Def. gleichmässige Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute!
ich habe in einem buch eine definition zur gleichmässigen stetigkeit gefunden welche zur epsilon-delta definition äquqivalent sein soll.
und zwar: eine funktion heißt gleichm. stet. auf dem intervall L
falls
[mm] \lim_{h \to 0} \sup_{x,x+h\in\IL} | f(x + h) - f(x)| = 0 [/mm]
nun meine Frage: wie muss ich [mm] \sup_{x,x+h\in\IL}| f(x + h) - f(x)| = 0 [/mm] lesen?
ist damit gemeint das ich das supremum des intervalls L mit [mm] | f(x + h) - f(x)| = 0 [/mm] multiplizieren soll um dann den limes zu bilden oder doch anders? steh irgendwie auf dem schlauch
ein beispiel stand noch für f(x) = [mm] x^{2}:
[/mm]
die funktion ist nicht gleichmässig stetig auf ganz [mm] \IR [/mm] und laut buch liegt es daran das [mm] \sup_{x,x+h\in\IR}|2xh + h^{2}| = \infty [/mm] und somit der limes h gegen null auch unendlich ist.
das sie nicht gleichmässig stetig auf [mm] \IR [/mm] ist wusst ich schon, aber wie ich das aus dieder definition rauslesen kann weiß ich nicht.
vielen dank für antworten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Für ein festes $h$ bildest du zuerst das Supremum über alle
$|f(x + h) - f(x)|$,
wobei das Supremum über alle $x [mm] \in [/mm] L$ mit $x+h [mm] \in [/mm] L$ zu nehmen ist.
Klar? Für jedes $x$, für das $x [mm] \in [/mm] L$ und $x+h [mm] \in [/mm] L$ gilt, kann man ja $|f(x+h)-f(x)|$ bilden und bekommt dadurch eine Zahlenmenge (für jedes $x$ eine Zahl). Von dieser Menge bildest du (immer noch für festes $h$!) das Supremum. Ich nenne es mal [mm] $I_h$. [/mm] Du bekommst eine Funktion $h [mm] \mapsto I_h$.
[/mm]
Und anschließend bildest du dann
[mm] $\lim\limits_{h \to 0} I_h$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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