Definition der Reihe,Konv. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Sa 06.12.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei [mm] a_{2n} [/mm] = 1/n und [mm] a_{2n-1} [/mm] = [mm] 1/\sqrt{n} [/mm] für n=1,2,3,... Untersuchen die die Konvergenz und die absolute Konvergenz der Reihe
[mm] \sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n [/mm] = -1 + 1 - [mm] \frac{1}{\sqrt{3}} [/mm] + [mm] \frac{1}{4} [/mm] - [mm] \frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{6}+... [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich verstehe die Definition der Reihe nicht ganz:
[mm] a_1 [/mm] = [mm] a_{2*1-1}=\frac{1}{\sqrt{1}}
[/mm]
[mm] a_2 [/mm] = [mm] a_{2*1}= \frac{1}{1}
[/mm]
[mm] a_3 [/mm] = [mm] a_{2*2-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}
[/mm]
[mm] a_4 [/mm] = [mm] a_{2*2} =\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] a_5 [/mm] = [mm] a_{2*3-1}=\frac{1}{\sqrt{3}}
[/mm]
Versteh ich das nun falsch oder ist in in der Angabe ein Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Sa 06.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]a_{2n}[/mm] = 1/n und [mm]a_{2n-1}[/mm] = [mm]1/\sqrt{n}[/mm] für n=1,2,3,...
> Untersuchen die die Konvergenz und die absolute Konvergenz
> der Reihe
> [mm]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n[/mm] = -1 + 1 - [mm]\frac{1}{\sqrt{3}}[/mm]
> + [mm]\frac{1}{4}[/mm] - [mm]\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{6}+...[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> Ich verstehe die Definition der Reihe nicht ganz:
> [mm]a_1[/mm] = [mm]a_{2*1-1}=\frac{1}{\sqrt{1}}[/mm]
> [mm]a_2[/mm] = [mm]a_{2*1}= \frac{1}{1}[/mm]
> [mm]a_3[/mm] =
> [mm]a_{2*2-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm]
> [mm]a_4[/mm] = [mm]a_{2*2} =\frac{1}{2}[/mm]
> [mm]a_5[/mm] =
> [mm]a_{2*3-1}=\frac{1}{\sqrt{3}}[/mm]
> Versteh ich das nun falsch
Nein. Bisher hast Du es richtig verstanden.
FRED
> oder ist in in der Angabe ein
> Fehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Sa 06.12.2014 | | Autor: | sissile |
Aber in der Angabe der Reihe im Aufgabentext steht was anderes? Deshalb die Verunsicherung meinerseits!
Mit Leinbniz funktioniert es nicht, denn wir haben keine monotone Folge.
Ich hab versucht mittels Quotientenkriterium zu arbeiten:
-) n gerade
[mm] |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{a_{2(k+1)-1}}{a_{2k}}| [/mm] = [mm] \frac{k}{\sqrt{k+1}}
[/mm]
-) n ungerade
[mm] |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{a_{2k}}{a_{2k-1}}| =\frac{\sqrt{k}}{k}
[/mm]
Hier liefert das Quotientenkriterium doch unterschiedliche Ergebnisse..?
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Hallo sissile,
> Aber in der Angabe der Reihe im Aufgabentext steht was
> anderes? Deshalb die Verunsicherung meinerseits!
Tja, auch Aufgabensteller vertun sich mal. Bleib bei Deiner Interpretation, die auf der Definition der Folgenglieder beruht.
Wenn Du Definition anpassen würdest, würden halt zwei Summanden der Reihe wegfallen. Das macht den Kohl auch nicht fett, will heißen: das Konvergenzverhalten bleibt gleich.
> Mit Leinbniz funktioniert es nicht, denn wir haben keine
> monotone Folge.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich hab versucht mittels Quotientenkriterium zu arbeiten:
Das kann doch nicht klappen. Die geraden und ungeraden Glieder sind doch verschieden definiert.
>  n gerade
> [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{a_{2(k+1)-1}}{a_{2k}}|[/mm] =
> [mm]\frac{k}{\sqrt{k+1}}[/mm]
>
> -) n ungerade
> [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{a_{2k}}{a_{2k-1}}| =\frac{\sqrt{k}}{k}[/mm]
>
> Hier liefert das Quotientenkriterium doch unterschiedliche
> Ergebnisse..?
Genauer gesagt: das QK liefert hier überhaupt kein Ergebnis. Das Wurzelkriterium übrigens auch nicht. Bevor Du's aber noch komplizierter angehst, ist ein bisschen mehr Kreativität gefragt.
Definiere Dir mal [mm] b_n=a_{2n}-a_{2n-1}
[/mm]
Dann ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_n=\summe_{i=1}^{\infty}b_i
[/mm]
Das ist leichter zu untersuchen.
Dass die gegebene Reihe absolut divergiert, ist allerdings auch so zu sehen, sie enthält ja die harmonische Reihe.
Die alternierende Reihe divergiert übrigens auch, aber das sollst Du ja zeigen, und mit der obigen Substitution geht das auch ziemlich einfach. Allerdings werden Dir auch hier weder QK noch WK weiterhelfen. Du brauchst eine geeignete Abschätzung.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 So 07.12.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deine Antwort.
[mm] b_n [/mm] = [mm] -\frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] + [mm] \frac{1}{n} \ge [/mm] - [mm] \frac{1}{\sqrt{n}}
[/mm]
[mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] ist divergent (mit div Minorante der harmonischen Reihe). Dann ist doch auch [mm] -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] divergent und eine divergente Minorante für unser Beispiel.Oder?
LG,
sissi
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Hallo nochmal,
Moment noch...
> [mm]b_n[/mm] = [mm]-\frac{1}{\sqrt{n}}[/mm] + [mm]\frac{1}{n} \ge[/mm] -
> [mm]\frac{1}{\sqrt{n}}[/mm]
Das ist ohne Zweifel richtig.
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}[/mm] ist divergent (mit div
> Minorante der harmonischen Reihe).
Jawoll. So isses.
> Dann ist doch auch
> [mm]-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}[/mm] divergent und eine
> divergente Minorante für unser Beispiel.Oder?
Na, darüber solltest Du nochmal nachdenken.
Ist das wirklich eine Minorante?
Grüße
reverend
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Mo 08.12.2014 | | Autor: | sissile |
Achso in der Proposition steht ja, dass die Terme der Minorante [mm] \ge [/mm] 0 sein müssen. Dann ist mein Versuch natürlich falsch.
Komme mir bloed vor, dass ich bei den einfachen Bsp nicht weiter komme.
Jedoch ist [mm] b_n [/mm] = - [mm] \frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] + [mm] \frac{1}{n} [/mm] < 0 für [mm] n\ge [/mm] 1
Also finde ich immer nur Minoranten mit negativen Termen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mo 08.12.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst ja ein -1 vor die Summe ziehen, und dein [mm] b_n [/mm] auf den Hauptnenner bringen
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mo 08.12.2014 | | Autor: | sissile |
Ich weiß, ich steh vermutlich ziemlich auf der Leitung. Aber was sollte das an den negativen Minoranten ändern?
[mm] b_n [/mm] = [mm] -\frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] + [mm] \frac{1}{n} [/mm] = [mm] \frac{-(n-\sqrt{n})}{\sqrt{n}n}
[/mm]
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Hallo sissi,
> Ich weiß, ich steh vermutlich ziemlich auf der Leitung.
Ja, sieht so aus.
> Aber was sollte das an den negativen Minoranten ändern?
> [mm]b_n[/mm] = [mm]-\frac{1}{\sqrt{n}}[/mm] + [mm]\frac{1}{n}[/mm] =
> [mm]\frac{-(n-\sqrt{n})}{\sqrt{n}n}[/mm]
Damit also:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n=-\summe_{i=1}^{\infty}\br{n-\wurzel{n}}{\wurzel{n}n}=-\summe_{i=1}^{\infty}\br{\wurzel{n}-1}{\wurzel{n}}
[/mm]
So, und jetzt finde mal eine divergente Minorante zu [mm] c_n=-b_n=\br{\wurzel{n}-1}{\wurzel{n}}
[/mm]
Für alle [mm] n\in\IN [/mm] ist [mm] c_n\ge{0}.
[/mm]
Eine einfache divergente Minorante findet man z.B. für [mm] n\ge{4}, [/mm] und das reicht ja.
Grüße
reverend
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