Das Vollständigkeits-Axiom < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Zusammen,
Ich versuche folgenden Beweis (Foster : Analysis 1; §5 Satz 3; S. 42) nachzuvollziehen. Ist die Argumentation ab (*) eigentlich noch notwendig? Mir scheint, daß der Beweis auch bei (*) enden könnte, oder?
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Satz:
Das Intervallschachtelungsprinzip impliziert das Vollständigkeitsaxiom.
Beweis:
Sei [mm]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] eine vorgegebene Cauchy-Folge. Nach Definition gibt es eine Folge [mm]n_0 < n_1 < n_2 < \dotsm[/mm] natürlicher Zahlen mit
[mm]\left|a_n-a_m\right| < 2^{-k}\quad\forall n,m\ge n_k.[/mm]
Wir definieren nun
[mm]I_k := \left\{x\in\mathbb{R}:\left|x-a_{n_k}\right|\le 2^{-k+1}\right\}.[/mm]
Die [mm]I_k[/mm] sind abgeschlossene Intervalle mit [mm]I_k\supset I_{k+1}[/mm] für alle [mm]k\![/mm]. Denn sei etwa [mm]x\in I_{k+1}[/mm]. Dann ist [mm]\left|x-a_{n_{k+1}}\right|\le 2^{-k}[/mm]. Außerdem ist
[mm]\left|a_{n_{k+1}}-a_{n_k}\right| < 2^{-k}[/mm],
woraus nach der Dreiecksungleichung folgt [mm]\left|x-a_{n_k}\right|< 2^{-k+1}[/mm], d.h. [mm]x\in I_k[/mm]. Da die Längen der Intervalle gegen 0 konvergieren, können wir das Intervallschachtelungsprinzip anwenden und erhalten einen Punkt [mm]x_0\in\mathbb{R}[/mm], der in allen [mm]I_k[/mm] liegt, das heißt
[mm]\left|x_0-a_{n_k}\right|\le 2^{-k+1}\quad\forall k\ge 0.[/mm]
(*) Für [mm]n\ge n_k[/mm] ist [mm]\left|a_n - a_{n_k}\right|<2^{-k}[/mm], also insgesamt
[mm]\left|x_0-a_n\right| < 2^{-k+1} + 2^{-k} < 2^{-k+2}[/mm],
woraus folgt [mm]\lim_{n\to\infty}{a_n}=x_0[/mm], die Cauchy-Folge konvergiert also. Damit ist der Satz bewiesen.
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Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 So 30.03.2008 | | Autor: | SEcki |
> Mir scheint, daß der Beweis auch
> bei (*) enden könnte, oder?
Nein, wieso denn? Der Punkt, der dann noch kommt: konvergiert eine Teilfolge einer Cauchy-Folge gegen einen Wert x, so auch die Cauchy-Folge selber gegen x.
SEcki
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Hallo SEcki,
> Nein, wieso denn? Der Punkt, der dann noch kommt:
> konvergiert eine Teilfolge einer Cauchy-Folge gegen einen
> Wert x, so auch die Cauchy-Folge selber gegen x.
Danke schonmal für die Antwort. Weißt du eventuell, wie die folgende Ungleichung zustande kommt?
[mm]\left|x_0-a_n\right| < 2^{-k+1} + 2^{-k}[/mm]
Viele Grüße
Karl
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Hallo Karl,
[mm] $\triangle$-Ungleichung [/mm] würde ich meinen:
Du hast zum einen [mm] $|x_0-a_{n_k}|\le 2^{-k+1} [/mm] \ [mm] \forall k\ge [/mm] 0$
und zum anderen [mm] $\forall n\ge n_k: |a_n-a_{n_k}|<2^{-k}$
[/mm]
Also [mm] $|x_0-a_n|=|x_0\red{-a_{n_k}+a_{n_k}}-a_n|\le |x_0-a_{n_k}|+|a_{n_k}-a_n|=|x_0-a_{n_k}|+|(-1)(a_n-a_{n_k})|=|x_0-a_{n_k}|+|a_n-a_{n_k}|< [/mm] ....$
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo schachuzipus und SEcki,
Wollte mich nur nochmal für eure Hilfe bedanken!
Liebe Grüße
Karl
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