Definition Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mo 16.06.2014 | | Autor: | gnolli |
Seien X,Y normierte Räume A [mm] \subset [/mm] X f: A-> Y und [mm] x_0 \in [/mm] X
y [mm] \in [/mm] Y. Man sagt f konvergiert gegen y für x gegen [mm] x_0, [/mm] falls für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 existiert, sodass
x [mm] \in [/mm] A und [mm] ||x-x_0|| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] ||f(x)-y|| <= [mm] \varepsilon
[/mm]
Man schreibt dann [mm] lim_x->x_0 [/mm] f(x) = y.
Es Sei A [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall. X ein normierter Raum. Eine Funktion f: A -> X heißt in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, falls der Grenzwert:
[mm] lim_h->0 (f(x_0+h)-f(x_0))/h [/mm] existiert.
Aus dieser Definition schließt man ja nicht aus dass h null sein darf. Man betrachtet ja immer die umgebung die beliebig klein wird um null UND null. Genau genommen schließt diese Definition diesen Fall nicht aus. Richtig? Oder warum steht immer nicht dran dass h ungleich null.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Mo 16.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo gnolli und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Ich beziehe mich mal auf [mm] \IR, [/mm] denn damit erspare ich mir
Tipparbeit und dein Problem wird sofort klar.
Eine Abbildung [mm] $f\colon D\subseteq\IR\to\IR$ [/mm] heißt differenzierbar in [mm] $x_0\in [/mm] D$,
falls der Grenzwert
[mm] \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
existiert.
Dabei bedeutet [mm] \lim_{x\to x_0}\ldots [/mm] immer [mm] \lim_{x_0\not=x\to x_0}\ldots [/mm] !
Mit [mm] h:=x-x_0 [/mm] erhalten wir äquivalent
[mm] \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},
[/mm]
wobei auch hier [mm] $h\not=0$ [/mm] gelten muss, denn sonst gibt es Probleme!
Du kannst auch mal [mm] $D=[x_0,x_1]\$ [/mm] setzen, dann siehst du es
vielleicht noch ein Tick "deutlicher".
Ist es nun klar(er)?
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Mo 16.06.2014 | | Autor: | gnolli |
Ja natürlich ist es mir klar, dennoch müsste man das hinschreiben dass x ungleich [mm] x_0.
[/mm]
Naja danke für deine ausführliche Antwort.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Di 17.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ja natürlich ist es mir klar, dennoch müsste man das
> hinschreiben dass x ungleich [mm]x_0.[/mm]
Richtig, aber in der Regel ist man ein bisschen Faul in der
Hinsicht. Streng genommen hast du natürlich Recht.
> Naja danke für deine ausführliche Antwort.
Gerne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:34 Di 17.06.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ja natürlich ist es mir klar, dennoch müsste man das hinschreiben dass x ungleich [mm]x_0.[/mm]
nein, muss man nicht.
Hat da jemand etwa beim Lernen der Definitionen geschlampt?
In [mm] \IR [/mm] ist der Grenzwert von Funktionen so definiert, dass [mm] x_0 [/mm] immer ausgeschlossen ist.
Den Fehler bei eurer Definition hat fred dir ja schon dargelegt.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 Di 17.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hiho,
>
> > Ja natürlich ist es mir klar, dennoch müsste man das
> hinschreiben dass x ungleich [mm]x_0.[/mm]
>
> nein, muss man nicht.
> Hat da jemand etwa beim Lernen der Definitionen
> geschlampt?
Hallo Gono,
> In [mm]\IR[/mm] ist der Grenzwert von Funktionen so definiert, dass
> [mm]x_0[/mm] immer ausgeschlossen ist.
Nicht nur in [mm] \IR.
[/mm]
Gruß FRED
> Den Fehler bei eurer Definition hat fred dir ja schon
> dargelegt.
>
> Gruß,
> Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Di 17.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Seien X,Y normierte Räume A [mm]\subset[/mm] X f: A-> Y und [mm]x_0 \in[/mm]
> X
> y [mm]\in[/mm] Y. Man sagt f konvergiert gegen y für x gegen [mm]x_0,[/mm]
> falls für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0 existiert,
> sodass
> x [mm]\in[/mm] A und [mm]||x-x_0||[/mm] < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] ||f(x)-y|| <=
> [mm]\varepsilon[/mm]
> Man schreibt dann [mm]lim_x->x_0[/mm] f(x) = y.
>
> Es Sei A [mm]\subset \IR[/mm] ein Intervall. X ein normierter Raum.
> Eine Funktion f: A -> X heißt in [mm]x_0[/mm] differenzierbar,
> falls der Grenzwert:
> [mm]lim_h->0 (f(x_0+h)-f(x_0))/h[/mm] existiert.
>
>
>
> Aus dieser Definition schließt man ja nicht aus dass h
> null sein darf. Man betrachtet ja immer die umgebung die
> beliebig klein wird um null UND null. Genau genommen
> schließt diese Definition diesen Fall nicht aus. Richtig?
> Oder warum steht immer nicht dran dass h ungleich null.
Deine obige Definition ist nicht korrekt. Entweder hat Dein Dozent geschludert oder Du !
Richtig:
Seien X,Y normierte Räume A $ [mm] \subset [/mm] $ X f: A-> Y und $ [mm] x_0 \in [/mm] $ X,
y $ [mm] \in [/mm] $ Y.
[mm] x_0 [/mm] sollte auch noch Häufungspunkt von A sein
Man sagt f konvergiert gegen y für x gegen $ [mm] x_0, [/mm] $ falls für alle $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > 0 ein $ [mm] \delta [/mm] $ > 0 existiert, sodass
x $ [mm] \in [/mm] $ A und $ [mm] 0<||x-x_0|| [/mm] $ < $ [mm] \delta \Rightarrow [/mm] $ ||f(x)-y|| [mm] \le$ \varepsilon [/mm] $
Der "kleine" aber wichtige Unterschied: $ [mm] 0<||x-x_0|| [/mm] < [mm] \delta$
[/mm]
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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