Definition der (Un-)Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Fr 11.05.2012 | | Autor: | anabiene |
| Aufgabe | hey ihr, ich hoffe ihr könnt mir helfen 
Sei ein punkt $ [mm] (x_0,f(x_0)) [/mm] $ einer funktion gegeben. |
Die definition von stetigkeit ist doch nichts anderes als dass man eine $ [mm] \varepsilon [/mm] $-umgebung um $ [mm] f(x_0) [/mm] $ vorgibt, also $ [mm] B_{\varepsilon}(f(x_0)) [/mm] $ bzw. $ [mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm] $ (ist ja das gleiche).
$ f_ $ ist ja dann stetig, wenn ein [mm] \delta [/mm] für eine $ [mm] \delta [/mm] $-umgebung um $ [mm] x_0 [/mm] $ gefunden werden kann ( also $ [mm] B_{\delta}(x_0) [/mm] $ bzw. $ [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] $ ), so dass $ [mm] \forall\ \chi \in B_{\delta}(x_0) [/mm] $ gilt $ [mm] f(\chi )\in B_{\varepsilon}(f(x_0)) [/mm] $.
Stimmt das so? Bittet sagt ja, ich hänge schon so lange an dieser definition...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Fr 11.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hey ihr, ich hoffe ihr könnt mir helfen
>
> Sei ein punkt [mm](x_0,f(x_0))[/mm] einer funktion gegeben.
> Die definition von stetigkeit ist doch nichts anderes als
> dass man eine [mm]\varepsilon [/mm]-umgebung um [mm]f(x_0)[/mm] vorgibt, also
> [mm]B_{\varepsilon}(f(x_0))[/mm] bzw. [mm]|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm] (ist
> ja das gleiche).
also das, was Du formal schreibst, ist was anderes als das, was Du aussagst:
Mal unabhängig davon, dass der Betrag nur in gewissen Räumen Sinn macht (in einem allgemeinen Sinn etwa in der Bedeutung einer Norm) - in einem relativ allgemeinen Sinn beschreibst Du halt "Abstände" durch eine Metrik.
Was Du eigentlich meintest ist eher das hier (beschreiben wir halt weiterhin erstmal Abstände momentan mal "betragsmäßig"):
[mm] $B_\varepsilon(f(x_0))$ [/mm] ist sowas wie die Menge aller [mm] $y\,$ [/mm] mit [mm] $|y-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$
[/mm]
Ist Dir klar, dass i.a. [mm] $\{f(x):\;\;|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon\} \not= \{y: |y-f(x_0)| < \varepsilon\}$ [/mm] gilt?
(Rechterhand steht die [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um [mm] $f(x_0)\,,$ [/mm] links davon deren Schnitt mit dem Bild von [mm] $f\,:$ $Bild(f):=\{f(x): x \in \text{Definitionsbereich von }f\}$)
[/mm]
> [mm]f_[/mm] ist ja dann stetig, wenn ein [mm]\delta[/mm] für eine [mm]\delta [/mm]-umgebung
> um [mm]x_0[/mm] gefunden werden kann
Das macht doch keinen Sinn: Du willst ein zu [mm] $\delta$ [/mm] passendes [mm] $\delta$ [/mm] finden?
> ( also [mm]B_{\delta}(x_0)[/mm] bzw.
> [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] ), so dass [mm]\forall\ \chi \in B_{\delta}(x_0)[/mm]
> gilt [mm]f(\chi )\in B_{\varepsilon}(f(x_0)) [/mm].
>
>
> Stimmt das so? Bittet sagt ja,
Ja... nein 
> ich hänge schon so lange an
> dieser definition...
Du gibst Dir Mühe, das ist erstmal das Wichtigste! Und Du hast auch Teile der Definition verstanden, aber noch nicht wirklich komplett diese Definition (oder zumindest hast Du einiges andernfalls sehr unglücklich formuliert!!), daher machen wir es nochmal:
Also die Logik ist nicht die, dass man zu (mindestens) EINER [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] des Funktionswertes (mindestens) EINE [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] um [mm] $x_0$ [/mm] findet, so dass...
Sondern die Stetigkeit besagt:
Wenn man sich IRGEND-EINE [mm] $\varepsilon$-Umgebung ($\varepsilon [/mm] > 0$) um den Funktionswert vorgibt, so muss es zu dieser mindestens eine [mm] $\delta$-Umgebung ($\delta [/mm] > 0$) um die betrachtete Stelle des Definitionsbereichs geben, so dass ...
Es ist wichtig, dass man halt zu JEDER Menge [mm] $B_\varepsilon(f(x_0))$ ($\varepsilon [/mm] > 0$) eine Menge [mm] $B_\delta(x_0)$ ($\delta=\delta_{\varepsilon,x_0} [/mm] > 0$) so findet, dass gilt:
[mm] $$\forall\ \chi \in B_{\delta}(x_0)\text{ gilt }f(\chi )\in B_{\varepsilon}(f(x_0))\,.$$
[/mm]
Beachte dabei auch, dass die [mm] $B_\varepsilon(f(x_0))$-Umgebung [/mm] sich im allgemeinen "auf eine andere Metrik bezieht" als [mm] $B_\delta(x_0)\,.$
[/mm]
Also Fazit:
Stetigkeit an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] einer Funktion [mm] $f\,$ [/mm] bedeutet:
Egal, welche [mm] $\overbrace{\varepsilon}^{>0}\text{-Umgebung}$ [/mm] man mir um [mm] $f(x_0)$ [/mm] vorgibt:
"Sei [mm] $B_\varepsilon(f(x_0))=\{y \in \text{Zielbereich von }f:\;\;|y-f(x_0)| < \varepsilon\}$ [/mm] für irgendein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ vorgegeben:..."
dann muss ich in der Lage sein, eine [mm] $\underbrace{\delta}_{>0}$-Umgebung [/mm] um [mm] $x_0$ [/mm] anzugeben
"dann kann man zeigen (dann ist zu zeigen): es gibt eine (von [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $B_\varepsilon(f(x_0))$-abhängige) $\delta$-Umgebung [/mm] um [mm] x_0: $B_\delta(x_0)=\{x \in \text{Definitionsbereich von }f:|x-x_0| < \delta\}$
[/mm]
so dass die Funktionswerte dieser [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] alle in die [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $f(x_0)$ [/mm] fallen:
[mm] $$\text{"} \forall\ \chi \in B_{\delta}(x_0)\text{ gilt }f(\chi )\in B_{\varepsilon}(f(x_0))\,.\text{"}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Sa 12.05.2012 | | Autor: | anabiene |
Hi Marcel! Vielen lieben Dank!
Bevor ich mir alles nochmal durchles (du hast dir ja so viel mühe gemacht mit mir!), mir ist das eine tatsächlich nicht klar:
$ [mm] \{f(x):\;\;|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon\} \not= \{y: |y-f(x_0)| < \varepsilon\} [/mm] $
Links in der nichtgleichung sind ja in der menge alle $ [mm] f(x)\in W_f\subset \IR [/mm] $, deren Abstand zu $ [mm] f(x_0) [/mm] $ kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist. Aber in der rechten menge... nein moment mal... ich hab hier ein bild gefunden: ![[]](/images/popup.gif) unstetige funktion
Die linke menge wäre hier doch einfach $ [mm] \{\ f(x_0)\ \} [/mm] $, oder? Weil sonst ja keine weiteren funktionswerte in der $ [mm] \varepsilon [/mm] $-umgebung sind (wenn man des rosa da als $ [mm] \varepsilon [/mm] $-umgebung sieht). Ahja ich versteh glaub. Die rechte menge wäre hier dann noch alle anderen zahlen, deren abstand zu $ [mm] f(x_0) [/mm] $ kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist.
hab ich das richtig verstanden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anabiene,
> Hi Marcel! Vielen lieben Dank!
>
> Bevor ich mir alles nochmal durchles (du hast dir ja so
> viel mühe gemacht mit mir!), mir ist das eine tatsächlich
> nicht klar:
>
> [mm]\{f(x):\;\;|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon\} \not= \{y: |y-f(x_0)| < \varepsilon\}[/mm]
>
> Links in der nichtgleichung sind ja in der menge alle
> [mm]f(x)\in W_f\subset \IR [/mm], deren Abstand zu [mm]f(x_0)[/mm] kleiner
> als [mm]\varepsilon[/mm] ist. Aber in der rechten menge... nein
> moment mal... ich hab hier ein bild gefunden:
> unstetige funktion
>
> Die linke menge wäre hier doch einfach [mm]\{\ f(x_0)\ \} [/mm],
> oder? Weil sonst ja keine weiteren funktionswerte in der
> [mm]\varepsilon [/mm]-umgebung sind (wenn man des rosa da als
> [mm]\varepsilon [/mm]-umgebung sieht).
ja ... allerdings wenn Du das so siehst, kann es in dem Bild nur so sein, dass Du speziell [mm] $x_0=0$ [/mm] betrachtest. Und Du musst auch aufpassen: Der rosa-Bereich ist "2-dimensional". Das kann nicht die Umgebung von [mm] $f(x_0)$ [/mm] sein. Was genau ist die Umgebung von [mm] $f(x_0)$?
[/mm]
Nunja: Schneide den rosa-Bereich mit der zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] parallele Geraden [mm] $x=x_0\,,$ [/mm] dann "siehst" Du eine entsprechende Teilmenge von [mm] $\IR\,.$
[/mm]
> Ahja ich versteh glaub. Die
> rechte menge wäre hier dann noch alle anderen zahlen,
> deren abstand zu [mm]f(x_0)[/mm] kleiner als [mm]\varepsilon[/mm] ist.
>
> hab ich das richtig verstanden?
Quasi schon - die rechte Menge wäre, wie gesagt, sozusagen "der Schnitt des rosa-Bereichs mit der oben angesprochenen Geraden [mm] $x=x_0\,.$"
[/mm]
Damit's mal ein wenig klarer wird, schreiben wir's mal auf:
Seien [mm] $(X,d)\,$ [/mm] und [mm] $(Y,e)\,$ [/mm] metrische Räume. Dann gilt mit
[mm] $$R:=\{y \in Y: e(y,f(x_0)) < \varepsilon\}=B_\varepsilon(f(x_0))$$
[/mm]
und
[mm] $$S:=\{f(x): e(f(x),f(x_0)) < \varepsilon:\;\;x \in X\}=B_\varepsilon(f(x_0)) \cap \underbrace{f(X)}_{=\{f(x): x \in X\}}$$
[/mm]
im allgemeinen $R [mm] \not=S$:
[/mm]
Wir betrachten [mm] $\text{sign}(\cdot)\,,$ [/mm] das ist eine Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $\text{sign}(0):=0$ [/mm] und [mm] $\text{sign}(x):=x/|x|$ [/mm] für $x [mm] \not=0\,.$
[/mm]
Ich bin jetzt auch ein wenig fies und sage sogar, ich betrachte [mm] $\text{sign}_{\IQ}(\cdot)\,,$ [/mm] die genauso definiert ist wie oben, ich betrachte sie halt nur mal als Funktion [mm] $\IR \to \IQ$ [/mm] (und ja: Ich schreibe [mm] $\IQ$ [/mm] an das Signum, obwohl ich den ZIELBEREICH zu [mm] $\IQ$ [/mm] abgeändert habe!), was geht, weil [mm] $\text{sign}(\IR)=\{-1,0,1\} \subseteq \IQ\,.$ $\IQ$ [/mm] versehe ich nun aber nicht mit einer anderen Metrik... mir geht's nur drum, dass Du gewisse Einflüsse etwa siehst.
Setze ich mal [mm] $\varepsilon=\sqrt{2}/2 \in \IR \setminus \IQ\,,$ [/mm] dann ist $0 < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] 1\,.$ [/mm] Es ist offensichtlich, dass dann gilt:
[mm] $$R:=B_{\sqrt{2}/2}(\text{sign}_{\IQ}(0))=\{q \in \IQ: |q-0| < \sqrt{2}/2\}\,,$$
[/mm]
(Aufgabe: Schreibe [mm] $B_{\sqrt{2}/2}(\text{sign}_{\IQ}(0))$ [/mm] als Schnitt eines (reellen) Intervalls mit [mm] $\IQ$!)
[/mm]
wobei [mm] $\text{sign}_{\IQ}(0)=0$ [/mm] zu beachten ist.
Nun ist
[mm] $$S:=\{\text{sign}_{\IQ}(x): |\text{sign}_{\IQ}(x)-0| < \varepsilon: \;\; x \in X\}=\{\underbrace{0}_{=\text{sign}_{\IQ}(x_0)}\}\,.$$
[/mm]
Was Du siehst:
[mm] $$B_\varepsilon(f(x_0)) \cap \underbrace{f(X)}_{=\{f(x): x \in X\}} \subseteq \{y \in Y: e(y,f(x_0)) < \varepsilon\}=B_\varepsilon(f(x_0))\,,$$
[/mm]
was natürlich eine Trivialität ist.
Dennoch:
Damit das ganze ein wenig klarer wird: Nehmen wir an, wir hätten eine Funktion [mm] $g\,$ [/mm] mit Zielbereich [mm] $\IR^2$ [/mm] - d.h. [mm] $g\,$ [/mm] nimmt nur Werte im [mm] $\IR^2$ [/mm] an. Ich habe mal ein Bild vorbereitet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe dort nicht den Definitionsbereich eingezeichnet, sondern nur ein [mm] $x_0$ [/mm] aus dem Definitionsbereich. Dieses wird vermittels [mm] $g\,$ [/mm] auf [mm] $g(x_0)$ [/mm] abgebildet.
Die hellblaue Fläche inklusive des dunkelblauen Randes sei nun [mm] $Bild(g)=\{g(x): x \in \text{Definitionsbereich von }g\}\,.$ [/mm] (Im allgemeinen muss [mm] $Bild(g)\,$ [/mm] nicht solch' eine schöne Form haben - ich habe das nur so skizziert, damit man bei der Skizze sich nicht zu stark ablenken läßt. [mm] $Bild(g)\,$ [/mm] könnte auch etwa eine total chaotische und unzusammenhängende Menge sein... aber egal...)
Der rote Kreis soll Radius [mm] $\varepsilon$ [/mm] und Mittelpunkt [mm] $g(x_0)$ [/mm] haben: Das sind also alle Punkte des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] die im Inneren dieser Kreisscheibe liegen (also nicht auf dem Rand der Kreisscheibe/der roten Kreislinie!), gehören zu [mm] $B_\varepsilon(f(x_0))\,.$
[/mm]
Und wenn Du nun schaust, wie die Menge [mm] $S:=\{g(x): \|g(x)-g(x_0)\| < \varepsilon:\;\;x \in \text{Definitionbereich von }g\}$ [/mm] aussieht [mm] ($\|.\|$ [/mm] bedeute die "übliche Norm" des [mm] $\IR^2$):
[/mm]
Siehst Du, dass da das Innere des Kreises mit der blauen Fläche geschnitten wird? Anders gesagt:
Um [mm] $S\,$ [/mm] zu erhalten, muss man "optisch" was aus dem inneren Kern der oben angesprochenen Kreisscheibe entfernen (sozusagen die weißen Anteile der oben angesprochenen Kreisscheibe müssen entfernt werden, um [mm] $S\,$ [/mm] zu erhalten). Und mathematisch ist das halt genau der obenstehende Schnitt:
[mm] $$\{g(x): \|g(x)-g(x_0)\| <\varepsilon:\;\; x \in X\}=\{g(x): x \in X \text{ UND }\|g(x)-g(x_0)\|< \varepsilon\}=\{g(x): x \in X\} \cap \{y \in \IR^2: \|y-g(x_0)\| < \varepsilon\}=g(X) \cap B_\varepsilon(g(x_0))\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Sa 12.05.2012 | | Autor: | anabiene |
hey! Ich denke das habe ich jetzt verstanden. Vielen Dank!
Ich hatte es tatsächlich z.t. sehr unglücklich formuliert. Was mir jetzt noch schwierigkeiten bereitet:
Wenn es eine funktion $ [mm] f:\underbrace{D}_{\subset \IR}\to \underbrace{W}_{\subset \IR} [/mm] $ ist, dann nimmt man ja als $ [mm] \varepsilon [/mm] $-umgebung von $ [mm] f(x_0) [/mm] $ bzw. als $ [mm] \delta [/mm] $-umgebung von $ [mm] x_0 [/mm] $ den abstand als betrag. Aber muss dafür nicht eigentlich eine euklidische norm gewissermaßen auf $ D $ bzw. $ W $ definiert sein?
Weil $ |... - ...| $ ist ja die euklidische norm im 1-dimensionalen. Also sind bei diesen funktionen die definitionsmenge und die wertemenge grundsätzlich normierte räume?
Bei funktionen mehrerer veränderlicher ist die stetigkeit ja fast gleich definiert. Nur da muss auf $ [mm] D\subset \IR^n [/mm] $ bzw. $ [mm] W\subset \IR^m [/mm] $ eine metrik definiert sein, oder? Sie müssen also metrische räume sein, oder? Sind dann bei allen funktionen
$ [mm] f:\underbrace{D}_{\subset \IR^n}\to \underbrace{W}_{\subset \IR^m} [/mm] $ die definitions- wertemenge grundsätzlich metrische räume?
Sonst könnte man ja keine stetigkeit untersuchen, oder?
Noch eine frage (tut mir leid): Wenn es jetzt heißt: Sei
[mm] f:\underbrace{D}_{\subset \IR^n}\to \underbrace{W}_{\subset \IR^m} [/mm] eine funktion, wobei $ D $ und $ W $ metrische räume sind. Ist das bei stetigkeit dann immer die euklidische metrik? Oder kann man auch z.b. die Manhattan-Metrik oder die Maximum-Metrik nehmen?
Und noch eine frage ( ![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]") ): ich bin grad auf dieses diagramm gestoßen:
"Hierarchie" ?
Was topologische und uniforme räume sind weiß ich nicht, aber was heißt das: "ein normierter Raum hat eine norm"? Der raum muss ja ein vektorraum sein, oder? Das heißt doch, dass alle vektoren des vektorraums den norm-axiomen genügen müssen, oder? Sind dann automatisch alle normen in dem vektorraum (euklidische, supremumsnorm,...) drin?
Und da steht noch "ein normierter raum ist ein metrischer raum". Heißt das, dass wenn man ein normierten raum hat, dieser raum dann gleichzeitig ein metrischer raum ist? Also seine elemente den metrik-axiomen genügen?
Was heißt "induziert" wie in "norm induziert metrik"?
Vielen Dnak für deine hilfe bisher!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anabiene,
Du hast da echt zu viele Fragen gestellt, die kann ich Dir nicht alle im einzeln beantworten, weil mir das zu mühselig ist. Ich mach's mal so, dass ich Dir das Wesentliche mal aufschreibe:
Zunächst eine Kleinigkeit: [mm] $|a-b|\,$ [/mm] ist nicht "die Norm" in [mm] $\IR\,.$ [/mm] Es ist schon der Betrag eine Norm in [mm] $\IR\,,$ [/mm] wenn nichts weiteres dabei steht, aber das heißt, dass [mm] $|.|:\IR \to [0,\infty)$ [/mm] ist - d.h. Du kannst diese Norm - den Betrag nur auf eine reelle Zahl anwenden: [mm] $|r|\,$ [/mm] für $r [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Dann gibt's eine (natürliche, die vom Betrag induzierte) Metrik auf [mm] $\IR\,.$ [/mm] Beachte, dass die Sprechweise "Metrik auf [mm] $\IR$" [/mm] etwas unglücklich ist: Eigentlich ist ja eine Metrik [mm] $d\,$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] eine Abbildung mit Definitionsbereich [mm] $\IR^2=\IR \times \IR\,:$
[/mm]
$$d: [mm] \IR^2=\IR \times \IR \to [0,\infty)\,.$$
[/mm]
Es gilt: [mm] $d(r,s):=|r-s|\,$ [/mm] für alle $(r,s) [mm] \in \IR^2\,.$
[/mm]
So, und nun mal das Wesentliche:
Man kann Funktionen $f: [mm] T_1 \to T_2$ [/mm] zwischen topologischen Räumen [mm] $(T_1,\tau_1)$ [/mm] und [mm] $(T_2,\tau_2)$ [/mm] untersuchen - und dafür auch Stetigkeitsdefinitionen angeben (die mit anderen in einem gewisse übereinstimmen - deswegen ist das eine "Erweiterung" des Begriffes "stetige Funktion").
Wir bleiben zwar nun noch allgemein, aber ein wenig weniger allgemein - wir betrachten erstmal nur metrische Räume (jede metrische Raum ist insbesondere ein topologischer mit der von der Metrik induzierten Topologie - ich gehe da aber nicht mehr weiter drauf ein):
Eine Funktion $f: X [mm] \to [/mm] Y$ zwischen metrischen Räumen [mm] $(X,d)\,$ [/mm] und [mm] $(Y,e)\,$ [/mm] heißt genau dann [mm] ($d\,$-$e\,$-)stetig [/mm] im Punkt [mm] $x_0 \in X\,,$ [/mm] falls gilt:
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta=\delta_{x_0,\epsilon} [/mm] > 0$ so, dass für alle $x [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $d(x,x_0) [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] schon [mm] $e(f(x),f(x_0)) [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] folgt.
Genau dann, wenn eine Funktion $f:X [mm] \to [/mm] Y$ in allen Punkten [mm] $x_0 \in [/mm] X$ [mm] ($d\,-e\,-)$stetig [/mm] ist, nennen wir diese kurz [mm] ($d\,-e\,-)$stetig.
[/mm]
Wichtig: Beachte, dass die Eigenschaft "stetig" sowohl von den betrachteten Mengen als auch von den Metriken abhängt. Also eine Funktion $f: X [mm] \to [/mm] Y$ kann [mm] $d\,-e\,-$stetig [/mm] sein, aber wenn man etwa [mm] $e'\,$ [/mm] als Metrik auf [mm] $Y\,$ [/mm] hat, muss dann keineswegs i.a. dieses [mm] $f\,$ [/mm] dann auch [mm] $d\,-e'\,-$stetig [/mm] sein!
Nun ist es so:
Im [mm] $\IR^n$ [/mm] gibt es eine natürliche Norm, die quasi von der Anschauung her rührt (Pythagoras!):
Die Abbildung [mm] $\|.\|_2:=\|.\|: \IR^n \to [0,\infty)$ [/mm] (besser wäre es, sogar das [mm] $n\,$ [/mm] an [mm] $\|.\|_2$ [/mm] ranzuschreiben - aber im allgemeinen macht man das nicht, weil man [mm] $n\,$ [/mm] in vielen Situationen einfach als fest betrachtet - ich mache es an Stellen, wo dies deutlich werden soll, mal so, dass ich dann [mm] $_n{\|.\|}$ [/mm] oder noch genauer [mm] $_n\|.\|_2$ [/mm] schreibe) definiert durch [mm] $\|.\|(r):=\sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}$ [/mm] ist eine Norm. (Was ich ständig verwende und Du aber sicher kennst ist ja auch die Definition der Notation [mm] $\|r\|\,:$ [/mm] Man setzt [mm] $\|r\|:=\|.\|(r)$ [/mm] für $r [mm] \in \IR^n\,.$)
[/mm]
In diesem Sinne ist jeder [mm] $(\IR^n,\|.\|)$ [/mm] ein normierter Raum. (Genauer: [mm] $(\IR^n,\;_n\|.\|)$ [/mm] bzw. noch genauer: [mm] $(\IR^n,\;_n\|.\|_2)\,.$)
[/mm]
Minimalbeobachtung: Offensichtlich ist [mm] $(\IR^1,_1\|.\|)=(\IR,\;|.|)\,.$
[/mm]
(Warum? Weil man sich leicht davon überzeugt, dass [mm] $\sqrt{r^2}=|r|$ [/mm] für alle $r [mm] \in \IR$ [/mm] gilt. Beachte aber: [mm] $\sqrt{r}^2$ [/mm] wäre nur für $r [mm] \ge [/mm] 0$ (erstmal) definiert!)
Nun ist jeder normierte Raum insbesondere ein metrischer Raum in folgendem Sinne:
Auf einem normierten Raum [mm] $(N,\mathbf{n^\*})\,$ [/mm] ist vermittels [mm] $d:=d_\mathbf{n^\*}:\;N \times [/mm] N [mm] \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $d(n_1,n_2):=\mathbf{n^\*}(n_1-n_2)$ [/mm] eine Metrik gegeben.
(Man nennt [mm] $d_\mathbf{n^\*}$ [/mm] die "von der Norm (wenn man ergänzen will, welche, schreibt man auch noch [mm] $\mathbf{n^\*}$ [/mm] dazu) induzierte Metrik".)
Damit kann man jeden normierten Raum auch "in natürlicher Weise" als metrischen Raum [mm] $(N,d)\,$ [/mm] auffassen.
1.: Betrachte nun einen normierten Raum [mm] $(N,\mathbf{n^\*})\,:$ [/mm] Also [mm] $N\,$ [/mm] hat Vektorraumstruktur ("ist ein Vektorraum": eigentlich müßte man dann auch noch die Addition bzw. ein Additionssymbol etc. dazuschreiben!) und [mm] $\mathbf{n^\*}$ [/mm] ist eine Norm auf [mm] $N\,.$ [/mm] Fasse [mm] $(N,\mathbf{n^\*})$ [/mm] nun in der obigen natürlichen Weise als metrischen Raum [mm] $(N,d_\mathbf{n^\*})$ [/mm] auf.
Sei $f: N [mm] \to [/mm] M$ eine Abbildung zwischen normierten Räumen [mm] $(N,\mathbf{n^\*})$ [/mm] und [mm] $(M,\mathbf{m^\*})\,.$ [/mm] Wie sieht die Formulierung der Stetigkeitsdefinition an einer Stelle [mm] $x_0 \in [/mm] N$ aus, wenn man dann "in natürlicher Weise" [mm] $f\,$ [/mm] als Abbildung zwischen den "von der Norm induzierten Metriken" [mm] $d_\mathbf{n^\*}$ [/mm] und [mm] $d_\mathbf{m^\*}$ [/mm] auffasst? Benutze dazu die Definition von [mm] $d_\mathbf{n^\*}$ [/mm] bzw. [mm] $d_\mathbf{m^\*}\,,$ [/mm] um am Ende die Ausdrücke [mm] $d_\mathbf{n^\*}$ [/mm] bzw. [mm] $d_\mathbf{m^\*}$ [/mm] komplett durch Ausdrücke mit [mm] $\mathbf{n^\*}$ [/mm] bzw. [mm] $\mathbf{m^\*}$ [/mm] ersetzt zu haben. Beachte auch: Die Addition [mm] $+\,$ [/mm] auf [mm] $N\,$ [/mm] (deutlicher würde man hier auch wieder von "Addition auf [mm] $N^2$" [/mm] sprechen) ist eine andere als die auf [mm] $M\,.$ [/mm] Wenn Du das hervorheben willst, kannst Du diesbezüglich auch etwa
[mm] $$\stackrel{N}{+}$$ [/mm]
schreiben. Analoges für die "Subtraktion" (=Addition mit inversem Element bzgl. der Addition):
[mm] $$\stackrel{N}{-}\,.$$
[/mm]
2.: Wie schon erwähnt ist jeder Raum [mm] $(\IR^n,_n\|.\|_2)$ [/mm] ($n [mm] \in \IN=\{1,2,3,...}$) [/mm] ein normierter Raum. Den Abstand zwischen zwei Punkten $x,y [mm] \in \IR^n$ [/mm] berechnet man mit [mm] $x=(x_1,...,x_n)$ [/mm] und [mm] $y=(y_1,...,y_n)$ [/mm] vermittels [mm] $d=\;_n{d}:=d_{_n\|.\|_2}=\sqrt{\sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2}\,,$ [/mm] das ist nichts anderes als die obige von der Norm [mm] $_n\|.\|_2$ [/mm] induzierten Metrik auf dem [mm] $\IR^n\,:$
[/mm]
[mm] $$d(x,y)=\;_n\|x-y\|_2\,.$$
[/mm]
Formuliere nun analog zu oben mal eine Stetigkeitsdefinition für einen Punkt [mm] $x_0 \in \IR^m\,,$ [/mm] wenn man eine Funktion $f: [mm] \IR^m \to \IR^n\,$ [/mm] hat. Die Räume [mm] $\IR^k$ [/mm] (für alle $k [mm] \in \{n,m\}$) [/mm] werden dabei, wenn nichts weiter dazu gesagt wird, in natürlicher Weise so aufgefasst, dass sie (jeweils) mit der Norm [mm] $_k\|.\|_2$ [/mm] (für alle $k [mm] \in \{n,m\}$) [/mm] ausgestattet sind.
3.: Was auch noch zu ergänzen ist:
Ist [mm] $(X,\,d)$ [/mm] ein metrischer Raum und ist $A [mm] \subseteq X\,,$ [/mm] so ist auch [mm] $(A,\,d_A)$ [/mm] ein metrischer Raum mit [mm] $d_A:=d_{|A \times A}\,,$ [/mm] anders gesagt: [mm] $d_A$ [/mm] ist die Einschränkung von [mm] $d\,$ [/mm] "auf [mm] $A\,.$"
[/mm]
Und damit hat man dann natürlich auch folgendes:
Sind [mm] $(X,\,d)$ [/mm] und [mm] $(Y,e\,)$ [/mm] metrische Räume und ist $f:A [mm] \to [/mm] B$ mit $A [mm] \subseteq [/mm] X$ und $B [mm] \subseteq Y\,,$ [/mm] so haben die Sprechweisen [mm] "$f\,$ [/mm] heißt stetig in [mm] $x_0 \in [/mm] A$" und [mm] "$f\,$ [/mm] heißt stetig (auf [mm] $A\,$)" [/mm] dann folgenden Sinn: "Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] (im Punkte [mm] $x_0 \in [/mm] A$)" bedeutet dann [mm] $d_A-e_B-$-Stetigkeit [/mm] von [mm] $f\,$ [/mm] (im Punkte [mm] $x_0 \in [/mm] A$).
Fazit:
Wenn nichts weiter dazu gesagt wird und wir eine Funktion $f: A [mm] \to [/mm] B$ mit $A [mm] \subseteq \IR^m$ [/mm] und $B [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] haben:
Was eine Stetigkeitsuntersuchung von [mm] $f\,$ [/mm] (an einer Stelle [mm] $x_0 \in [/mm] A$) bedeutet, kannst Du Dir mit den ganzen Informationen von oben nun zusammenbasteln.
P.S.
1.) Bemerkung 8.17 in Verbindung mit Satz 10.7 erleichtert dann oft die Stetigkeitsuntersuchung von Funktionen:
Grob gesagt ist die Vorgehensweise dann:
"Stetigkeit (in metrischen Räumen) bedeutet Folgenstetitgkeit. (Dabei beachte, dass wir wieder unsere normierten Räume [mm] $(\IR^k,\;_k\|.\|_2)$ [/mm] mit der von der Norm [mm] $\;_k\|.\|_2$ [/mm] induzierten Metrik auffassen). Die Folgen bestehen aus Komponentenfolgen, also untersucht man dann im Endeffekt nur Folgen aus [mm] $\IR\,.$"
[/mm]
2.) In einem metrischen Raum [mm] $(X,d\,)$ [/mm] ist [mm] $B_\varepsilon(x_0):=\{x \in X: d(x,x_0) < \varepsilon\}\,.$ [/mm] Meinetwegen kannst Du auch die obige Stetigkeitsdefinition im Punkte [mm] $x_0$ [/mm] dann unter Verwendung von [mm] $B_\varepsilon(x_0)$ [/mm] etc. aufschreiben!
P.P.S.
Alleine dieser kleine Artikel ist schon sehr mühselig zu schreiben gewesen, und ich hoffe, dass wenigstens einige Deiner Fragen nun beantwortet sind. Am besten stellst Du bei weiteren Unklarheiten mehrere Fragen. Schlimmstenfalls verlinkst Du eine Frage zu einer anderen, wenn es dann enge Zusammenhänge gibt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 So 13.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anabiene,
> hey Marcel!
>
> Dankeschön! Ich hatte echt (viel) zu viele fragen
> gestellt... Du hast dir nochmal so viel mühe gemacht
>
> Ich hab das durchgearbeitet was du geschrieben hast.
>
> Eine sache hat mich da echt verwundert: dass eine funktion
> d-e-stetig sein kann, aber z.b. nicht d-e'-stetig.
es wäre eigentlich viel verwunderlicher, wenn die betrachteten Metriken keinen Einfluss hätten. Also für mich wäre das jedenfalls sehr merkwürdig ^^
Das ganze wird eigentlich sehr schnell "offensichtlich", wenn man die Stetigkeitsdefinition für Funktionen zwischen topologischen Räumen kennt. Dann lernt man dann, wann eine Topologie feiner oder gröber als eine andere heißt, und dann wird's, denke ich, wirklich sehr schnell klar, warum die Metriken hier starke Einflüsse haben!
> Das gibt
> dem stetigkeitsbegriff irgwie eine völlig neue bedeutung.
> Für mich war die metrik bei funktionen immer in der
> definitions- und wertemenge gleich,
>
> und zwar die
> euklidische metik, weil sie ja z.b. bei funktionen [mm]f: \IR^2 \to \IR[/mm]
> auch anschaulich voll sinn macht.
Vorsicht: Das sind eben schon nicht "gleiche" Metriken: Das eine ist die Metrik [mm] $d=d_{|.|}\,,$ [/mm] die ich [mm] $d_{\;_\red{1}\|.\|_2}$ [/mm] genannt habe: Das ist die Metrik auf [mm] $\IR\,,$ [/mm] und zwar die Metrik des Zielbereichs.
Das andere ist die Metrik [mm] $d_{\|.\|_2}\,,$ [/mm] die ich der Deutlichkeit halber mit [mm] $d_{\;_\red{2}\|.\|_2}$ [/mm] bezeichnet hatte.
Das sind aber vollkommen andere Metriken (die eine sagt, wie man mit ihr Abstände von zwei Punkten des [mm] $\IR$ [/mm] berechnet, die andere, wie man mit ihr Abstände zweier Punkte des [mm] $\IR^2$ [/mm] berechnet - sie haben also vollkommen andere Definitionsbereiche!) - und wichtiger: Sie induzieren auch vollkommen andere Topologien:
Eine Menge, die bzgl. [mm] $\IR$ [/mm] in [mm] $d_{_\red{1}\|.\|_2}=d_{|.|}$ [/mm] offen ist:
- betrachte etwa das Intervall $(2,3)$ oder auch die (in [mm] $\IR$) [/mm] offene Menge $O:=(1,2) [mm] \cup [/mm] (3,4)$
muss dies im [mm] $\IR^2$ [/mm] bzgl. [mm] $d_{_\red{2}\|.\|_2}=d_{\|.\|_2}$ [/mm] keinesfalls sein:
- weder [mm] $(2,3)\,$ [/mm] noch obiges [mm] $O\,$ [/mm] ist im [mm] $\IR^2$ [/mm] offen - ja, im [mm] $\IR^2$ [/mm] ist $(2,3)$ (und auch obiges [mm] $O\,$) [/mm] sogar weder offen noch abgeschlossen!
Dass bei jeder der beiden Metriken die Abstandsberechnung "so abläuft, wie wir es uns anschaulich vorstellen und auch mit den Begriffen der Anschauung, die man in der Schule gelernt hat, zusammenpasst" (Satz des Pythagoras...), ist eine andere Sache. Und was Du meinst, ist, dass man die "euklidische Metrik des [mm] $\IR^2$" [/mm] auch wieder "in der euklidischen Metrik des [mm] $\IR$" [/mm] wiederfindet. (Sowas kann man sich mal überlegen, ich finde es gar nicht uninteressant, sowas mal zu formulieren, etwa so: "Wenn man die euklidische Metrik des [mm] $\IR^2$ [/mm] auf einen 1-dimensionalen affinen Unterraum des [mm] $\IR^2$ [/mm] einschränkt, dann erhält man...". Aber das ist nun nicht der Schwerpunkt, auf den wir uns konzentrieren sollten!)
> Was ist dann eig. wenn z.b. da steht: sei [mm]f: X \to Y , (x,y,z)\mapsto \vektor{?? \\ !!}[/mm]
> eine abbildung zwischen den metrischen räumen X und Y
> (unser prof schreibt das immer so und nie (X,d) oder so).
Also: Wenn das normierte Räume sind, dann steht alles dazu in meinem obigen Beitrag.
Ansonsten hoffe ich, dass Euer Prof. immer nur $X [mm] \subseteq \IK^m$ [/mm] und $Y [mm] \subseteq \IK^n$ [/mm] mit $X,Y [mm] \in \{\IR,\;\IC\}$ [/mm] betrachtet. Dann ist das immer bzgl. der "Standardmetrik = euklidische Metrik = Metrik, die von der euklidischen Norm induziert wird" des betrachteten Raums gemeint.
Und ob er dann $x [mm] \in \IK^m$ [/mm] bzw. $y [mm] \in \IK^n$ [/mm] jeweils als Spalten- oder Zeilenvektor schreibt, ist eigentlich egal, weil [mm] $\IK^{1 \times n}$ [/mm] und [mm] $\IK^{n \times 1}$ [/mm] einander isomorph sind. Und die Notation [mm] $f(x_1,...,x_n)$ [/mm] kann dann [mm] $f(\vektor{x_1\\.\\.\\.\\x_n})$ [/mm] meinen, wenn [mm] $x=(x_1,...,x_n)^T \in \IK^{n \times 1}$ [/mm] ein Spaltenvektor ist, und sie meint [mm] $f((x_1,...,x_n))\,,$ [/mm] wenn [mm] $x=(x_1,...,x_n) \in \IK^{1 \times n}$ [/mm] ein Zeilenvektor ist. Das ist dann eine Konventionssache, die auch von der Notation Eures Profs. abhängen kann!
Aber wie gesagt: Bitte beachte, dass Du, wenn Du etwa $f: [mm] \IR^5 \to \IR^2$ [/mm] hast: Die eukl. Metrik auf [mm] $\IR^5$ [/mm] ist eine andere als die des [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Auch, wenn es hier wirklich Zusammenhänge gibt, wo man sagen könnte, dass die eukl. Metrik des [mm] $\IR^5$ [/mm] in gewisser Weise eine Erweiterung von der des [mm] $\IR^2$ [/mm] ist. Aber wenn sie gleich wären:
Auf [mm] $\IR^2$ [/mm] gilt [mm] $\red{d}(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_)^2}\,,$ [/mm] für [mm] $x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2) \in \IR^2\,.$ [/mm]
Wären nun [mm] $r=(r_1,...,r_5),s=(s_1,...,s_5) \in \IR^5\,,$ [/mm] so gilt ja wegen [mm] $\IR^5 \not\subseteq \IR^2$ [/mm] schonmal, dass man eigentlich nicht obiges [mm] $\red{d}$ [/mm] auf [mm] $r,s\,$ [/mm] anwenden kann. Tut man es dennoch (ohne Nachzudenken einfach die "Komponentendefinition von [mm] $\red{d}$" [/mm] sozusagen draufschmeißen!), so käme irgendwie sowas raus:
[mm] $$\red{d}(r,s)=\sqrt{(r_1-s_1)^2+(r_2-s_2)^2}\,.$$
[/mm]
Was ist denn da mit den anderen Komponenten [mm] $r_3,r_4,r_5,s_3,s_4,s_5$? [/mm] Die wären vollkommen uninteressant - und das würde auch schon zeigen, dass [mm] $\red{d}$ [/mm] dann gar keine Metrik auf [mm] $\IR^5$ [/mm] sein könnte: [mm] $\red{d}(r,s)=0$ [/mm] müsste ja insbesondere [mm] $r=s\,$ [/mm] implizieren!
> Soll ich das dann immer bzgl. der euklidischen metrik in
> beiden räumen beweisen?
Ja - wenn nichts dazugesagt wird, geht man in der Regel davon aus, dass sich das aus dem Zusammenhang ergibt. Und wenn man noch nicht mal irgendeine spezielle Norm oder sontswas sieht, nimmt man "den Standardfall".
> Schönen sonntag wünsch ich dir!
Dir auch!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
![[]](http://www.muhammed.alat.de/fileadmin/studium/ana/signum-funktion-unstetig.png){kind=small}
unstetige funktion