Dedekindscher Schnitt < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Mi 08.07.2009 | | Autor: | notinX |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass $\alpha:=\left\{r\in\mathbb{Q}|5r+4<2\right\}$ ein Dedekindscher Schnitt ist.
b) Gehört der Dedekindsche Schnitt aus a) zu einer rationalen Zahl in \mathbb{R}
c) Zeigen Sie, dass $\left\{r\in\mathbb{Q}\left|\right.r^2<2\right\}$ kein dedekindscher Schnitt ist. |
a) Zunächst muss gezeigt werden, dass \alpha\not=\emptyset und \alpha\not=\mathbb{Q}
Bew: da -5 offensichtlich in \alpha liegt, kann es nicht leer sein, denn -5\in\mathbb{Q} und für r=-5 gilt: 5(-5)+4<2 \Rightarrow -21<2
5 liegt in \mathbb{Q} aber nicht in \alpha, also ist \alpha\not=\mathbb{Q} denn für r=5 gilt: $5\cdot 5+4<2 \Rightarrow 29\not<2$
Jetzt ist zu zeigen, dass aus x \in\alpha und y < x y\in\alpha folgt.
Bew: Sei x\in \alpha und y<x
Für alle x\in\alpha gilt folgende Gleichung:
5x+4<2 \Rightarrow x<-\frac{2}{5} Diese ist offensichtlich für alle y<x erfüllt, somit folgt, dass y\in\alpha
Zuletzt muss gezeigt werden, dass \alpha kein größtes Element hat.
Bew: So jetzt bin ich mit meinem Latein am Ende. Ich weiß, dass "zwischen zwei rationalen Zahlen x und y mit x<y immer (mindestens) eine weitere rationale Zahl z liegt, also x<z<y" Vielleicht kann man das irgendwie verwenden
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> a) Zeigen Sie, dass
> [mm]\alpha:=\left\{r\in\mathbb{Q}|5r+4<2\right\}[/mm] ein
> Dedekindscher Schnitt ist.
> a) Zunächst muss gezeigt werden, dass
> [mm]\alpha\not=\emptyset[/mm] und [mm]\alpha\not=\mathbb{Q}[/mm]
> Bew: da -5 offensichtlich in [mm]\alpha[/mm] liegt, kann es nicht
> leer sein, denn [mm]-5\in\mathbb{Q}[/mm] und für r=-5 gilt:
> 5(-5)+4<2 [mm]\Rightarrow[/mm] -21<2
>
> 5 liegt in [mm]\mathbb{Q}[/mm] aber nicht in [mm]\alpha,[/mm] also ist
> [mm]\alpha\not=\mathbb{Q}[/mm] denn für r=5 gilt: [mm]5\cdot 5+4<2 \Rightarrow 29\not<2[/mm]
Hallo,
ja.
>
> Jetzt ist zu zeigen, dass aus x [mm]\in\alpha[/mm] und y < x
mit [mm] y\in \IQ
[/mm]
> [mm]y\in\alpha[/mm] folgt.
> Bew: Sei [mm]x\in \alpha[/mm] und y<x
> Für alle [mm]x\in\alpha[/mm] gilt folgende Gleichung:
> 5x+4<2 [mm]\Rightarrow x<-\frac{2}{5}[/mm]
>Diese ist offensichtlich
> für alle y<x erfüllt, somit folgt, dass [mm]y\in\alpha[/mm]
Mach die Offensichtlichkeit offensichtlicher:
da [mm] x\in \alpha, [/mm] ist [mm] x<-\bruch{2}{5}.
[/mm]
Da y<x gilt [mm] y<-\bruch{2}{5} [/mm] ==> 5y+4<2 ==> [mm] y\in \alpha.
[/mm]
>
> Zuletzt muss gezeigt werden, dass [mm]\alpha[/mm] kein größtes
> Element hat.
> Bew: So jetzt bin ich mit meinem Latein am Ende. Ich weiß,
> dass "zwischen zwei rationalen Zahlen x und y mit x<y immer
> (mindestens) eine weitere rationale Zahl z liegt, also
> x<z<y" Vielleicht kann man das irgendwie verwenden
Ja.
Nimm an, daß [mm] x_m\in \IQ [/mm] das größte Element in [mm] \alpha [/mm] ist.
Du hast zuvor festgestellt, daß dann [mm] x_m<-\bruch{2}{5}.
[/mm]
Du kannst nun z.B. das Element genau in der Mitte zwischen [mm] x_m [/mm] und [mm] -\bruch{2}{5} [/mm] nehmen. (Dieses ist natürlich größer als [mm] x_m). [/mm] Nun rechnest Du vor, daß dieses Element auch in [mm] \alpha [/mm] liegt. Damit hast Du widerlegt, daß es ein größtes Element gibt.
Gruß v. Angela
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