Definition des Granzwerts < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit der Definition des Grenzwerts, dass die Folge [mm] a_{n}=(1-1/n^{2})^n [/mm] gegen a=1 konvergiert. |
Hallo!
Ich weiß, dass die Definition des Grenzwerts folgendermaßen lautet: Für alle ε>0 existiert ein N, so dass für alle n>N gilt: |an-a|<ε.
Aber ich weiß nicht genau, wie ich N bestimmen soll, so dass dies gilt. Könnt ihr mir vielleicht helfen? Wäre echt super!
LG Leni
|
|
| |
|
> Zeigen Sie mit der Definition des Grenzwerts, dass die
> Folge [mm]a_{n}=(1-1/n^{2})^n[/mm] gegen a=1 konvergiert.
> Hallo!
>
> Ich weiß, dass die Definition des Grenzwerts folgendermaßen
> lautet: Für alle ε>0 existiert ein N, so dass für alle
> n>N gilt: |an-a|<ε.
> Aber ich weiß nicht genau, wie ich N bestimmen soll, so
> dass dies gilt.
Hallo,
daß Du die Definition aufschreiben kannst, ist ja schonmal Gold wert.
Starte so:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0, sei N>... (Das läßt Du zunächst offen. Die Lücke kannst Du später füllen.)
Es ist | [mm] a_n-a [/mm] | =| [mm] (1-1/n^{2})^n-1| [/mm] =....<....
Nun schätzt Du munter ab.
Dazu ist es sinnvoll, zu wissen, daß [mm] (1-1/n^{2})^n<1 [/mm] ist, und die bernoulli-Ungleichung zu kennen.
Wenn Du genügend abgeschätzt hast, wirst Du sehen, welches N paßt, das schreibst Du dann oben hin.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Angela!
Danke mal für deinen Tipp. Mit der Bernoulli-Ungleichung hab ich es auch schon versucht, komm aber nicht richtig weiter.
Es ist ja [mm] |(1-(1/n^2))^n-1| [/mm] > |1-(1/n)-1|, also
[mm] |(1-(1/n^2))^n-1| [/mm] > |-(1/n)|
Aber ich brauch ja eigentlich nach |an-a| ein "Kleinerzeichen", damit ich nachher sagen kann, dass es kleiner als E ist, oder?
LG Leni
|
|
|
| |
|
>
> Es ist ja [mm]|(1-(1/n^2))^n-1|[/mm] > |1-(1/n)-1|, also
> [mm]|(1-(1/n^2))^n-1|[/mm] > |-(1/n)|
Mit irgendwelchen Abschätzereien in Beträgen wäre ich immer sehr, sehr vorsichtig. (Die oben ist falsch. Du behauptest so etwas wie |5-7|>|3-7| was offensichtlich nicht stimmt.)
Aaaaaaber: wenn Du $ [mm] (1-1/n^{2})^n<1 [/mm] $ berücksichtigst, kannst Du die Betragsstriche in [mm] |(1-(1/n^2))^n-1| [/mm] ja ganz einfach loswerden.
[mm] |(1-(1/n^2))^n-1|=... [/mm] ?
Wenn Dir das gelungen ist, macht Dir Bernoulli keine Scherereinen mehr mit der Richtung der Abschätzung.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hi Angela!
Ist es dann richtig wenn ich sag, dass der Betrag dann als [mm] -(1-(1/n^2)^n)+1 [/mm] geschrieben werden kann, da [mm] 1-(1/n^2)-1 [/mm] ja negativ wird!?!?
Dann hätt ich gesagt:
[mm] -(1-(1/n^2)^n+1 [/mm] < (1/n) < (1/N) < E
Also müsste N> oder = (1/E) sein....
Strimmt das???
|
|
|
| |
|
>
> Also müsste N> oder = (1/E) sein....
>
> Strimmt das???
Genauso hatte ich das für Dich geplant!
Gruß v. Angela
|
|
|
|
