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Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zur Definition des Binomialkoeffizientens. Diese lautet ja wie folgt:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k! *(n-k)!}
[/mm]
Jetzt ist meine Frage, wieso der Term (n-k)! Auftaucht…
Ich verstehe, dass wenn man nur n! durch k! teilt auch nur n-k Faktoren im Zähler übrig bleiben, da ja k < n. Deshalb ist klar, dass man im Nenner noch mit etwas multiplizieren muss… aber warum ausgerechnet mit der Anzahl der übrig gebliebenen Faktoren als Fakultät ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 So 12.05.2024 | | Autor: | statler |
Hallo!
> ich habe eine Frage zur Definition des
> Binomialkoeffizientens. Diese lautet ja wie folgt:
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> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{k! *(n-k)!}[/mm]
>
> Jetzt ist meine Frage, wieso der Term (n-k)! Auftaucht…
Der taucht auf, weil das eben die Definition ist. Man kann jetzt aber weiter fragen, was er bedeutet und wozu ich ihn brauche.
Gruß Dieter
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Ok, danke für die schnelle Antwort …also warum ist dieser Term nun notwendig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 So 12.05.2024 | | Autor: | statler |
Der Binomialkoeffizient zählt die Anzahl der Möglichkeiten, k Dinge aus n Dingen auszuwählen. Das kann ich erstmal so machen, daß ich die Reihenfolge berücksichtige, dann gibt das $n*(n-1)*...*(n-(k-1)) = [mm] \bruch{n!}{(n-k)!}$ [/mm] Möglichkeiten.
Wenn mich die Reihenfolge nicht interessiert, wird aus k! Möglichkeiten immer eine einzige, da die möglichen Anordnungen zusammenfallen. Deswegen muß ich auch noch durch k! teilen.
Wenn ich in einer Herde Schafe nicht die Köpfe, sondern die Beine zähle, muß ich noch durch 4 teilen, weil 4 Beine 1 Schaf ergeben.
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Vielleicht mal ein Zahlenbeispiel zur Verdeutlichung:
Stell dir vor, du hast $n=6$ unterschiedliche Spielzeugautos, von denen du $k=2$ auswählen möchtest (Reihenfolge egal, ohne Zurücklegen). Für das erste Auto hast du 6 Möglichkeiten, für das zweite noch 5, insgesamt also [mm] $6*5=\bruch{6!}{4!}=\bruch{6!}{(6-2)!}=30$ [/mm] Möglichkeiten. Von diesen Möglichkeiten sind aber immer 2 Möglichkeiten gleich (Auto A+B, bzw. Auto B+A). Also hast du eigentlich nur $30/2=15$ "echte" Möglichkeiten. Wegen $2=2!$ musst du noch durch diese Zahl teilen, also [mm] \bruch{6!}{2!*(6-2)!}=30$ [/mm] Möglichkeiten.
Anderes Beispiel: beim Lotto "6 aus 49" gibt es am Ende $6!=720$ Möglichkeiten, die alle zu "6 Richtigen" führen. Das sind einfach die verschiedenen Reihenfolgen, auf die die selben Gewinnzahlen gezogen werden können. Deswegen teilt man durch k! noch.
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