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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:25 Mo 29.09.2008 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Ist [mm] \mathfrak {G} [/mm] ein System von nichtleeren Mengen, so besteht die Vereinigung
[mm] \bigcup_{M\in\mathfrak {G}} M [/mm]
[...] der Durchschnitt:
[mm] \bigcap_{M\in\mathfrak {G}} M [/mm]
Sind alle Mengen [mm] M \in \mathfrak {G} [/mm] Teilmengen einer festen Universalmenge $ U $, so ist [mm]U \setminus N[/mm] das Komplement einer Teilmenge [mm] N [/mm] von [mm] U [/mm] gleich [mm] N' [/mm]
Beweise die 2. De Morganschen Komplementierungsregel, dass:
[mm] (\bigcap_{M\in\mathfrak {G}} M)' [/mm] = [mm] \bigcup_{M\in\mathfrak {G}} M' [/mm] |
Die gegebenen Infos sind aus dem Buch kopiert, ich wollte den 2. Satz von De Morgan gern beweisen und würde mich über eine Korrektur sehr freuen. In der Schule müssen wir i.d.R. nichts beweisen, darum wäre ich über hilfreiche Hinweise o.ä. sehr dankbar.
[mm] (\bigcap_{M\in\mathfrak {G}} M)' [/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] [mm] (x \in U\ \ und\ \ x \not\in \bigcap_{M\in\mathfrak {G}} M\ \ fuer\ \ M\in\mathfrak {G})[/mm]
[mm]
\Rightarrow (x \in U\ \ und\ \ x \in M'\ \ fuer\ M\in\mathfrak {G}) \Rightarrow \bigcup_{M\in\mathfrak {G}} M'\ \ fuer\ \ M\in\mathfrak {G} [/mm]
Hoffe mal, dass das alles so stimmt 
Gruß
P.S. Sorry, falls ich ihm falschen Bereich gelandet bin. Wusste wirklich nicht, wohin damit und dachte die De Morganschen Sätze passen dann am besten in die Stochastik.
Grüße,
Chop Suey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Mo 29.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ist [mm]\mathfrak {G}[/mm] ein System von nichtleeren Mengen, so
> besteht die Vereinigung
>
> [mm]\bigcup_{M\in\mathfrak {G}} M[/mm]
>
> [...] der Durchschnitt:
>
> [mm]\bigcap_{M\in\mathfrak {G}} M[/mm]
>
> Sind alle Mengen [mm]M \in \mathfrak {G}[/mm] Teilmengen einer
> festen Universalmenge [mm]U [/mm], so ist [mm]U \setminus N[/mm] das
> Komplement einer Teilmenge [mm]N[/mm] von [mm]U[/mm] gleich [mm]N'[/mm]
>
> Beweise die 2. De Morganschen Komplementierungsregel,
> dass:
>
> [mm](\bigcap_{M\in\mathfrak {G}} M)'[/mm] = [mm]\bigcup_{M\in\mathfrak {G}} M'[/mm]
>
> Die gegebenen Infos sind aus dem Buch kopiert, ich wollte
> den 2. Satz von De Morgan gern beweisen und würde mich über
> eine Korrektur sehr freuen. In der Schule müssen wir i.d.R.
> nichts beweisen, darum wäre ich über hilfreiche Hinweise
> o.ä. sehr dankbar.
>
> [mm](\bigcap_{M\in\mathfrak {G}} M)'[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](x \in U\ \ und\ \ x \not\in \bigcap_{M\in\mathfrak {G}} M\ \ fuer\ \ M\in\mathfrak {G})[/mm]
>
> [mm]
\Rightarrow (x \in U\ \ und\ \ x \in M'\ \ fuer\ M\in\mathfrak {G}) \Rightarrow \bigcup_{M\in\mathfrak {G}} M'\ \ fuer\ \ M\in\mathfrak {G}[/mm]
>
> Hoffe mal, dass das alles so stimmt
>
> Gruß
>
> P.S. Sorry, falls ich ihm falschen Bereich gelandet bin.
> Wusste wirklich nicht, wohin damit und dachte die De
> Morganschen Sätze passen dann am besten in die Stochastik.
>
> Grüße,
> Chop Suey
> Möglicherwise meinst Du das Richtige, aber korrekt aufgeschrieben hast Du es nicht. Zudem hast Du nur "bewiesen:
$ [mm] (\bigcap_{M\in\mathfrak {G}} [/mm] M)' $ [mm] \subseteq [/mm] $ [mm] \bigcup_{M\in\mathfrak {G}} [/mm] M' $
Korrekt geht das so:
x [mm] \in [/mm] $ [mm] (\bigcap_{M\in\mathfrak {G}} [/mm] M)' $ [mm] \gdw [/mm] x [mm] \not\in \bigcap_{M\in\mathfrak {G} M} \gdw [/mm] es ex. M [mm] \in [/mm] $ [mm] \mathfrak [/mm] {G} $ mit [mm] x\not\in [/mm] M [mm] \gdw [/mm] es ex. M [mm] \in [/mm] $ [mm] \mathfrak [/mm] {G} $ mit x [mm] \in [/mm] M' [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] $ [mm] \bigcup_{M\in\mathfrak {G}} [/mm] M' $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mo 29.09.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo fred79,
wenn ich das richtig Verstanden habe, liegt der Fehler hier:
[mm]
\Rightarrow (x \in U\ \ und\ \ x \in M'\ \ fuer\ M\in\mathfrak {G}) \Rightarrow \bigcup_{M\in\mathfrak {G}} M'\ \ fuer\ \ M\in\mathfrak {G}[/mm]
ich meine, dass es nun so stimmen sollte:
[mm](\bigcap_{M\in\mathfrak {G}} M)'[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](x \in U\ \ und\ \ x \not\in \bigcap_{M\in\mathfrak {G}} M\ \ fuer\ \ M\in\mathfrak {G})[/mm]
[mm]
\Rightarrow (x \in U\ \ und\ \ x \not\in M\ \ fuer\ M\in\mathfrak {G}) \Rightarrow (x \in M'\ \ fuer\ M\in\mathfrak {G})
\Rightarrow x \in \bigcup_{M\in\mathfrak {G}} M'\ \ fuer\ \ M\in\mathfrak {G}[/mm]
würde mich über Hinweise natürlich freuen.
Vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Di 30.09.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo fred79,
>
> wenn ich das richtig Verstanden habe, liegt der Fehler
> hier:
>
>
> [mm]
\Rightarrow (x \in U\ \ und\ \ x \in M'\ \ fuer\ M\in\mathfrak {G}) \Rightarrow \bigcup_{M\in\mathfrak {G}} M'\ \ fuer\ \ M\in\mathfrak {G}[/mm]
>
>
> ich meine, dass es nun so stimmen sollte:
>
> [mm](\bigcap_{M\in\mathfrak {G}} M)'[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](x \in U\ \ und\ \ x \not\in \bigcap_{M\in\mathfrak {G}} M\ \ fuer\ \ M\in\mathfrak {G})[/mm]
>
> [mm]
\Rightarrow (x \in U\ \ und\ \ x \not\in M\ \ fuer\ M\in\mathfrak {G}) \Rightarrow (x \in M'\ \ fuer\ M\in\mathfrak {G})
\Rightarrow x \in \bigcup_{M\in\mathfrak {G}} M'\ \ fuer\ \ M\in\mathfrak {G}[/mm]
Du musst unterscheiden zwischen "für alle" und "für ein". Und, wie Fred richtig bemerkte, gehen die Implikationen in beide Richtungen.
[mm](x\in\bigcap_{M\in\mathfrak {G}} M)' \gdw (x \in U \text{ und } x \not\in \bigcap_{M\in\mathfrak {G}} M)
\gdw (x \in U \text{ und } x \not\in M \text{ für \textbf{(mindestens) ein} $M\in\mathfrak {G}$})[/mm]
[mm] \gdw (x\in M' \text{ für \textbf{ein} $M\in\mathfrak {G}$}) \gdw x \in \bigcup_{M\in\mathfrak {G}} M' [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:31 Mi 01.10.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo rainerS,
danke für den Hinweis, hab das ganz ausser Acht gelassen. Ist nun schlüssig.
Das mit der Implikationen versteh ich auch, auch danke für diesen Hinweis.
schönen Abend noch
Gruß
P.S. Dank natürlich auch an die anderen Antworten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Di 30.09.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Chop Suey,
ich weiss leider nicht, was U ist.
Zu zeigen ist
(i) $ [mm] (\bigcap_{M\in\mathfrak {G}} [/mm] M)' [mm] \subset \bigcup_{M\in\mathfrak {G}} [/mm] M' $ und
und
(ii) [mm] $\bigcup_{M\in\mathfrak {G}} [/mm] M' [mm] \subset (\bigcap_{M\in\mathfrak {G}} [/mm] M)' $
Zu (i): Waehle [mm] $x\in (\bigcap_{M\in\mathfrak {G}} [/mm] M)'$. Dann ist [mm] $x\notin \bigcap_{M\in\mathfrak {G}} [/mm] M$.
Mithin ist [mm] $x\notin M_0$ [/mm] fuer ein [mm] $M_0\in\mathfrak [/mm] {G}$. Also ist [mm] $x\in M_0'$ [/mm] und folglich [mm] $x\in\bigcup_{M\in\mathfrak {G}} [/mm] M'$.
(ii) Versuche das mal selbst.
vg Luis
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