Def.bereich einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich soll den Def.bereich für folg. Funktion aufstellen:
y=arcsin((x+1)/(2x))
Ich habe schon:
(x+1)/(2x) <= 1
x>=1
(x+1)/(2x) >=-1
Hier komme ich auf x>=-1/3 , da sich das Vorzeichen bei : (-) umdreht.
Im Lösungsbuch steht aber x<=-1/3 , was ja auch richtig ist. Wie komme ich darauf? Kann mir jmd. die Schritte erklären?
Das wäre eine große Hilfe!!
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Hallo, Maiko,
fr die Definitionsmenge einer Funktion y=arcsin(...) gilt natürlich:
-1 [mm] \le [/mm] (...) [mm] \le [/mm] +1.
Dies löst man entweder rechnerisch oder auch - was in vielen Fällen gut gelingt - zeichnerisch.
Im vorliegenden Fall ist die zeichnerische Methode geradezu ideal:
Du zeichnest den Graphen der Funktion [mm] y=\bruch{x+1}{2x}
[/mm]
(Nicht schwer: senkrechte Asymptode x=0, waagrechte Asymptode y=0,5); links vom Pol liegt der Graph unterhalb der Asymptode y=0,5, rechts oberhalb. )
Dann zeichnest Du die beiden Geraden y=-1 und y=+1, zwischen denen der Graph liegen muss.
Du bemerkst: Es gibt zwei Schnittpunkte:
Der Graph schneidet die Gerade y=1 bei x=1; den Schnittpunkt mit y=-1 musst Du rechnerisch bestimmen: [mm] \bruch{x+1}{2x}=-1 [/mm] ergibt: [mm] x=-\bruch{1}{3}.
[/mm]
Das war's: Die Definitionsmenge ist:
] [mm] -\infty [/mm] ; [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] ] [mm] \cup [/mm] [+1 ; [mm] +\infty [/mm] [
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Maiko |
Jo, zeichnerisch ist das kein Problem.
Ich wollte das ganze aber mal rechnerisch lösen.
Ich komme ebenfalls auf -1/3, bloß das Relationszeichen ist verkehrt herum, obwohl ich beachtet habe, dass, wenn ich :(-3) rechne, sich das ganze drehen muss.
Könnte das jmd. bitte mal nachrechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 Di 08.02.2005 | | Autor: | Max |
Du musst für beide(!) Gleichungen eine Fallunterscheidung für $x>0$ und $x<0$ machen.
Für $x<0$ kommt man dann auf die beiden Gleichungen $x<1$ und [mm] $x<-,\frac{1}{3}$, [/mm] also insgesamt [mm] $x<-\frac{1}{3}$.
[/mm]
Für $x>0$ kommt man auf die beiden Gleichungen $x>1$ und [mm] $x>-\frac{1}{3}$, [/mm] also insgesamt $x>1$.
Damit kommst du dann auf den Definitionsbereich den auch Zwerglein angegeben hat.
Gruß Brackhaus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Di 08.02.2005 | | Autor: | Maiko |
Hmmm...
Also ich führe mal meinen Lösungsweg vor. Vielleicht kann mir ja jmd. sagen, was ich falsch gemacht habe:
[mm] \frac{x+1}{2x} \ge [/mm] -1
(x+1) [mm] \ge [/mm] -2x
1 [mm] \ge [/mm] -3x
-1/3 [mm] \le [/mm] x
Was habe ich falsch gemacht??
Ich habe das genauso gemacht, wie vorher beschrieben mit den zwei Fällen.
Mein 1. Fall war
[mm] \frac{(x+1)}{2x} \le [/mm] 1
Hier komme ich auch auf das richtige Ergebnis, aber leider nicht bei Fall 2.
Bitte um Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Di 08.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Maiko!
> [mm]\frac{x+1}{2x} \ge -1[/mm]
> [mm](x+1) \ge -2x[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier mußt Du ja bereits eine Fallunterscheidung machen, da ja nicht eindeutig ist, ob Du bei der Multiplikation mit "$2x$" mit einer positiven oder einer negativen Zahl multiplizierst.
Denn dies' hätte ja bereits Auswirkungen auf das Ungleichheitszeichen.
Fall 1
Für $2x > 0 \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ x > 0$ ist der Fall ja nicht schwer
(hier mal sehr verkürzt dargestellt):
$-1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{x+1}{2x} [/mm] \ [mm] \le [/mm] +1$ $| \ * \ 2x \ > 0$
$-2x \ [mm] \le [/mm] \ x+1 \ [mm] \le [/mm] +2x$
usw.
Fall 2
Für $x < 0$ ergibt sich dann:
$-1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{x+1}{2x} [/mm] \ [mm] \le [/mm] +1$ $| \ * \ 2x \ < 0$
$-2x \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ x+1 \ [mm] \red{\ge} [/mm] +2x$
usw.
Die so berechneten Beziehungen sind dann mit $x > 0$ bzw. $x < 0$ abzugleichen, und damit solltest Du Deine gegebene Lösung erreichen.
Sind nun alle Ungereimtheiten klar?
Gruß
Loddar
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