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Hallo,
ich habe eine Frage zur Definition des Tensorprodukts von 2 VR. In der VL wurde es folgendermaßen definiert:
V,W Vektorräume. [mm]S := V \times W[/mm] als Menge aufgefasst.
[mm] F:= \oplus_{s \in S} K [/mm] mit [mm]K=V_s[/mm]
dies ist nat. ein K-VR mit Basis [mm](e_s)_{s \in S}[/mm] also mit einer 1 an der s-ten Stelle, ansonsten 0.
In diesem F batrachten wir einen Unterraum E, der erzeugt wird von Elementen der Form:
(1)[mm]e_{a,b}+e_{a',b}-e_{a+a',b}[/mm]
(2)[mm]e_{a,b}+e_{a,b'}-e_{a,b+b'}[/mm]
(3)[mm]e_ {\lambda(a,b)}-e_{(\lambda a,b)}[/mm]
(4)[mm]e_ {\lambda(a,b)}-e_{(a,\lambda b)}[/mm]
Und nun defniere ich als Tensorprodukt: [mm]V \otimes W := F/E[/mm]
ich versuch das jetzt mal etwas unmathematisch auszudrücken:
Ich nehme mir 2 Vektorräume, addiere die per direkter Summe, sd. ein Vektorraum F entsteht mit einer Standardtbasis [mm] e_s.
[/mm]
Dann konstruiere ich mir einen Unterraum, der die obigen Eigenschaften erfüllt (1-4)
Dann bilde ich den Quotientenvektorraum F/E, was der Raum aller Äquivalenzklassen ist. Und das ist dann das Tensorprodukt.
Stimmt das so in etwa?
Meine Hauptfrage ist jetzt aber: Was machen die Eigenschaften 1-4 für einen Sinn, bzw warum gerade DIE und nicht irgendetwas anderes. Das sind ja gerade sozusagen die Eigenschaften einer bilinieren Abbildung. ?!
Versuche ich dann praktisch alle "bilinearen Eigenschaften zu entfernen", da ich E ja per Quotientenvektorraum rausfaktorisiere, um dann eine lineare Abb. vom Tensorprodukt in ein Bild X einer bilinearen Abb. (zB.[mm]V \times W \to X[/mm])zu erhalten. (also die universelle Eigenschaft zu erfüllen.)
Ich würde also eine bilineare Abb. linearisieren durch Vorschalten einer Quotientenabbildung. (Edit: Ich glaube dies ist nicht wirklich eine Quotientenabb. sondern eine bilineare Abb. [mm]V \times W \to V \otimes W[/mm], was wir in der VL nach der universellen Eigenschaft gezeigt haben.)
Ich hoffe ihr könnt mich einigermasen verstehen ;)
Kann mir da jemand ein paar Denkanstöße geben, ob ich teilweise auf der richtigen Spur bin oder total falsch liege ;)
Viele Grüße,
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 13.03.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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