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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo, Leute!
Ich wollte mal fragen, ob man das Prinzip der (linearen) Substitution einfach herleiten kann.
Man benutzt es zwar im Unterricht wie der Friseur die Schere, aber eine Herleitung davon haben wir nicht bekommen (obwohl meine Lehrerin das in der 12. mal machen wollte ;)).
Nunja, nun fehlt die Zeit und ich werde die Herleitung von ihr sicher nicht kriegen.
Im Internet finden sich auch nur Übungsaufgaben und etwas zu komplizierte Erklärungen (Wikipedia).
Ich glaube, dass es generell am Verständnis von Schreibweisen wie [mm] \bruch{d}{dx}f(x)=f'(x) [/mm] oder [mm] \bruch{dy}{dx}y=y', [/mm] oder wie auch immer die Schreibweise richtig ist, liegt. Genauso wie das ständige dx bei den Integralen. Natürlich zeigt es an, wonach man integriert, aber wieso kann man das nun einfach z.B. substituieren? Woraus beruht das ganze?
Natürlich ist es unbestritten, dass das stimmt, aber mich würde nun interessieren, wieso das stimmt.
Gibt es darauf aufschlussreiche Antworten, die man auch ohne Mathestudium verstehen kann? Wäre euch sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:52 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teufel!
Lineare Substitution bei Integralen bedeutet ja, dass ein Integral der Form [mm] $\integral{f(a*x+b) \ dx}$ [/mm] vorliegt.
Hierbei substituieren wir nun $z \ := \ a*x+b$ . Da wir ja hier nicht nur das $x_$ in der Funktion, sondern auch im "Differential" $dx_$ ersetzen müssen, ermitteln wir uns die Ableitung der neuen Funktion $z \ = \ z(x) \ = \ a*x+b$ .
(Zum Differential habe ich mal hier was geschrieben.)
$$z'(x) \ = \ [mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{\Delta z}{\Delta x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ a$$
Dies stellen wir nun um nach $dx \ = \ [mm] \bruch{dz}{a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a}*dz$ [/mm] .
Eingesetzt in unser Integral erhalten wir:
[mm] $$\integral{f(\blue{a*x+b}) \ \red{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{f(\blue{z}) \ \red{\bruch{1}{a}*dz}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a}*\integral{f(z) \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a}*F(z) [/mm] \ +c \ = \ [mm] \bruch{1}{a}*F(a*x+b) [/mm] \ +c$$
Nun etwas klarer?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Ok, ich danke dir erst einmal!
Jetzt ist das mit dem Differenzial (jetzt weiß ich auch erst einmal, wie das Teil heiß!) klarer.
Damit kann ich das mit der (linearen) Substitution auch besser nachvollziehen.
Denn ich mag es nicht, wenn ich (auch, wenn es offensichtlich stimmt) etwas verwende, aber nicht genau den Ursprung kenne.
Das dx heißt dann also eigentlich nur, dass x unendlich klein wird und veränderlich ist, oder? Zumindest laut deiner Ableitung von z(x). Das würde dann auch mit den "unendlich schmalen" Rechtecke zusammenpassen, die man sich ja beim integrieren vorstellen kann.
Hoffe mal, ich hab das nun richtig erfasst ;)
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