "Normaldefinition" vertauscht.
Nein, da hast du nicht genau genug gelesen. Der Betrag der Differenz zwischen x und [mm] x_0 [/mm] liegt hier auch innerhalb einer Epsilon-Umgebung.
Sorry, da habe ich nicht genau genug gelesen.
(Und lass dich durch die unqualifizierte Einlassung unseres neuesten Quatschkopfs nicht beirren).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Do 07.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> Jemand hat sich die Definition von Stetigkeit nicht genau
> gemerkt und macht folgende Versuche. Sind sie sinnvoll?
> Begründen Sie ihre Antwort!
>
> (a) [mm]\forall\varepsilon >0 \forall\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
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> (b) [mm]\forall\varepsilon >0 \exists\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\varepsilon\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\delta[/mm]
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> (c) [mm]\exists\varepsilon >0 \forall\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
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> (d) [mm]\forall\delta >0 \exists\varepsilon >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\varepsilon\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\delta[/mm]
>
> Ich habe irgendwie ein Problem, wie ich anfangen soll.
> Stetigkeit ist ja nur irgendeine Definition. Ich kann zwar
> überprüfen, ob eine der Definitionen von meiner
> Definition abweicht, aber damit wüsste ich ja nicht, ob
> die Definition sinnvoll oder nicht ist, da ich nicht weiß,
> was der Ersteller einer anderen Definition damit bewirken
> wollte.
>
> Das einfachste ist Fall (d). Einfach nur [mm]\varepsilon[/mm] und
> [mm]\delta[/mm] gegenüber der "Normaldefinition" vertauscht. Wie
> man die Variablen nennt sollte ja wirklich keinen Einfluss
> haben.
Ja, da hast Du recht und ich muss Diophant widersprechen (oder ich hab Tomaten auf den Augen).
> Aber wie "sinnvoll" ist das?
>
> Beim Rest macht mir das [mm]\Rightarrow[/mm] Probleme. Aus etwas
> falschem kann ich alles mögliche folgern, also wenn
> [mm]|x-x_0|>\delta[/mm], was genau soll das bewirken?
Über "sinnvoll" kann man streiten....
Schauen wir uns mal (a) an und geben ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 vor.
Ist nun x [mm] \in [/mm] X , so sei [mm] a:=|x-x_0| [/mm] und [mm] \delta:=a+1. [/mm] Dann ist [mm] \delta [/mm] >0 und [mm] |x-x_0|< \delta.
[/mm]
Wegen (a) folgt dann [mm] |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon.
[/mm]
Fazit: für jedes(!) [mm] \varepsilon [/mm] >0 und für jedes(!) x [mm] \in [/mm] X gilt [mm] |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon.
[/mm]
Dann ist aber [mm] f(x)=f(x_0) [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] X. f ist also konstant.
Damit ist gezeigt: aus (a) folgt: f ist konstant
Ist umgekehrt f konstant, so gilt natürlich (a).
Jetzt kommt Freds Definition:
f heißt konstant auf X , wenn (a) gilt.
Sinnvoll ? Ich denke jeder würde nun sagen: der Fred hat einen Sprung in der Schüssel.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:02 Do 07.12.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo Fred,
> Ja, da hast Du recht und ich muss Diophant widersprechen
> (oder ich hab Tomaten auf den Augen).
du hast Recht. Die Tomaten sind meine. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Do 07.12.2017 | | Autor: | rabilein1 |
> Hallo Fred,
>
> > Ja, da hast Du recht und ich muss Diophant widersprechen (oder ich hab Tomaten auf den Augen).
>
> du hast Recht. Die Tomaten sind meine.
>
>
> Gruß, Diophant
Hilft es einem Fragesteller eigentlich wirklich weiter, wenn sich zwei (Ober-)Mathematiker darüber streiten, wer die dicksten Tomaten und den längsten Schüsselsprung hat?
Es ist doch nichts Ehrenrühriges, wenn man sich mal irrt. Hauptsache, am Ende steht die richtige Lösung da.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Do 07.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Fred,
> >
> > > Ja, da hast Du recht und ich muss Diophant widersprechen
> (oder ich hab Tomaten auf den Augen).
> >
> > du hast Recht. Die Tomaten sind meine.
> >
> >
> > Gruß, Diophant
>
>
> Hilft es einem Fragesteller eigentlich wirklich weiter,
> wenn sich zwei (Ober-)Mathematiker darüber streiten, wer
> die dicksten Tomaten und den längsten Schüsselsprung
> hat?
Rabilein, was soll das ??
1. nenne uns nicht (Ober-)Mathematiker. Das ist doch wie im Kindergarten !
2. Diophant und ich haben uns nicht gestritten.
3. Der Fragesteller hat zu (d) gesagt, dass dies die Definition der Stetigkeit sei. Diophant hat dem widersprochen. Ich habe daraufhin Diophant widersprochen und dieser hat seinen Irrtum eingesehen.
Nun stell Dir mal vor, Diophant hätte seine Irrtum nicht eingesehen oder nix dazu gesagt und Du wärest der Fragesteller. Dann hängst Du doch in der Luft ! Wer hat nun recht ? Der Fred oder der Diophant ? Nix genaues weiss man nicht.
>
> Es ist doch nichts Ehrenrühriges, wenn man sich mal irrt.
Und, was hast Du zu meckern ? Diophant hat doch zugegeben, dass er sich geirrt hat.
Vielleicht gibt mir jetzt Angela auch was auf die Mütze:
Rabilein, musst Du wirklich zu allem Deinen unqualifizierten Senf dazugeben ? Hast Du Langeweile ? Wenn ja, so gehe wirklich Tauben füttern im Park.
> Hauptsache, am Ende steht die richtige Lösung da.
Genau das ist doch eingetreten !
Ich habe fertig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Do 07.12.2017 | | Autor: | rabilein1 |
Ich hatte das schon alles richtig verstanden, auch dass ihr euch nicht gestritten hattet (das würdest du und Diophant doch niemals tun,,,). Ich fand das einfach nur witzig mit den Tomaten und dem Sprung in der Schüssel (beides hattest du doch ins Spiel gebracht)
> Rabilein, musst Du wirklich zu allem Deinen unqualifizierten Senf dazugeben? Hast Du Langeweile ?
> Wenn ja, so gehe wirklich Tauben füttern im Park.
Normalerweise verstößt so ein Satz zwar gegen die Forenregeln (und die guten Sitten), aber ich sehe so etwas eher mit Humor, den einige Ober-Mathematiker hier nur bedingt zu haben scheinen.
Natürlich weiß ich auch, dass es im Gegensatz zum Oberstudienrat keinen Obermathematiker gibt, aber eigentlich ist es eine Auszeichnung, so genannt zu werden.
Weil: Eigentlich sollte der Matheraum doch ein Forum zum Geben und Nehmen sein. Und mir fiel schon ganz am Anfang auf, dass du immer nur antwortest, aber selber kaum Fragen stellst. Und ich fragte mich: Warum weiß Fred alles und fragt nie was. Naja, und dann kam mir eben der "Obermathematiker" in den Sinn...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Do 07.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> Ich hatte das schon alles richtig verstanden, auch dass ihr
> euch nicht gestritten hattet (das würdest du und Diophant
> doch niemals tun,,,). Ich fand das einfach nur witzig mit
> den Tomaten und dem Sprung in der Schüssel (beides hattest
> du doch ins Spiel gebracht)
>
>
> > Rabilein, musst Du wirklich zu allem Deinen
> unqualifizierten Senf dazugeben? Hast Du Langeweile ?
> > Wenn ja, so gehe wirklich Tauben füttern im Park.
>
> Normalerweise verstößt so ein Satz zwar gegen die
> Forenregeln (und die guten Sitten),
das ist mir völlig wurscht. wer wirft mich aus dem forum ?
> aber ich sehe so etwas
> eher mit Humor, den einige Ober-Mathematiker hier nur
> bedingt zu haben scheinen.
>
ich hab sehr viel Humor, etwas subtiler als deiner. komm mal in meine
Vorlesungen, meine Studenten lernen bei mir richtig ordentliche Mathematik und haben bei
mir auch viel zu lachen.
> Natürlich weiß ich auch, dass es im Gegensatz zum
> Oberstudienrat keinen Obermathematiker gibt, aber
> eigentlich ist es eine Auszeichnung, so genannt zu werden.
> Weil: Eigentlich sollte der Matheraum doch ein Forum zum
> Geben und Nehmen sein. Und mir fiel schon ganz am Anfang
> auf, dass du immer nur antwortest, aber selber kaum Fragen
> stellst. Und ich fragte mich: Warum weiß Fred alles und
> fragt nie was.
weil Fred ein schlaues Kerlchen ist ?
> Naja, und dann kam mir eben der
> "Obermathematiker" in den Sinn...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Do 07.12.2017 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Bemerkung: überlege Dir, dass gilt:
(c) [mm] \gdw [/mm] f ist auf X beschränkt.
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> Jemand hat sich die Definition von Stetigkeit nicht genau
> gemerkt und macht folgende Versuche. Sind sie sinnvoll?
> Begründen Sie ihre Antwort!
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> (a) [mm]\forall\varepsilon >0 \forall\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
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> (b) [mm]\forall\varepsilon >0 \exists\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\varepsilon\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\delta[/mm]
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> (c) [mm]\exists\varepsilon >0 \forall\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
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> (d) [mm]\forall\delta >0 \exists\varepsilon >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\varepsilon\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\delta[/mm]
Wenn du eine Vorstellung von dem entwickeln kannst, was dort jeweils steht, kannst du die falschen Aussagen jeweils durch ein Gegenbeispiel entlarven. Dass d) richtig ist, hast du schon begründet, die anderen sind alle falsch.
(a) [mm]\forall\varepsilon >0 \forall\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
Wähle f(x)=x. Dass f überall stetig ist, müsste nun zunächst mit der richtigen Definition bewiesen werden, aber das sparen wir uns.
Da die obige Beziehung für alle (entsprechenden) [mm] \delta [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] und x gelten muss, wählen wir entsprechend aus:
[mm] x_0=0, \varepsilon=1, \delta=3, [/mm] x=2.
Dann ist für dieses [mm] \delta=3>0 [/mm] und dieses [mm] \varepsilon=1 [/mm] der Ausdruck [mm] |x-x_0|=2<3=\delta, [/mm] aber [mm] |f(x)-f(x_0)|=2>1=\varepsilon. [/mm] Da die Inklusion für diese Werte nun nicht gilt, wäre f in [mm] x_0=0 [/mm] nicht stetig, was aber falsch ist. Somit: Falsche Definition.
(b) [mm]\forall\varepsilon >0 \exists\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\varepsilon\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\delta[/mm]
Wähle Nun eine unstetige Funktion: f(x)=2, falls x>0 und f(x)=0, falls x [mm] \le [/mm] 0.
Wähle: [mm] x_0=0.
[/mm]
Dann ist für alle x aus dem Intervall [mm] ]-\varepsilon/2|\varepsilon/2[ [/mm] der Ausdruck [mm] |x-x_0|=|x-0|=|x|\le \varepsilon/2<\varepsilon. [/mm] Nun wählen wir dazu [mm] \delta=10, [/mm] und damit wird [mm] |f(x)-f(x_0)|=|f(x)-0|=|f(x)|<10=\delta. [/mm] Damit wäre f stetig in [mm] x_0=0, [/mm] was aber falsch ist. Somit: Falsche Definition.
>(c) [mm]\exists\varepsilon >0 \forall\delta >0 \forall x \in X: |x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
Wähle wieder f(x)=x und [mm] x_0=0. [/mm] Nun muss es ein [mm] \varepsilon [/mm] geben mit obiger Eigenschaft geben. Nehmen wir an, wir hätten es gefunden. Dann muss das Weitere für alle [mm] \delta>0, [/mm] also insbesondere auch für [mm] \delta [/mm] = [mm] 3\varepsilon [/mm] gelten: [mm] \forall [/mm] x mit [mm] |x-x_0|= |x|<3\varepsilon=\delta, [/mm] also insbesondere für [mm] x=2\varepsilon: |f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|=2\varepsilon<\varepsilon, [/mm] was aber nicht stimmt. Daher müsste f unstetig in [mm] x_0=0 [/mm] sein, was wieder falsch ist. Somit falsche Definition.
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