Definit./Einführung Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Do 29.01.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
es geht um den Grenzwert von Zahlenfolgen. Ich bin mir nicht so sicher, ob ich das Ganze wirklich verstanden habe.
Mir ist klar, dass die Folge $\ [mm] \{a_n\} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] $ mit $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ mit zunehmendem $\ n $ immer kleiner und so der null immer näher kommt.
Die Folge $\ [mm] \{a_n\} [/mm] $ konvergiert also gegen Null. (Nullfolge)
Nun geht es um die Definition der $\ [mm] \varepsilon$ [/mm] - Umgebung.
Es heisst:
> "Wenn man eine auch noch so kleine Zahl $\ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 $ wählt, liegen von einem bestimmten $\ n > [mm] n_0 (\varepsilon)$ [/mm] ab [mm] (n_0 [/mm] hängt von [mm] $\varepsilon$ [/mm] ab) alle Glieder der Folge in der $\ [mm] \varepsilon [/mm] $-Umgebung von $\ 0 $
> $\ | [mm] a_n [/mm] | = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon\ [/mm] \ [mm] \forall\ [/mm] n > [mm] n_0 (\varepsilon) [/mm] $
Seh ich das richtig, dass damit nichts anderes gesagt wird, als dass man einen sehr kleinen Wert $\ [mm] \varepsilon$ [/mm] wie beispielsweise $\ [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{1000} [/mm] $ wählt, und dann die Ungleichung $\ n > [mm] n_0 (\varepsilon)$ [/mm] folgendermaßen gedeutet werden kann:
mit $ \ [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{1000} [/mm] $ ist $\ [mm] n_0 [/mm] = 1000 $ und für jedes $\ n > [mm] n_0 [/mm] $ liegt die Folge in der $\ [mm] \varepsilon$-Umgebung [/mm] $\ [mm] |\bruch{1}{1000}|$
[/mm]
Ich hoffe ich konnte einigermaßen verständlich aufschreiben, was ich mir bei der Definition so dachte.
Meine letzte Frage:
der Betrag $\ | [mm] a_n [/mm] | $ wird wegen der $\ [mm] \varepsilon$-Umgebung [/mm] verwendet, denn es handelt sich um die um $\ a $ positive und negative Verteilung der Werte, oder? Also die Werte die links, als auch rechts von a (Zahlenstrahl) liegen, deshalb der Betrag?
Würde mich über Tips und Hinweise freuen,
vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey!
Ich denke mal: das siehst Du alles richtig und hast es verstanden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Do 29.01.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Roadrunner,
vielen Dank!
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Do 29.01.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
folgendes:
> Eine Folge [mm] \{a_n\} [/mm] hat den Grenzwert a,
> $\ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = a $, wenn zu jedem (noch so kleinem) $\ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 $ ein $\ [mm] n_0 [/mm] = [mm] n_0 (\varepsilon) [/mm] $ derart existiert, dass
> $\ | [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm] $
> gilt für alle $\ n $ mit $\ n > [mm] n_0 (\varepsilon) [/mm] $
Ich verstehe den Betrag $\ | [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm] $ nicht so ganz.
$\ a $ ist ja mein Grenzwert, also der Wert, um den sich die unendlichen vielen Glieder der Folge ab einem $\ [mm] n_0$ [/mm] symmetrisch verteilen.
$\ [mm] \varepsilon [/mm] $ ist ja lediglich eine Art intervallrand, für alle $\ [mm] n_0 [/mm] $ die in $\ [mm] ]a-\varepsilon[$ [/mm] und $\ [mm] ]a+\varepsilon[ [/mm] $ liegen
Wie aber entsteht die oben genannte Betragsform? Ich vermute, dass das unmittelbar aus den beiden Intervallen folgt, kanns aber nicht ganz nachvollziehen.
Würde mich über Hilfe freuen,
Vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
Du vermutest völlig richtig. Die Tatsache, dass beide Intervalle teiloffen sind führt zum "echten" Kleiner-Zeichen (bei abgeschlossenen Intervallen wäre es [mm] \le [/mm] ). Allerdings stimmen Deine Intervallgrenzen nicht ganz; [mm] a_n=a [/mm] ist ja ein erlaubter Fall.
Überleg Dir doch erstmal, wie der Bereich [mm] \a{}|x|<1 [/mm] auf der Zahlengeraden liegt. Wie unterscheidet er sich von [mm] |x|\le1 [/mm] ? Welche Rolle spielt der Punkt [mm] \a{}x=0 [/mm] ?
Dann verschiebe den Bereich mal um 2 nach rechts: [mm] \a{}|x-2|<1, [/mm] mach ihn kleiner : [mm] |x-2|<\bruch{2}{23}\ [/mm] etc.
Klar?
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Do 29.01.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo reverend,
> Hallo ChopSuey,
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> Du vermutest völlig richtig. Die Tatsache, dass beide
> Intervalle teiloffen sind führt zum "echten"
> Kleiner-Zeichen (bei abgeschlossenen Intervallen wäre es
> [mm]\le[/mm] ). Allerdings stimmen Deine Intervallgrenzen nicht
> ganz; [mm]a_n=a[/mm] ist ja ein erlaubter Fall.
Demnach hieße es richtig $\ [mm] [a-\varepsilon[ [/mm] $ und $\ [mm] [a+\varepsilon[ [/mm] $. Hoffe das stimmt.
>
> Überleg Dir doch erstmal, wie der Bereich [mm]\a{}|x|<1[/mm] auf der
> Zahlengeraden liegt. Wie unterscheidet er sich von [mm]|x|\le1[/mm]
> ? Welche Rolle spielt der Punkt [mm]\a{}x=0[/mm] ?
[mm]\a{}|x|<1[/mm] ist doch der symmetrische Abstand vom Ursprung sowohl im negativen als auch positiven jeweils kleiner als 1.
Also $\ [x-1[\ [mm] \wedge\ [/mm] [x+1[ $ bzw $\ ]-1,0] [mm] \wedge [/mm] [0,1[ $
Für [mm]|x|\le1[/mm] gilt das selbe, mit dem Unterschied, dass die 1 eingeschlossen wird.
Also $\ [x-1]\ [mm] \wedge\ [/mm] [x+1] $ bzw $\ [-1,0] [mm] \wedge [/mm] [0,1] $
Die Null ist, wie oben bereits erwähnt, der Punkt, um den sich die Elemente meines Intervalls symmetrisch verteilen.
>
> Dann verschiebe den Bereich mal um 2 nach rechts:
> [mm]\a{}|x-2|<1,[/mm] mach ihn kleiner : [mm]|x-2|<\bruch{2}{23}\[/mm] etc.
[mm]\a{}|x-2|<1[/mm] ist demnach die symmetrische verteilung um den Punkt $\ 2 $ auf dem Zahlenstrahl? Die Werte, die sich um diesen Wert verteilen sind alle kleiner als $\ 1 $ .
Wenn dem so ist, dann gilt für [mm]|x-2|<\bruch{2}{23}\[/mm], dass die Werte um $\ 2 $ symmetrisch verteilt liegen und alle diese Werte kleiner als $\ [mm] \bruch{2}{23} [/mm] $ sind.
Stimmt das so?
>
> Klar?
>
> lg,
> reverend
Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
ja, das stimmt so.
Die Intervallnotation hat zugunsten der Grenzen jetzt die eigentliche Intervallgröße verloren - da gehören schon zwei Werte hin. Es sieht aber ganz so aus, als meintest Du das richtige.
Ich frage mich in diesem Zusammenhang noch, ob es opportun ist, wenn das linksseitige und das rechtsseitige Intervall den Punkt a gemeinsam haben. Soweit ich sehe, schadet das aber nicht; Hauptsache, er ist überhaupt enthalten.
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Do 29.01.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo reverend!
vielen Dank.
> Ich frage mich in diesem Zusammenhang noch, ob es opportun
> ist, wenn das linksseitige und das rechtsseitige Intervall
> den Punkt a gemeinsam haben. Soweit ich sehe, schadet das
> aber nicht; Hauptsache, er ist überhaupt enthalten.
Die selbe Frage stell ich mir jedes mal in unseren Analysisstunden, wenn die Nullstellen der Ableitungen in mindstens zwei Intervallen enthalten sind. Zum Untersuchen der Krümmungskriterien oder dem Monotonieverhalten beispielsweise.
Hab das dann aber nicht weiter hinterfragt, obwohl ich immer dachte, dass ein Punkt eindeutig immer nur in max. einem Intervall enthalten sein darf.
Naja, das ist aber wieder ein eigenes Thema 
>
> Grüße,
> reverend
Viele Grüße
ChopSuey
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