Def.-Bereich für Umkehrfkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Sin777 |
| Aufgabe | | Man betrachte die Funktion [mm] f:D\to\IR, D\subset\IR [/mm] mit [mm] f(x):=x^n. [/mm] Überlege, wie D in Abhängigkeit von n gewählt werden muss, damit f^(-1) existiert und gib die Umkehrfunktion an. Berechne außerdem ihre Ableitung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Lösung:
[mm] D=\IR, [/mm] für n=2k+1 mit k element von [mm] \IN\cup\{0\}. [/mm] Ansonsten ist keine Umkehrfunktion möglich, da für gerade n der Wertebereich immer nur positive [mm] \IR [/mm] annimmt, was der Zielmenge widerspreicht.
Also ist f:=x^(2k+1) mit [mm] D=\IR
[/mm]
Die Umkehrfunktion wäre dann eine zusammengesetze Funktion:
f^(-1)(y):=e^(ln(y)/(2k+1)) für y>0
f^(-1)(y):=e^(ln(-y)/(2k+1)) für y<0
f^(-1)(y):=0 für y=0
(sorry, ich weiß nicht wie das mit der geschweiften Klammer funktioniert)
f^(-1)(y) ist differenzierbar wenn f(x) differenzierbar ist. Dies ist der Fall, denn f(x) ist ein Monom.
(Die Ableitung schreibe ich erst hier her, wenn ich über den Wahrheitsgehalt der bisherigen Lösung bescheid weiß)
Vielen Dank im Voraus! Bin für jeden Tipp und jede Kritik dankbar!
Gruß
|
|
| |
|
Hallo Sin777,
> Man betrachte die Funktion [mm]f:D\to\IR, D\subset\IR[/mm] mit
> [mm]f(x):=x^n.[/mm] Überlege, wie D in Abhängigkeit von n gewählt
> werden muss, damit f^(-1) existiert und gib die
> Umkehrfunktion an. Berechne außerdem ihre Ableitung.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine Lösung:
>
> [mm]D=\IR,[/mm] für n=2k+1 mit k element von [mm]\IN\cup\{0\}.[/mm]
> Ansonsten ist keine Umkehrfunktion möglich, da für gerade
> n der Wertebereich immer nur positive [mm]\IR[/mm] annimmt, was der
> Zielmenge widerspreicht.
>
> Also ist f:=x^(2k+1) mit [mm]D=\IR[/mm]
>
> Die Umkehrfunktion wäre dann eine zusammengesetze
> Funktion:
> f^(-1)(y):=e^(ln(y)/(2k+1)) für y>0
> f^(-1)(y):=e^(ln(-y)/(2k+1)) für y<0
Das muss doch hier so lauten:
[mm] f^{-1}\left(y\right):=\red{-}e^{\bruch{ln(-y)}{(2k+1)}} , \ y<0[/mm]
Weil mit n ungerade und x < 0 auch y <0 ist.
Eine etwas kompaktere Schreibweise:
[mm]f^{-1}\left(y\right):=\left\{\begin{matrix}e^{\bruch{ln(y)}{(2k+1)}}, & y>0 \\ 0, & y=0 \\ -e^{\bruch{ln(-y)}{(2k+1)}}, & y <0 \end{matrix}[/mm]
Und noch eine andere Schreibweise:
[mm]f^{-1}\left(y\right):=\left\{\begin{matrix}\wurzel[2k+1]{y}, & y \ge 0 \\ -\wurzel[2k+1]{-y}, & y <0 \end{matrix}[/mm]
> f^(-1)(y):=0 für y=0
> (sorry, ich weiß nicht wie das mit der geschweiften
> Klammer funktioniert)
Nun, das schreibst Du so:
f^{-1}(y)
>
> f^(-1)(y) ist differenzierbar wenn f(x) differenzierbar
> ist. Dies ist der Fall, denn f(x) ist ein Monom.
>
> (Die Ableitung schreibe ich erst hier her, wenn ich über
> den Wahrheitsgehalt der bisherigen Lösung bescheid weiß)
>
> Vielen Dank im Voraus! Bin für jeden Tipp und jede Kritik
> dankbar!
>
>
> Gruß
>
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Sin777 |
Vielen Dank! Stimmt, das minus habe ich vergessen aber sonst stimmt meine Lösung zu der Aufgabe?
Die Ableitungen bilde ich ja ganz normal für die jeweiligen Abschnitte oder gibt es da noch etwas zu beachten?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Sin777,
> Vielen Dank! Stimmt, das minus habe ich vergessen aber
> sonst stimmt meine Lösung zu der Aufgabe?
Ja.
> Die Ableitungen bilde ich ja ganz normal für die
> jeweiligen Abschnitte oder gibt es da noch etwas zu
> beachten?
Nein, es ist ja nur nach den Ableitungen gefragt.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
|
|
|
|
