Dedekindscher Schnitt < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Di 30.09.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo :)
ich bin vor ein paar Tagen über den "Dedekindschen Schnitt" gestolpert und versuche das Ganze jetzt zu verstehen. Klappt aber irgendwie nicht so ganz.
Ich hoffe Ihr könnt mir beim Verständnis helfen, ggf. erklären was der Dedekindsche Schnitt eigentlich ist und was ich wissen muss/sollte.
Wenn ich das Ganze richtig verstanden hab, wird der Dedekindsche Schnitt zur Bestimmung der reellen Zahlen herangezogen.
Es wird davon ausgegangen, dass die Menge der rationalen Zahlen definiert ist und $A,\ B$ nichtleere Teilmengen von [mm] \IQ [/mm] sind.
Für $A,\ B$ gilt:
(1) $ A [mm] \cup [/mm] B = [mm] \IQ\ [/mm] und \ A [mm] \cap [/mm] B [mm] =\emptyset [/mm] $
(2) Für $x,y [mm] \in\ \IQ\ [/mm] gilt:$
$ Wenn\ x [mm] \in [/mm] A\ und\ y\ [mm] \in [/mm] B, [mm] \so [/mm] gilt\ x < y$
Ich nehme an, dass ich mir $ x < y$ so vorstellen darf, dass ein Element $ x [mm] \in [/mm] A$, deshalb kleiner ist, als ein Element $y [mm] \in [/mm] B$, weil die Elemente der Menge $A$ gemäß der aufzählenden Schreibweise von Mengen (hier die Menge von [mm] $\IQ$) [/mm] kleiner sein muss, als die von $B$, wenn $ A [mm] \cup [/mm] B = [mm] \IQ$
[/mm]
Seh ich das richtig?
Und im Grunde komm ich hier glaube ich schon nicht mehr weiter.
Gemäß der Erklärung aus einem Kapitel zur Einführung in die Analysis steht ausserdem:
Eine Zahl heisst Trennungszahl des Schnittes $(A | [mm] B)$\,\ [/mm] wenn
[mm] $a\le [/mm] t [mm] \le [/mm] b$ für alle $a [mm] \in [/mm] A\ und\ b [mm] \in B\$
[/mm]
Ist diese Trennungszahl denn nun die "Lücke", mit der eine irrationale Zahl ausfindig gemacht wird, oder hat das damit garnichts zu tun?
Ich hoffe ihr könnt mit den gegebenen Informationen was anfangen und wisst, wo ich schwierigkeiten hab.
Würde mich freuen:)
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Di 30.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo :)
>
> ich bin vor ein paar Tagen über den "Dedekindschen Schnitt"
> gestolpert und versuche das Ganze jetzt zu verstehen.
> Klappt aber irgendwie nicht so ganz.
>
> Ich hoffe Ihr könnt mir beim Verständnis helfen, ggf.
> erklären was der Dedekindsche Schnitt eigentlich ist und
> was ich wissen muss/sollte.
>
>
> Wenn ich das Ganze richtig verstanden hab, wird der
> Dedekindsche Schnitt zur Bestimmung der reellen Zahlen
> herangezogen.
Dedekindsche Schnitte sind eine Möglichkeit die reellen Zahlen aus den rationalen zu konstruieren.
>
> Es wird davon ausgegangen, dass die Menge der rationalen
> Zahlen definiert ist und [mm]A,\ B[/mm] nichtleere Teilmengen von
> [mm]\IQ[/mm] sind.
>
> Für [mm]A,\ B[/mm] gilt:
>
> (1) [mm]A \cup B = \IQ\ und \ A \cap B =\emptyset[/mm]
>
>
> (2) Für [mm]x,y \in\ \IQ\ gilt:[/mm]
>
> [mm]Wenn\ x \in A\ und\ y\ \in B, \so gilt\ x < y[/mm]
>
> Ich nehme an, dass ich mir [mm]x < y[/mm] so vorstellen darf, dass
> ein Element [mm]x \in A[/mm], deshalb kleiner ist, als ein Element [mm]y \in B[/mm],
> weil die Elemente der Menge [mm]A[/mm] gemäß der aufzählenden
> Schreibweise von Mengen (hier die Menge von [mm]\IQ[/mm]) kleiner
> sein muss, als die von [mm]B[/mm], wenn [mm]A \cup B = \IQ[/mm]
>
> Seh ich das richtig?
Es ist einfach jedes Element aus A kleiner als jedes aus B.
Deswegen auch der Name "Schnitt". Du nimmst dir die rationalen Zahlen als Zahlengerade (nur eben mit sehr vielen "Lücken" da die irrationalen Zahlen fehlen) und legst einfach irgendeinen Punkt auf dieser Geraden fest. Alle rationalen Zahlen links davon sind in der Menge A und alle rechts davon in der Menge B. Du zerschneidest sozusagen die Zahlengerade in zwei Stücke (Stück A und Stück B).
>
> Und im Grunde komm ich hier glaube ich schon nicht mehr
> weiter.
>
> Gemäß der Erklärung aus einem Kapitel zur Einführung in die
> Analysis steht ausserdem:
>
> Eine Zahl heisst Trennungszahl des Schnittes [mm](A | B)[/mm][mm] \,\[/mm]
> wenn
>
> [mm]a\le t \le b[/mm] für alle [mm]a \in A\ und\ b \in B\[/mm]
>
> Ist diese Trennungszahl denn nun die "Lücke", mit der eine
> irrationale Zahl ausfindig gemacht wird, oder hat das damit
> garnichts zu tun?
Wird dort auch gesagt aus welcher Menge dieses "t" ist? Weil ansonsten macht es absolut keinen Sinn.
>
> Ich hoffe ihr könnt mit den gegebenen Informationen was
> anfangen und wisst, wo ich schwierigkeiten hab.
>
Ein Dedekindscher Schnitt ist so ein Paar (A,B). Und die reellen Zahlen sind die Menge aller dieser Schnitte (bzw. wird bei Wikipedia nur die "untere" Menge A als Schnitt bezeichnet und die reellen Zahlen sind dann die Menge dieser Mengen A - ist aber von der Vorstellung her schwerer find ich).
Klingt komisch, ist auch so.
Was wichtig ist, ist eben diese "Lücke" dazwischen. Es gibt jetzt zwei Fälle. Entweder hat die Menge A ein Supremum in [mm] \IQ [/mm] oder nicht. Falls es eins hat, dann wird dieser Schnitt (A,B) mit diesem Supremum identifiziert (also dieser rationalen Zahl). Dadurch haben wir schon mal -alle- rationalen Zahlen in unseren "reellen" Zahlen gefunden. Es gibt aber auch noch die anderen Schnitte (z.B. wenn man A definiert als [mm]\{x\in\IQ | x < 0 \vee x^2 < 2\}[/mm]). Hier hat A kein Supremum in [mm] \IQ [/mm] und man nennt diese "reelle" Zahl, also dieses Paar (A,B), irrationale Zahl. In diesem Fall wäre es die irrationale Zahl [mm] \sqrt{2}.
[/mm]
Und jetzt muss man eben noch die Addition und die Multiplikation solcher Paare (A,B) definieren und dann zeigen, dass das wirklich einen Körper bildet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Mi 01.10.2008 | | Autor: | ChopSuey |
> Dedekindsche Schnitte sind eine Möglichkeit die reellen
> Zahlen aus den rationalen zu konstruieren.
Das hab ich soweit verstanden, ja.
> Es ist einfach jedes Element aus A kleiner als jedes aus
> B.
> Deswegen auch der Name "Schnitt". Du nimmst dir die
> rationalen Zahlen als Zahlengerade (nur eben mit sehr
> vielen "Lücken" da die irrationalen Zahlen fehlen) und
> legst einfach irgendeinen Punkt auf dieser Geraden fest.
> Alle rationalen Zahlen links davon sind in der Menge A und
> alle rechts davon in der Menge B. Du zerschneidest
> sozusagen die Zahlengerade in zwei Stücke (Stück A und
> Stück B).
Klingt logisch, auch das versteh ich. Demnach hab ich doch damit recht, dass $A, B$ disjunkt sind und vereint die Menge der rationalen Zahlen bilden, oder?
> Ein Dedekindscher Schnitt ist so ein Paar (A,B). Und die
> reellen Zahlen sind die Menge aller dieser Schnitte (bzw.
> wird bei Wikipedia nur die "untere" Menge A als Schnitt
> bezeichnet und die reellen Zahlen sind dann die Menge
> dieser Mengen A - ist aber von der Vorstellung her schwerer
> find ich).
>
> Klingt komisch, ist auch so.
Hier komm ich schon ein wenig durcheinander, bzw fällt es mir schwer, das ganze genauer nachvollziehen zu können.
Für den Fall, dass ich auf der "Zahlengerade" der rationalen Zahlen (die der Menge aller rationalen Zahlen entspricht) willkürlich einen Punkt setze und diesen Bspw. P nenne, dann Teile ich also die Menge der rationalen Zahlen in diesem Punkt P in 2 Klassen $(A|B)$.
Ist das richtig?
Was sagen mir nun diese beiden Klassen genau? Ich weiss, dass $a < b$ für $a [mm] \in [/mm] A$ und $b [mm] \in [/mm] B$
aber was erfahr ich dann aus diesen beiden geteilten Mengen?
> Was wichtig ist, ist eben diese "Lücke" dazwischen. Es gibt
> jetzt zwei Fälle. Entweder hat die Menge A ein Supremum in
> [mm]\IQ[/mm] oder nicht. Falls es eins hat, dann wird dieser Schnitt
> (A,B) mit diesem Supremum identifiziert (also dieser
> rationalen Zahl). Dadurch haben wir schon mal -alle-
> rationalen Zahlen in unseren "reellen" Zahlen gefunden. Es
> gibt aber auch noch die anderen Schnitte (z.B. wenn man A
> definiert als [mm]\{x\in\IQ | x < 0 \vee x^2 < 2\}[/mm]). Hier hat A
> kein Supremum in [mm]\IQ[/mm] und man nennt diese "reelle" Zahl,
> also dieses Paar (A,B), irrationale Zahl. In diesem Fall
> wäre es die irrationale Zahl [mm]\sqrt{2}.[/mm]
Hier kann ich Dir dann schon nicht mehr wirklich folgen, da ich oben schon den ersten Hänger hab.
> Und jetzt muss man eben noch die Addition und die
> Multiplikation solcher Paare (A,B) definieren und dann
> zeigen, dass das wirklich einen Körper bildet.
Das mach ich dann, sobald ich das Grundprinzip verinnerlicht hab :)
Danke schonmal für die Hilfe
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:52 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Klingt logisch, auch das versteh ich. Demnach hab ich doch
> damit recht, dass [mm]A, B[/mm] disjunkt sind und vereint die Menge
> der rationalen Zahlen bilden, oder?
>
Richtig, aber das hast du doch schon im ersten Post geschrieben.
>
> > Ein Dedekindscher Schnitt ist so ein Paar (A,B). Und die
> > reellen Zahlen sind die Menge aller dieser Schnitte (bzw.
> > wird bei Wikipedia nur die "untere" Menge A als Schnitt
> > bezeichnet und die reellen Zahlen sind dann die Menge
> > dieser Mengen A - ist aber von der Vorstellung her schwerer
> > find ich).
> >
> > Klingt komisch, ist auch so.
>
> Hier komm ich schon ein wenig durcheinander, bzw fällt es
> mir schwer, das ganze genauer nachvollziehen zu können.
Du kannst es mit rationalen Zahlen vergleichen... die sind ja auch nur geordnete Paare von ganzen Zahlen. Das erste Element des Paares ("das A") ist der Zähler und das zweite Element eben der Nenner. Und dann definiert man sich auf diesen geordneten Paaren eine Addition und eine Multiplikation und kann dann zeigen, dass es ein Körper wird.
Und bei Dedekindschen Schnitten sind die reellen Zahlen dann eben geordnete Paare von Mengen (von rationalen Zahlen).
>
> Für den Fall, dass ich auf der "Zahlengerade" der
> rationalen Zahlen (die der Menge aller rationalen Zahlen
> entspricht) willkürlich einen Punkt setze und diesen Bspw.
> P nenne, dann Teile ich also die Menge der rationalen
> Zahlen in diesem Punkt P in 2 Klassen [mm](A|B)[/mm].
> Ist das richtig?
>
> Was sagen mir nun diese beiden Klassen genau? Ich weiss,
> dass [mm]a < b[/mm] für [mm]a \in A[/mm] und [mm]b \in B[/mm]
>
> aber was erfahr ich dann aus diesen beiden geteilten
> Mengen?
>
Es geht nicht direkt um diese geteilten Mengen, die sind nur Mittel zum Zweck.
Für den Punkt P hast du doch zwei Möglichkeiten. Entweder ist er eine rationale Zahl oder eine irrationale. Deswegen diese umständliche Konstruktion mit den Mengen, denn wenn P eine irrationale Zahl ist, dann kannst du sie ja nicht direkt auswählen, da du ja per Voraussetzung nur die rationalen kennst. Du kannst aber trotzdem [mm] \IQ [/mm] "an dieser irrationalen Zahl trennen" in zwei Teilmengen.
Und das ist genau das, was ich dir weiter unten versuche zu erklären. Wenn P eine rationale Zahl ist, dann hat die Menge A ein Supremum, nämlich P. Wenn P eine irrationale Zahl ist, dann hat die Menge A kein Supremum.
>
> > Was wichtig ist, ist eben diese "Lücke" dazwischen. Es gibt
> > jetzt zwei Fälle. Entweder hat die Menge A ein Supremum in
> > [mm]\IQ[/mm] oder nicht. Falls es eins hat, dann wird dieser Schnitt
> > (A,B) mit diesem Supremum identifiziert (also dieser
> > rationalen Zahl). Dadurch haben wir schon mal -alle-
> > rationalen Zahlen in unseren "reellen" Zahlen gefunden. Es
> > gibt aber auch noch die anderen Schnitte (z.B. wenn man A
> > definiert als [mm]\{x\in\IQ | x < 0 \vee x^2 < 2\}[/mm]). Hier hat A
> > kein Supremum in [mm]\IQ[/mm] und man nennt diese "reelle" Zahl,
> > also dieses Paar (A,B), irrationale Zahl. In diesem Fall
> > wäre es die irrationale Zahl [mm]\sqrt{2}.[/mm]
>
> Hier kann ich Dir dann schon nicht mehr wirklich folgen, da
> ich oben schon den ersten Hänger hab.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:15 Mi 01.10.2008 | | Autor: | ChopSuey |
>
> Du kannst es mit rationalen Zahlen vergleichen... die sind
> ja auch nur geordnete Paare von ganzen Zahlen. Das erste
> Element des Paares ("das A") ist der Zähler und das zweite
> Element eben der Nenner. Und dann definiert man sich auf
> diesen geordneten Paaren eine Addition und eine
> Multiplikation und kann dann zeigen, dass es ein Körper
> wird.
>
> Und bei Dedekindschen Schnitten sind die reellen Zahlen
> dann eben geordnete Paare von Mengen (von rationalen
> Zahlen).
Bis hierhin einleuchtend.
> Es geht nicht direkt um diese geteilten Mengen, die sind
> nur Mittel zum Zweck.
>
> Für den Punkt P hast du doch zwei Möglichkeiten. Entweder
> ist er eine rationale Zahl oder eine irrationale. Deswegen
> diese umständliche Konstruktion mit den Mengen, denn wenn P
> eine irrationale Zahl ist, dann kannst du sie ja nicht
> direkt auswählen, da du ja per Voraussetzung nur die
> rationalen kennst. Du kannst aber trotzdem [mm]\IQ[/mm] "an dieser
> irrationalen Zahl trennen" in zwei Teilmengen.
>
So, jetzt versteh ichs. Das Supremum erschwert das direkte Verständnis allerdings, da ich Suprema nicht aus unserer Schulmathematik kenne, leider. Das ist neuland für mich.
Ich denke, dass das Ganze erschwinglicher für mich wird, wenn ich mich näher mit halbgeordneten Mengen beschäftige, wenn das das richtige Teilgebiet ist.
Vielen Dank für die Hilfe
Gruß
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> So, jetzt versteh ichs. Das Supremum erschwert das direkte
> Verständnis allerdings, da ich Suprema nicht aus unserer
> Schulmathematik kenne, leider. Das ist neuland für mich.
>
> Ich denke, dass das Ganze erschwinglicher für mich wird,
> wenn ich mich näher mit halbgeordneten Mengen beschäftige,
> wenn das das richtige Teilgebiet ist.
Das mit dem Supremum ist aber gerade der springende Punkt.
Der Unterschied zwischen [mm] \IR [/mm] und [mm] \IQ [/mm] ist, dass [mm] \IR [/mm] vollständig ist und [mm] \IQ [/mm] nicht. Das äußert sich unter anderem darin, dass in [mm] \IR [/mm] jede nach oben beschränkte Menge ein Supremum hat, während das in [mm] \IQ [/mm] nicht der Fall zu sein braucht.
Man sagt auch, [mm] \IR [/mm] ist die Vervollständigung von [mm] \IQ.
[/mm]
Wenn du dich weiter hier reinlesen willst, dann Beschäftige dich lieber mit Vollständigkeit von metrischen Räumen (das wird meist über Cauchy-Folgen definiert).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Mi 01.10.2008 | | Autor: | ChopSuey |
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> Das mit dem Supremum ist aber gerade der springende Punkt.
> Der Unterschied zwischen [mm]\IR[/mm] und [mm]\IQ[/mm] ist, dass [mm]\IR[/mm]
> vollständig ist und [mm]\IQ[/mm] nicht. Das äußert sich unter
> anderem darin, dass in [mm]\IR[/mm] jede nach oben beschränkte Menge
> ein Supremum hat, während das in [mm]\IQ[/mm] nicht der Fall zu sein
> braucht.
> Man sagt auch, [mm]\IR[/mm] ist die Vervollständigung von [mm]\IQ.[/mm]
>
> Wenn du dich weiter hier reinlesen willst, dann Beschäftige
> dich lieber mit Vollständigkeit von metrischen Räumen (das
> wird meist über Cauchy-Folgen definiert).
Super, vielen Dank für den Hinweis! Danke auch für die Erklärungen und die Zeit
Grüße,
ChopSuey
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