Def. des Homomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Sa 19.01.2008 | | Autor: | CGBS |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hi,
ich habe am Di mündliche Examensprüfung und habe noch eine Frage (vll. kommen bis Di noch mehr).
Bei der Def. des Homomorphismus:
1. f(x+y) = f(x) + f(y)
2. f(t*x) = t*f(x)
diese beiden Punkte sind klar!....ABER habe eine andere Definition gesehen, da war noch zusätzlich:
3. f(1) [mm] \not=0 [/mm] angegeben
Nun frage ich mich, was der dritte Punkt noch soll? Hat das was mit der Injektivität des Homom. zu tun? Darf nur f(0) =0 sein? Oder wie verstehe ich das?
vielen dank schonmal!
gruß
christian
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> Bei der Def. des Homomorphismus:
> 1. f(x+y) = f(x) + f(y)
> 2. f(t*x) = t*f(x)
>
> diese beiden Punkte sind klar!....ABER habe eine andere
> Definition gesehen, da war noch zusätzlich:
>
> 3. f(1) [mm]\not=0[/mm] angegeben
>
> Nun frage ich mich, was der dritte Punkt noch soll? Hat das
> was mit der Injektivität des Homom. zu tun? Darf nur f(0)
> =0 sein? Oder wie verstehe ich das?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
daraus, daß Du im Forum Lineare Algebra postest, schließe ich, daß Du über Vektorraumhomomorphismen zwischen zwei Vektorräumen über einem gemeinsamen Körper reden möchtest.
Ich weiß nicht, wo Du
> 3. f(1) [mm]\not=0[/mm]
aufgeschnappt hast, aber das ist doch völlig sinnlos: was soll denn eine Eins im VR sein?
Vielleicht bringst Du da irgendetwas durcheinander mit Homomorphismen von Ringen mit 1? Da muß nämlich die 1 im einen Ring auf die 1 im anderen abgebildet werden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 So 20.01.2008 | | Autor: | CGBS |
Hi danke! Also ich habs wiedergefunden wo ich es her hab. Und zwar handelt es sich um Homomorphismus zwischen zwei Körpern K und L. In beiden Körpern ist * und + definiert.
"Ein Homomorphismus von K nach L ist eine Abb. f von K nach L, für die f(x+y)=f(x)+f(y) und f(x*y)=f(x)*f(y) für alle x,y [mm] \in [/mm] K gilt und folgende Eigenschaft erfüllt ist: f(1) [mm] \not= [/mm] 0"
So lautet es in meinem Buch, wie gesagt, die ersten beiden Punkte versteh ich....nur das mit der 1, warum sie nicht auf die Null abgebildet werden darf, das sagt mir nichts...
gruß
christian
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> Hi danke! Also ich habs wiedergefunden wo ich es her hab.
> Und zwar handelt es sich um Homomorphismus zwischen zwei
> Körpern K und L. In beiden Körpern ist * und + definiert.
>
> "Ein Homomorphismus von K nach L ist eine Abb. f von K nach
> L, für die f(x+y)=f(x)+f(y) und f(x*y)=f(x)*f(y) für alle
> x,y [mm]\in[/mm] K gilt und folgende Eigenschaft erfüllt ist: f(1)
> [mm]\not=[/mm] 0"
>
> So lautet es in meinem Buch, wie gesagt, die ersten beiden
> Punkte versteh ich....nur das mit der 1, warum sie nicht
> auf die Null abgebildet werden darf, das sagt mir
> nichts...
Hallo,
wenn man erlaubt, daß f(1)=0, so ist f automatisch die Nullabildung.
Die Menge, die nur aus der Null besteht, also das Bild v. f ist jedoch kein Körper, und somit kann hier von strukturerhaltender Abbildung nicht die Rede sein. Daher schließt man das aus.
Ich stell' mal auf "teilweise beantwortet", vielleicht sagt Dir dann noch jemand Tiefergehendes.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 20.01.2008 | | Autor: | CGBS |
dank schonmal ich glaub ich habs jetzt....wenn man es zulässt, dann gilt auch f(2)=0 , f(3)=0, ..usw...also alles wird auf die 0 abgebildet...und damit sind die strukturen nicht übertragen..stimmts?
gruß
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Ja, so ist das.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 So 20.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
die fragliche Forderung ist redundant, denn sie kann aus den ersten beiden impliziert werden.
Hintergrund ist, dass für einen jeden Körper 1 ≠ 0 gefordert wird, d.h. der Nullring ist kein Körper, man schließt also diesen Fall explizit aus.
LG
Alex
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> die fragliche Forderung ist redundant, denn sie kann aus
> den ersten beiden impliziert werden.
Hallo,
> Ein Homomorphismus von K nach L ist eine Abb. f von K nach L, für die f(x+y)=f(x)+f(y) und
> f(x*y)=f(x)*f(y) für alle x,y $ [mm] \in [/mm] $ K gilt
Hieraus???
Ich meine, daß man [mm] f(1)\not=0 [/mm] fordert, aus dem Grund, den Du weiter unten ansprichst.
Und wenn ich hier schief liege, wüßte ich gerne wie es geht.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 So 20.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi Angela,
sei φ: K → L ein Körperhomomorphismus, dann gilt:
φ(0) = 0 und φ(1)=1.
Beweise für diese Behauptung findest Du z.B. unter http://www.mathematik-netz.de/pdf/Koerpererweiterungen.pdf .
Gemäß Definition eines Körpers gilt weiter 1≠ 0. Insgesamt ergibt sich u.a. φ(1) ≠ 0.
LG
Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 So 20.01.2008 | | Autor: | CGBS |
hi also erstmal vielen dank euch beiden, wenn ich das so in der münldichen Prüfung am dienstag erkläre, dann werden die schon zufrieden sein...
also ich fasse zusammen:
Ein Homomorphismus überträgt die algebraischen strukturen von K nach L, somit auch die neutralen Elemente bzgl + und *. Also muss das Nullelement von K auf das Nullelement von L abgebildet werden! Somit kann also f(1)=0 garnicht sein! sondern es kommt nur f(0)=0 in frage. Genauso mit dem neutralen Element der Multiplikation!
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Hallo,
> Ein Homomorphismus überträgt die algebraischen strukturen
> von K nach L,
und damit eine Abbildung mit den von Dir gegebenen ersten beiden Eigenschaften das auch wirklich tut, muß man fordern, daß [mm] f(1)\not=0 [/mm] ist.
Hieraus ergibt sich dann sofort f(1)=1.
f(0)=0 erhält man direkt aus der ersten Eigenschaft.
Gruß v. Angela und viel Erfolg!
> somit auch die neutralen Elemente bzgl + und
> *. Also muss das Nullelement von K auf das Nullelement von
> L abgebildet werden! Somit kann also f(1)=0 garnicht sein!
> sondern es kommt nur f(0)=0 in frage. Genauso mit dem
> neutralen Element der Multiplikation!
>
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Hallo,
danke für Deine Antwort.
Du schreibst dort:
"Definition:
Seien K und L Körper. Eine Abbildung φ : K → L heißt Körperhomomorphismus,
wenn gilt
a) φ(k + k ) = φ(k) + φ(k ) für alle k, k ∈ K und
b) φ(kk ) = φ(k)φ(k ) für alle k, k ∈ K.
[...]
Es gilt auch φ(1) = 1, d.h. das neutrale Element der Multiplikation der Gruppe
[mm] (K^{×} [/mm] , ·) wird auf das neutrale Element der Multiplikation der Gruppe [mm] (L^{×} [/mm] , ·) ab-
gebildet. Dabei sei [mm] K^{×} [/mm] := K \ {0}, dann gilt φ(1) = φ(1 · 1) = φ(1)φ(1), d.h.
φ(1) = φ(1)φ(1). Durch Multiplikation mit dem Inversen von φ(1) folgt die Be-
hauptung."
Meiner Meinung nach ist das verkehrt.
Du multiplizierst dort mit dem Inversen von [mm] \varphi(1) [/mm] - was stillschweigend voraussetzt, daß dieses existiert, daß also [mm] \varphi(1)\not=0 [/mm] ist.
Aus Def. b) erhält man für k=1 aus der Nullteilerfreiheit [mm] \varphi(1)=1 [/mm] oder [mm] \varphi(0)=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 So 20.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi Angela,
φ(1) kann nicht Null sein, da ein jeder Körperhomomorphismus injektiv ist, d.h. Kern(φ) besteht nur aus dem Nullelement. Deshalb ist es legitim das Inverse zu bilden und somit ist auch der Nachweis korrekt.
Woher willst Du eigentlich wissen, dass ich dies geschrieben habe?
LG
Alex
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> φ(1) kann nicht Null sein, da ein jeder
> Körperhomomorphismus injektiv ist,
Hallo,
paß auf,
daran, daß wir für einen Körperhomomorphismus fordern (!) müssen, daß [mm] \phi(1)=1 [/mm] ist, habe ich doch überhaupt gar keinen Zweifel.
Was ich bestreite ist, daß sich, wie Du vorhin schriebst, diese Eigenschaft aus den beiden ersten Bedingungen für "Körperhomomorphismus" ergibt. Das ist nicht der Fall, und nur darum geht es mir.
Der Rest ist ja klar.
> Woher willst Du eigentlich wissen, dass ich dies
> geschrieben habe?
Wissen kann ich das gar nicht, oder?
Gruß v. Angela
P.S.: Und was antworten wir nun dem Fragenden? Finden wir einen gemeinsamen Nenner?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 So 20.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
> daran, daß wir für einen Körperhomomorphismus fordern (!)
> müssen, daß [mm]\phi(1)=1[/mm] ist, habe ich doch überhaupt gar
> keinen Zweifel.
> Was ich bestreite ist, daß sich, wie Du vorhin schriebst,
> diese Eigenschaft aus den beiden ersten Bedingungen für
> "Körperhomomorphismus" ergibt. Das ist nicht der Fall, und
> nur darum geht es mir.
Ein Körperhom ist ja ein spez. Ringhom, deshalb gilt gemäß Definition φ(1)=1. Das ist aber eine differente Forderung zu φ(1) ≠ 0. Mit den üblichen Definitionen lässt sich diese Bedingung (im ersten Post mit 3. bezeichnet) daraus implizieren. Einen Nachweis habe ich weiter oben erbracht und bisher konnte ich nicht erkennen, dass Du diesen widerlegt hast.
Natürlich kann ich mich irren (wir sind alle Menschen), doch einfach nur das Gegenteil zu behaupten ohne eine Begründung abzugeben, ist sicher nicht die konstruktivste Art zu kommunizieren.
> > Woher willst Du eigentlich wissen, dass ich dies
> > geschrieben habe?
>
> Wissen kann ich das gar nicht, oder?
>
Dan wundere ich mich über Deine Formulierung aus dem letzten Post.
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> > daran, daß wir für einen Körperhomomorphismus fordern (!)
> > müssen, daß [mm]\phi(1)=1[/mm] ist, habe ich doch überhaupt gar
> > keinen Zweifel.
>
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> > Was ich bestreite ist, daß sich, wie Du vorhin schriebst,
> > diese Eigenschaft aus den beiden ersten Bedingungen für
> > "Körperhomomorphismus" ergibt. Das ist nicht der Fall, und
> > nur darum geht es mir.
>
> Ein Körperhom ist ja ein spez. Ringhom, deshalb gilt gemäß
> Definition φ(1)=1.
Aha.
Also nach doch nach Definition, und nicht als Folgerung aus den beiden Bedingungen?
> Das ist aber eine differente
> Forderung zu φ(1) ≠ 0.
Aus dieser Forderung folgt dann aber mit den oberen Bedingungen [mm] \phi(1)=1.
[/mm]
> Mit den üblichen Definitionen
> lässt sich diese Bedingung (im ersten Post mit 3.
> bezeichnet) daraus implizieren. Einen Nachweis habe ich
> weiter oben erbracht und bisher konnte ich nicht erkennen,
> dass Du diesen widerlegt hast.
1. Zum Beweis in dem Artikel:
Hierzu hatte ich Dir gesagt, daß ich das für verkehrt halte, weil stillschweigend vorausgesetzt wird, daß [mm] \varphi (1)\not=0 [/mm] ist.
2. Die Injektivität der Körperhomomorphismen,
welche nicht aus den beiden Bedingungen folgt, sondern daraus, daß man [mm] \varphi [/mm] (1)=0 ausschließt, und dann tatsächlich die Injektivität eines jeden Körperhomomorphismus erhält.
___
Ich bin mir immer noch nicht ganz sicher, ob wir uns nicht mißverstehen:
mein Reden gilt einzig und allein der Tatsache, daß ich meine, daß man daraus, daß eine Abbildung v. einem Körper K in einen Körper L, die die Eigenschaften
f(x+y)=f(x)+f(y) und f(x*y)=f(x)*f(y) hat, nicht schließen kann, daß [mm] f(1)\not=0 [/mm] ist.
Den ganzen Rest will ich gar nicht weiter bezweifeln. (Wenn ich f(1)=0 ausgeschlossen habe, funktioniert natürlich auch der Beweis mit dem Inversen.)
> Natürlich kann ich mich irren (wir sind alle Menschen),
> doch einfach nur das Gegenteil zu behaupten ohne eine
> Begründung abzugeben, ist sicher nicht die konstruktivste
> Art zu kommunizieren.
Ich war nicht der Meinung, das getan zu haben.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 So 20.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi Angela,
die Probleme beginnen ja bereits bei der Definition von algebra. Ringen, es gibt verschiedene konkurrierende Definitionen die alle ihre Berechtigung haben. Mal sind es Ringe mit Eins mal ohne mal mit Kommutativität mal ohne. Entsprechend schlägt sich das auf die Homomorphismen nieder.
Ich bin bei meiner Behauptung oben, von einem unitären Ring und der Forderung φ(1)=1 ausgegangen. Die Erkenntnis φ(1)=1 kann man aber auch als Folgerung aus der Definition erhalten.
Letztlich hängt es davon ab, welche Strukturen man betrachten will.
LG
Alex
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> Ich bin bei meiner Behauptung oben, von einem unitären Ring
> und der Forderung φ(1)=1 ausgegangen. Die Erkenntnis
> φ(1)=1 kann man aber auch als Folgerung aus der
> Definition erhalten.
Hallo,
ja, so ist es.
Ich bin von der "nackten" Definition, wie sie CGBS aufgeschrieben hatte, ausgegangen,
und Du davon, daß ein Körperisomorphismus selbstverständlich ein Ringhomomorphismus zwischen unitären Ringen ist.
Also können wir als Fazit festhalten, daß wir uns in dieser Angelegenheit einig sind, und die Fragen, die offen schienen, geklärt sind. Schön.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 So 20.01.2008 | | Autor: | CGBS |
ich danke euch beiden!...ich pick mir die wichtigsten punkte von euren beiträgen raus un denk das das genügt für die profs!..danke!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:15 Mo 21.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Alex
> sei φ: K → L ein Körperhomomorphismus, dann gilt:
>
> φ(0) = 0 und φ(1)=1.
>
> Beweise für diese Behauptung findest Du z.B. unter
> http://www.mathematik-netz.de/pdf/Koerpererweiterungen.pdf
Wie Angela schon gesagt hat: das Skript ist an der Stelle falsch, da vergessen wird, [mm] $\varphi(1) [/mm] = 1$ oder [mm] $\varphi(1) \neq [/mm] 0$ (das ist im Falle von Koerpern aequivalent zu ersterem) vorauszusetzen.
Also die Definition an sich ist OK, wenn man es so mag, aber die Folgerung [mm] $\varphi(1) [/mm] = 1$ daraus gilt eben gerade nicht.
LG Felix
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