De Morgan´sche Regel < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] 1.A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus [/mm] C)
[mm] 2.A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus [/mm] C) |
Ich möchte diese beiden Regeln von De Morgan beweisen, weiß aber nicht so recht wie. Ich habe mal etwas versucht, aber ich habe wirklich keine richtige Ahnung, wie das gehen soll!
Hier meine "Idee":
zu 1. [mm] A\setminus(B \cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus [/mm] C)
[mm] x\in A\setminus (B\cup C)\gdw x\in A\wedge x\not\in [/mm] B [mm] \wedge x\not\in [/mm] C
[mm] \Rightarrow x\in A\setminus B\wedge x\in A\setminus [/mm] C
[mm] \Rightarrow x\in(A\setminus B)\cap (A\setminus [/mm] C)
Und welche Pfeile muss ich setzen, damit die Bedeutung stimmt?
Ich denke mal, meine Idee ist nicht richtig!
Bitte um Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Sa 17.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]1.A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus[/mm] C)
>
> [mm]2.A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus[/mm] C)
> Ich möchte diese beiden Regeln von De Morgan beweisen,
> weiß aber nicht so recht wie. Ich habe mal etwas versucht,
> aber ich habe wirklich keine richtige Ahnung, wie das gehen
> soll!
>
> Hier meine "Idee":
> zu 1. [mm]A\setminus(B \cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)[/mm]
>
> [mm]x\in A\setminus (B\cup C)\gdw x\in A\wedge x\not\in B\wedge x\not\in C[/mm]
> [mm]\Rightarrow x\in A\setminus B\wedge x\in A\setminus C[/mm]
> [mm]\Rightarrow x\in(A\setminus B)\cap (A\setminus C)[/mm]
>
> Und welche Pfeile muss ich setzen, damit die Bedeutung
> stimmt?
> Ich denke mal, meine Idee ist nicht richtig!
Dein Ansatz ist in Ordnung, du musst ihn ein bischen verfeinern. Manchmal hilft es, wenn man ein solches Problem von beiden Seiten angeht, um sich in der Mitte zu treffen. Also:
[mm] x\in A\setminus (B\cup C)\gdw x\in A\wedge x\not\in B\wedge x\not\in C[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du solltest vielleicht noch den Zwischenschritt
[mm] x\in A\wedge x\notin (B\cup C)[/mm]
einfügen.
Jetzt fange ich mal von hinten an:
[mm]x\in(A\setminus B)\cap (A\setminus C)[/mm]
[mm] \gdw (x\in A \wedge x\notin B) \wedge (x\in A \wedge x\notin C) [/mm]
[mm] \gdw x\in A \wedge x\notin B\wedge x\in A \wedge x\notin C [/mm]
Vertauschung des zweiten und dritten Terms:
[mm] \gdw x\in A \wedge x\in A\wedge x\notin B\wedge x\notin C [/mm]
[mm] $x\in [/mm] A [mm] \wedge x\in [/mm] A$ ist eine Tautologie, also:
[mm] \gdw x\in A \wedge x\notin B\wedge x\notin C [/mm]
Aha, also sind wir beim selben Ausdruck angekommen wie oben. Setze beide Teile zusammen!
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Danke Rainer, aber muss das nicht "oder" heißen bei einigen Ausführungen, also [mm] \vee, [/mm] besonders in der ersten Zeile?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hi Mathegirl,
wenn $\ x [mm] \not\in \left( B \cup C \right) [/mm] $ dann ist $\ x $ weder Element von $\ B$, noch von $\ C $, d.h. $\ x $ darf darf nicht in $\ B$ und nicht in $\ C $ enthalten sein.
$ x [mm] \not\in \left( B \cup C \right) \gdw [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C $.
Nun klarer?
Viele Grüße
ChopSuey
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ja okay, das stimmt. Verstanden habe ich das jetzt auch!
wenn ich Aussage 1 beweisen möchte, muss ich doch in beide Richtungen beweisen, also [mm] "\Rightarrow" [/mm] und [mm] "\Rightarrow" [/mm] oder?
also müsste dann theoretisch der Beweis von [mm] "\Rightarrow" [/mm] folgendermaßen lauten:
[mm] A\setminus(B \cup [/mm] C) [mm] \gdw x\in A\wedge x\not\in B\vee x\not\in [/mm] C
[mm] \gdw x\in A\wedge x\in B\wedge x\in A\wedge x\not\in [/mm] C
[mm] \gdw x\in A\wedge x\not\in B\wedge x\in A\wedge x\in [/mm] C
Oder liege ich da falsch? Oder fehlt da was?
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Hi Mathegirl,
Rainer hat die logischen Implikationen einwandfrei aufgeschrieben. Versuch das am Besten zu verstehen.
Ich schreib's dir trozdem mal gerne auf:
1. $ [mm] A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus [/mm] C) $
Wir wollen also zeigen $\ [mm] \left(A\setminus(B\cup C)\right) \subseteq \left( (A\setminus B)\cap(A\setminus C) \right) [/mm] $ das ist die eine Richtung "$\ [mm] \Rightarrow [/mm] $ "
Und dann zeigen wir $\ [mm] \left( (A\setminus B)\cap(A\setminus C) \right) \subseteq \left(A\setminus(B\cup C)\right) [/mm] $ das ist dann "$\ [mm] \Leftarrow [/mm] $"
"$\ [mm] \Rightarrow [/mm] $ "
$\ x [mm] \in \left(A\setminus(B\cup C)\right) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in (B\cup [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] ( x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] ( [mm] A\setminus [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] ( [mm] A\setminus [/mm] C )$
Nun die andere Richtung "$\ [mm] \Leftarrow [/mm] $ "
$\ x [mm] \in \left( (A\setminus B)\cap(A\setminus C) \right) \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] ( x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \cup [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in (A\setminus (B\cup [/mm] C))$
$\ [mm] \Box [/mm] $
Aber natürlich kann man es (einfacher und schneller) mit der äquivalenz $\ [mm] \gdw [/mm] $ in 2 Zeilen zeigen.
Das funktioniert natürlich nur dann, wenn beide Mengen gleich sind.
> ja okay, das stimmt. Verstanden habe ich das jetzt auch!
>
> wenn ich Aussage 1 beweisen möchte, muss ich doch in beide
> Richtungen beweisen, also [mm]"\Rightarrow"[/mm] und [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> oder?
>
> also müsste dann theoretisch der Beweis von [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> folgendermaßen lauten:
>
> [mm]A\setminus(B \cup[/mm] C) [mm]\gdw x\in A\wedge x\not\in B\vee x\not\in[/mm]
> C
> [mm]\gdw x\in A\wedge x\in B\wedge x\in A\wedge x\not\in[/mm] C
> [mm]\gdw x\in A\wedge x\not\in B\wedge x\in A\wedge x\in[/mm] C
>
> Oder liege ich da falsch? Oder fehlt da was?
>
>
>
Wenn es etwas gibt, dass dir Unklar ist, frag einfach 
Viele Grüße
ChopSuey
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Vielen Vielen Dank!!
Ich denke warscheinlich echt zu kompliziert! Und vor allem zu unlogisch!
Aber ich denke, dass ich es verstanden habe!
Allerdings habe ich bei der Aussage 2 die zu Beweisen ist schon wieder meine probleme. das Verständnis, wann ich [mm] \vee [/mm] oder [mm] \wedge [/mm] verwenden muss, das ist immer noch so ein Problem.
Vielen dank nochmal
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Hi Mathegirl,
ich musste das auch erstmal verstehen  Ging mir nicht anders als Dir.
Ich habe das Gefühl, dass du versuchst die Vereinigungsmenge $\ [mm] \cup [/mm] $ in ein logisches "und" $\ [mm] \wedge [/mm] $ zu übersetzen. Das ist ja auch nicht so verkehrt, denn wenn $\ x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$, dann ist nach Definition der Vereinungsmenge $\ x [mm] \in [/mm] A $ oder $ x [mm] \in [/mm] B$ oder auch in Beiden meinetwegen enthalten, das kannst du gewiss schreiben als
$\ x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B $.
Aber wenn $\ x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B $ dann ist $\ x $ nicht(!) in $\ A $ und nicht(!) in $\ B $
Also $\ x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B $
Vielleicht hilft Dir ja der Artikel ![[]](/images/popup.gif) De Morgansche Gesetze:Wikipedia.
Viele Grüße
ChopSuey
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Dann werd ich die Hoffnung mal nicht aufgeben, das ich das auch irgendwann nochmal verstehen werde!! Der Ehrgeiz und das Interesse sind ja schonmal da! :)
Ich habe mich mal an der Aussage:
[mm] A\setminus( B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus [/mm] C)
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
[mm] x\in(A\setminus(B\cap [/mm] C))
[mm] \Rightarrow x\in A\wedge x\not\in(B\cap [/mm] C)
[mm] \Rightarrow (x\in A\wedge x\in B)\vee(x\in A\wedge x\in [/mm] C)
[mm] \Rightarrow x\in( A\setminus B)\vee x\in( A\setminus [/mm] C)
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
[mm] x\in(A\setminus B)\cup(A\setminus [/mm] C)
[mm] \Rightarrow(x\in A\wedge x\not\in B)\vee(x\in A\wedge x\not\in [/mm] C)
[mm] \Rightarrow x\in A\wedge x\in A\wedge x\not\in B\vee x\not\in [/mm] C
[mm] \Rightarrow x\in A\wedge x\in [/mm] A ist eine Tautologie, also:
[mm] x\in A\wedge x\not\in B\vee x\not\in [/mm] C
Ich glaube nicht, dass der Beweis korrekt ist, aber es wäre schön, wenn jemand ihn korrigieren könnte bzw. mir sagen kann, wo meine Fehler liegen.
Welche Pfeile muss ich nutzen? ich denke mal [mm] \Rightarrow [/mm] und nicht [mm] \gdw
[/mm]
Eine Gute Nacht und vielleicht kann mir hierbei jemand nochmal helfen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:11 So 18.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Dann werd ich die Hoffnung mal nicht aufgeben, das ich das
> auch irgendwann nochmal verstehen werde!! Der Ehrgeiz und
> das Interesse sind ja schonmal da! :)
>
> Ich habe mich mal an der Aussage:
> [mm]A\setminus( B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus[/mm] C)
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
Du meinst eher [mm] "$\subseteq$". [/mm] Es ist ja keine Implikation oder Aequivalenz zu zeigen.
> [mm]x\in(A\setminus(B\cap[/mm] C))
> [mm]\Rightarrow x\in A\wedge x\not\in(B\cap[/mm] C)
Erstmal:
[mm]\Rightarrow x\in A\wedge \neg(x\in B \wedge x \in C)[/mm]
[mm]\Rightarrow x\in A\wedge (x\not\in B \vee x \not\in C)[/mm]
Daraus folgt allerdings
[mm]\Rightarrow (x\in A\wedge x\not\in B) \vee (x \in A \wedge x \not\in C)[/mm]
und nicht
> [mm]\Rightarrow (x\in A\wedge x\in B)\vee(x\in A\wedge x\in C)[/mm]
> [mm]\Rightarrow x\in( A\setminus B)\vee x\in( A\setminus[/mm] C)
Das folgt auch nicht aus der Zeile davor.
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
Du meinst eher [mm] "$\supseteq$".
[/mm]
> [mm]x\in(A\setminus B)\cup(A\setminus[/mm] C)
> [mm]\Rightarrow(x\in A\wedge x\not\in B)\vee(x\in A\wedge x\not\in C)[/mm]
> [mm]\Rightarrow x\in A\wedge x\in A\wedge x\not\in B\vee x\not\in C[/mm]
Wie kommst du hierdrauf?!
> [mm]\Rightarrow x\in A\wedge x\in[/mm] A ist eine Tautologie,
Hier bekommst du ganz bestimmt keine Tautologie raus.
> also:
> [mm]x\in A\wedge x\not\in B\vee x\not\in[/mm] C
Du kannst aus einer Tautologie nicht einfach irgendwelche Aussagen folgern. Diese Implikation ist also ebenfalls falsch.
> Ich glaube nicht, dass der Beweis korrekt ist, aber es
> wäre schön, wenn jemand ihn korrigieren könnte bzw. mir
> sagen kann, wo meine Fehler liegen.
>
> Welche Pfeile muss ich nutzen? ich denke mal [mm]\Rightarrow[/mm]
> und nicht [mm]\gdw[/mm]
Ja, da du zwei Inklusionen zeigst reicht [mm] $\Rightarrow$ [/mm] voellig aus.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 So 18.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > [mm]\Rightarrow x\in A\wedge x\in[/mm] A ist eine Tautologie,
>
> Hier bekommst du ganz bestimmt keine Tautologie raus.
Diese Verwirrung war meine Schuld, weil ich es zu schlampig hingeschrieben habe:
[mm] x\in A \gdw x\in A\wedge x\in A [/mm]
ist die gemeinte Tautologie.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 So 18.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen!
> > > [mm]\Rightarrow x\in A\wedge x\in[/mm] A ist eine Tautologie,
> >
> > Hier bekommst du ganz bestimmt keine Tautologie raus.
>
> Diese Verwirrung war meine Schuld, weil ich es zu schlampig
> hingeschrieben habe:
>
> [mm]x\in A \gdw x\in A\wedge x\in A[/mm]
>
> ist die gemeinte Tautologie.
Ah, ok, dann macht es jetzt etwas mehr Sinn. :)
Was allerdings nichts daran aendert, das in der Zeile darueber Klammern fehlen; ohne die Klammern (also so wie es da steht) ist es falsch. (Es ist $A [mm] \wedge [/mm] B [mm] \vee [/mm] C = (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \vee [/mm] C$ und nicht $A [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \vee [/mm] C)$.)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Mathegirl,
bei Aufgaben dieser Art hilft es mir immer ungemein, zu wissen, dass zwei Mengen $\ A, B $ dann gleich sind, wenn gilt:
$\ A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \wedge [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A $
Die Richtung "$\ [mm] \Rightarrow$" [/mm] ist dann $\ A [mm] \subseteq [/mm] B $ und "$\ [mm] \Leftarrow [/mm] $" ist $\ B [mm] \subseteq [/mm] A $
Vielleicht hilft dir das ja ebenfalls.
Viele Grüße
ChopSuey
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